函数高考复习 17页

二次函数、指数函数、对数函数典型题例示范讲解例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围例2已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求a的取值范围.例4已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点(1)证明点C、D和原点O在同一条直线上；(2)(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标203.【2010·天津文数】已知函数f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.204.【2010·天津理数】已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；（Ⅲ）如果，且，证明.207.【2010·全国卷1理数】已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：.210.【2010·湖南理数】已知函数对任意的，恒有.\n（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.213.【2010·湖北理数】214.【2010·安徽理数】设为实数，函数。 (Ⅰ)求的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当且时，。216．【2010·上海市卢湾区4月模拟考试】如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为．（1）求关于的表达式；（2）求的最大值及此时的值．\n217．【2010·北京宣武一模】已知函数⑴若为的极值点，求的值；⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．218.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】已知函数，x∈R．（其中为m常数）（I）当m=4时，求函数的单调区间；（II）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．219．【2010·黄岗中学八月月考】已知（1）若函数时有相同的值域，求b的取值范围；（2）若方程在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并证明220．【2010·上海市奉贤区4月质量调研】已知函数,（1）求出函数的对称中心；（2）证明：函数在上为减函数；（3）是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由.221．【2010·黄岗中学八月月考】已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．\n（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．二次函数、指数函数、对数函数典型题例示范讲解例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围解：(1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0，∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2　∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0，∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)∵的对称轴方程是∈(－2,－)时，为减函数∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()点评：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力解答本题的关键点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合例2已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；\n（2）若的最大值为正数，求a的取值范围.解：（1）的解集为∴…………①由方程………………②因为方程②有两个相等的根，所以，即由于代入①得的解析式（2）由及由解得故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是点评：本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.例4已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点(1)证明点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标(1)证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率k1=,OD的斜率k2=，由此可知k1=k2,即O、C、D在同一条直线上(2)解由BC平行于x轴知log2x1=log8x2即log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8)点评：(1)证明三点共线的方法kOC=kOD(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标203.【2010·天津文数】已知函数f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；\n（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.解:（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值当等价于解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-0+\nf(x)极大值极小值当时，f（x）>0等价于即解不等式组得或.因此21时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数.又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).(Ⅲ)证明：若若因此由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.207.【2010·全国卷1理数】已知函数.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：.\n210.【2010·湖南理数】已知函数对任意的，恒有.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.解:\n213.【2010·湖北理数】\n214.【2010·安徽理数】设为实数，函数。 (Ⅰ)求的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当且时，。\n216．【2010·上海市卢湾区4月模拟考试】如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为．（1）求关于的表达式；（2）求的最大值及此时的值．解：（1）由题设，得（），当时，，当时，，当时，，故\n（2）易知当时，为单调递增函数，，当时，为单调递减函数，，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为，此时．217．【2010·北京宣武一模】已知函数⑴若为的极值点，求的值；⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．解：⑴，∵是的极值点，∴，即，解得或2．⑵∵在上．∴，∵在上，∴，又，∴，∴，解得，∴，由可知和是的极值点．∵，∴在区间上的最大值为8． ⑶因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点．而的两根为，，区间长为，∴在区间上不可能有2个零点．所以，即．∵，∴．又∵，∴．\n218.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】已知函数，x∈R．（其中为m常数）（I）当m=4时，求函数的单调区间；（II）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．解:函数的定义域为R（Ⅰ）当m＝4时，f(x)＝x3－x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或．令，解得,         可知函数f（x）的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为（2，5）.（Ⅱ）＝x2－（m＋3）x＋m＋6,要使函数y＝f（x）在（1，＋∞）有两个极值点,   则，解得m＞3．219．【2010·黄岗中学八月月考】已知（1）若函数时有相同的值域，求b的取值范围；（2）若方程在（0，2）上有两个不同的根x1、x2，求b的取值范围，并证明解:（1）当时，函数的图象是开口向上，且对称轴为的抛物\n线，的值域为，所以的值域也为的充要条件是，即b的取值范围为(2)，由分析知,不妨设因为上是单调函数，所以在上至多有一个解.若，即x1、x2就是的解，，与题设矛盾.因此，由，所以；由所以故当时，方程上有两个解.由消去b，得由220．【2010·上海市奉贤区4月质量调研】已知函数,（1）求出函数的对称中心；（2）证明：函数在上为减函数；（3）是否存在负数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由.解：（1），函数的对称中心为（-1，-1）(2)任取，且，\n∵ ，∴函数在上为减函数；（3）不存在.假设存在负数，使得成立，则  ，即， ，   ，与矛盾，所以不存在负数，使得成立.另:，由得：或但，所以不存在.221．【2010·黄岗中学八月月考】已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．解:（1）在上是增函数，证明如下：任取，且，则，于是有，而，故，故在上是增函数.\n（2）由在上是增函数知：，故不等式的解集为．（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．（4）①当时，的取值范围为；②当时，的取值范围为；③当时，的取值范围为R．