中考复习课件：专题一数学思想方法 64页

\n\n数学思想方法是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果，是对数学事实与数学理论的本质认识.数学思想：是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，带有普遍的指导意义，是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想.数学方法：是指从数学角度提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等.\n数学思想和数学方法是紧密联系的，两者的本质相同，只是站在不同的角度看问题，故常混称为“数学思想方法”.初中数学中的主要数学思想方法有：\n①化归与转化思想；②方程与函数思想；③数形结合思想；④分类讨论思想；⑤统计思想；⑥整体思想；⑦消元法；⑧配方法；⑨待定系数法等.\n\n分类讨论思想方法分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准,将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想.\n分类原则：(1)分类中的每一部分都是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准；(3)分类讨论应逐级进行.分类思想有利于完整地考虑问题，化整为零地解决问题.分类讨论问题常与开放探索型问题综合在一起，贯穿于代数、几何的各个数学知识板块，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需有扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全.\n【例1】(2010·常州中考)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A(0)，且△AOB∽△BOC.\n(1)求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式；(2)在线段AC上是否存在点M(m，0).使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点(与点B不同)，且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.\n【思路点拨】\n【自主解答】(1)由题意，得B(0,3).∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB=∠OBC，∴OC=4，∴C(4,0).∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBC+∠OBA=90°.∴∠ABC=90°.∵y=ax2+bx+3的图象经过点A(0)，C(4,0)，\n\n(2)存在.①如图1，当CP=CO时，点P在以BM为直径的圆上，∵BM为圆的直径.∴∠BPM=90°，∴PM∥AB.∴△CPM∽△CBA.∴所以CM=5.∴m=-1.\n②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，所以PC=PO=PB，所以PC=×BC=2.5.由△CPM∽△CBA，得③当OC=OP时，M点不在线段AC上.综上所述，m的值为或-1.\n1.(2011·浙江中考)解关于x的不等式组：\n【解析】由①得(a-1)x＞2a-3,由②得x＞当a=1时，由①得-2＞-3成立,∴x＞当a＞1时，x＞当1＜a≤此时不等式组的解是x＞\n当a＞时，此时不等式组的解是x＞当a＜1时，不等式组的解集为∵a＜1，所以a-1＜0，∴所以不等式组的解为＜x＜综上所述：当1≤a≤时，不等式组的解集是x＞当a＞时，不等式组的解集是x＞当a＜1时，不等式组的解集为\n数形结合思想数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法.在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考查，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法.\n数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现，用数形结合的思想解题可分两类：一是利用几何图形的直观表示数的问题，它常借用数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几何图形问题，常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.\n【例2】(2010·曲靖中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=(x-h)2+k,所得抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)与y轴交于点C，顶点为D.\n(1)求h、k的值；(2)判断△ACD的形状，并说明理由；(3)在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.\n【思路点拨】\n【自主解答】(1)∵y=x2的顶点坐标为(0,0),∴y=(x-h)2+k的顶点坐标为D(-1,-4),∴h=-1,k=-4.(2)由(1)得y=(x+1)2-4.当y=0时,(x+1)2-4=0,x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),B(1,0).当x=0时,y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3,∴C点坐标为(0，-3).又因为顶点坐标D(-1,-4),\n作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E.作DF⊥y轴交y轴于点F.在Rt△AED中，AD2=22+42=20；在Rt△AOC中，AC2=32+32=18；在Rt△CFD中，CD2=12+12=2；∵AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形.\n(3)存在.由(2)知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°,在AC上取点M，连接OM，过M点作MG⊥AB于点G,AC=①若△AOM∽△ABC,则∵MG⊥AB,∴AG2+MG2=AM2,\n\n②若△AOM∽△ACB，则OG=AO-AG=3-2=1.∵M点在第三象限，∴M(-1，-2).综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为(),(-1,-2).\n2.(2010·十堰中考)如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD、AB上的动点，设AF=x，AE2-FE2=y,则能表示y与x的函数关系的图象是()\n【解析】选C.延长CD交AB于点G，则CG⊥AB，AG=BG=2，∴AE2-FE2=EG2+AG2-(EG2+FG2)=4-FG2=4-(2-x)2=-x2+4x,∴y=-x2+4x.且根据题意知x≥0,y≥0.故选C.\n3.(2010·成都中考)如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过______秒,四边形APQC的面积最小.\n【解析】设P、Q分别从A、B同时出发，那么经过t秒，四边形APQC的面积为S，则S=×AB·BC-×BP·BQ=×12×24-×(12-2t)·4t,∴S=4t2-24t+144=4(t-3)2+108,∴当t=3s时，四边形APQC的面积最小.答案：3\n4.(2010·临沂中考)如图，二次函数y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A(-，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；\n(1)求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；(2)在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；(3)在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.\n【解析】(1)根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y=-x2+ax+b中，得解这个方程组，得a=b=1,∴该抛物线的解析式为y=-x2+x+1,当x=0时，y=1,∴点C的坐标为(0,1),∴在△AOC中，\n在△BOC中，∴△ABC是直角三角形.\n(2)点D的坐标为(1).(3)存在.由(1)知，AC⊥BC.①若以BC为底边，则BC∥AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为y=+1,直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=+b,把点A(0)代入直线AP的解析式，求得b=\n∴直线AP的解析式为y=∵点P既在抛物线上，又在直线AP上，∴点P的纵坐标相等，即解得\n②若以AC为底边，则BP∥AC，如图2所示.可求得直线AC的解析式为y=2x+1.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2,0)代入直线BP的解析式，求得b=-4,∴直线BP的解析式为y=2x-4.∵点P既在抛物线上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等,\n即-x2++1=2x-4,解得x1=x2=2(舍去),当x=时，y=-9，∴点P的坐标为(,-9).综上所述，满足题目条件的点P为()或().\n化归转化思想化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本思路是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规问题化为常规问题，把实际问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想.\n【例3】(2009·泉州中考)如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.\n(1)请求出底边BC的长(用含x的代数式表示)；(2)若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米2.①求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围)，并求当S=时x的值；②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？\n【思路点拨】\n【自主解答】(1)∵AB=CD=x米，∴BC=40-AB-CD=(40-2x)米.(2)①如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°，∴AE=x，BE=同理DF=x,CF=又EF=BC=40-2x,∴AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x\n解得：x1=6，x2=(舍去)，∴x=6.\n②由题意，得40-x≤24，解得x≥16,结合①得16≤x＜20.由①得，∴函数图象为开口向下的抛物线的一段，其对称轴为x=∵16＞由上图可知，\n当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，∴当x=16时，S取得最大值.此时，S最大值=\n5.如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上的一点，且BE∶EA=5∶3,EC=把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点是F，以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则过点F、点C的一次函数解析式为______.\n【解析】BE∶EA=5∶3,BE=EF,∴EF∶EA=5∶3,∴AF∶AE=4∶3.∵∠AEF=∠DFC,∴△AEF∽△DFC,∴设BE=5x,则AF=4x,CD=8x,FD=6x,∴BC=10x,又CE=由勾股定理得x=3,所以BC=30,AF=12,CD=24，∴F(12,0),C(30,-24),∴CF的解析式为y=+16.答案：y=+16\n6.(2011·凉山中考)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等.\n(1)根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式.(2)利用上面的规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.\n【解析】(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5=(2-1)5=1.\n7.(2010·威海中考)(1)探究新知：①如图，已知AD∥BC,AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点.求证：△ABM与△ABN的面积相等.②如图，已知AD∥BE,AD=BE,AB∥CD∥EF,点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由.\n(2)结论应用：如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.(友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论.)\n【解析】(1)①分别过点M,N作ME⊥AB，NF⊥AB,垂足分别为点E,F.∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形.∴AB∥CD.∴ME=NF.∵S△ABM=AB·ME,S△ABN=AB·NF,∴S△ABM=S△ABN.\n②相等.理由如下：分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.则∠DHA=∠EKB=90°.∵AD∥BE,∴∠DAH=∠EBK.∵AD=BE,∴△DAH≌△EBK.∴DH=EK,\n∵CD∥AB∥EF，∴S△ABM=AB·DH,S△ABG=AB·EK,∴S△ABM=S△ABG.\n(2)存在.因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以，可设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4.又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式，得0＝a(3-1)2+4,解得a=-1.∴该抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.∴D点坐标为(0，3).\n设直线AD的表达式为y=kx+3，代入点A的坐标，得0=3k+3，解得k=-1.∴直线AD的表达式为y=-x+3.过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H，则H点的纵坐标为-1+3＝2.∴CH=CG-HG=4-2=2.\n设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为-m2+2m+3.过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3-m，EF∥CG.由(1)可知：若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等.\n(a)若E点在直线AD的上方(如图)，则PF＝3-m,EF=-m2+2m+3.∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m.∴-m2+3m=2.解得m1=2,m2=1.当m=2时，PF=3-2=1,EF=3.∴E点坐标为(2，3).同理当m=1时，E点坐标为(1，4)，与C点重合，故舍去.\n(b)若E点在直线AD的下方(如图)，则PE=(3-m)-(-m2+2m+3)=m2-3m,∴m2-3m=2,解得\n当m=时，E点的纵坐标为当m=时，E点的纵坐标为∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1(2,3);