2011年度普通高考高考数学试题详解指南—2012年高考必备知识 19页

2011年高考试题与新课程改革紧密结合，全卷总体难度低于去年全国卷。与2010年全国高考数学试题结构相同，分值相同。具体来说，单项选择题12道，填空题4道，共80分；解答题5道，共60分；唯一不同的是选做题，选做题3道(三选一)，(今年河南卷选做题是二选一)，分值10分。试题主要内容分布在函数(含导数)、不等式、数列、立体几何、解析几何、概率统计、三角等主干知识上。今年数学试题紧扣数学科考试大纲，强调基础与能力并重、知识与能力并举，突出考查了思维、运算、空间等几方面的能力，题目所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，突出考查了函数、不等式、数列、直线与平面、解析几何、导数与统计等高中数学的重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。对教材新增内容的考查全面，且难易适度，既体现了基础知识的与时俱进又有利于中学数学教学。对数学思想和方法的考查始终贯穿于试卷之中，对旧教材内容的考查和去年相比更注重基础和常规方法。新课标数学卷有以下几个主要特点：1.保持稳定，亲切平和\n试题在题型、题量、分值、难度、知识分布与覆盖上保持相对稳定，避免了大起大落。函数知识约22分，立体几何约22分，圆锥曲线约22分，三角知识约15分，数列12分，概率统计约15分，不等式及其应用约15分，向量、二项展开式、积分、复数及算法各5分。考生可能感觉题目似曾相识，与此前的模拟练习很类似，因此心情也会比较平静，能把潜力最大限度地发挥出来。2.重视基础，立足教材试题源于教材，以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前6道选择题及第9题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查等比数列的通项公式，裂项求和，空间线面位置关系，利用空间直角坐标系求二面角，及统计分布列数学期望等基础知识，属中低档难度题。3.考查全面，强化综合今年数学试题所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”\n的原则。在重基础的同时，注重知识综合方面的考查，在知识交汇点处出题。如理科第10题体现了向量、不等式与三角的综合；（2011年．新课程.理.10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是（A）（B）（C）（D）【命题意图】本题主要考查向量的数量积运算.【解析】逐个判断.因为都是单位向量，所以，命题正确，错误；，命题正确，错误，所以真命题是，.第16题体现了正弦定理与三角变换及最值问题的综合；\n（2011年．新课程.理.16）在中，，则的最大值为。【命题意图】本题主要考查正弦定理的应用，考查三角恒等变换.【解析】在△ABC中，由正弦定理得，其中R为△ABC外接圆的半径，所以，，所以的最大值为.第20题体现了以向量为载体的轨迹问题，点到直线的距离及基本不等式的综合。（2011年．新课程.理.20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。【命题意图】\n本题考查向量与解几的结合、轨迹方程的求解.考查导数的几何意义、基本不等式的应用.【参考答案】【点评】向量与解几的结合，要利用向量的坐标运算将向量问题坐标化，同时要注意基本不等式在求最值问题中的应用.4.多考想点，少考算点\n在以往的考试中，圆锥曲线方面题目的计算繁琐复杂，技巧性很强，对学生计算能力和细心程度都有较高要求，而今年的试题中圆锥曲线的题目不论小题还是解答题运算量都比较小，这有利于考生有一个良好的心态去解决后面的解答题，并充分发挥自己的真实水平。今年的考题更注重考查数学思维方法，选择题与填空题都不需要过多的复杂计算就可得出结论。5.着意思维，注重能力本试卷重视对常规思想方法的考查，如理科第12题考查数形结合的数学思想，通过利用两函数图象关于点（1,0）的对称性得出所有交点的横坐标之和；(2011年．新课程.理.12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于(A）2(B)4(C)6(D)8【命题意图】本题主要考查函数图象与性质，作出函数图象，利用图象的对称性解决问题是这类问题的常用方法.【解析】作出两个函数的图象如图，由图象可知，函数与\n的图象有8个交点，两两关于点A（1,0）对称，所以每两个对称点飞横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为2×4=8.理科第16题利用正弦定理把问题转化为三角求最值问题；理科第21题是函数和导数的综合问题，突出考查分类讨论的数学思想。（2011年．新课程.理.21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。【命题意图】本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质，考查分类讨论思想的应用.【参考答案】\n【点评】导数作为解决函数问题的有力工具，越来越受到重视，应用导数可以求函\n数单调区间、函数极值与最值，解决步骤一般是先求定义域，再求导，再解不等式或方程，列表得出结论；分离参数是一种重要方法，主要解决不等式恒成立、不等式有解、方程有解问题，通过分离参数转化为求函数最值或值域.试卷对能力的考查全面且重点突出，特别对空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力以及应用意识的要求更高。理科第6题（文科第8题）考查学生对三视图知识的掌握情况，突出考查学生的空间想象能力，要求适度。（2011年．新课程.理.6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为\n【命题意图】本题主要考查三视图，考查空间想象能力.【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥和半个圆锥构成的几何体，所以其侧视图可以是D.理科第15题和文科第16题则对学生的空间想象能力要求较高。（2011年．新课程.理.15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为。【命题意图】本题主要考查椎体的体积计算、多边形与外接圆之间的关系.【解析】因为矩形边长分别是，所以其外接圆的直径为，所以球心0到矩形所在圆面的距离，所以棱锥O-ABCD的体积为.\n第18题学生完成第一问后，很容易可以建立空间直角坐标系求解，较2010年的新课标卷中的立体几何题要简单一些。(2011年．新课程.理.18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的计算.【参考答案】\n【点评】立体几何中的证明题都是围绕平行与垂直两种特殊位置关系的证明展开的。在关于平行的证明中，线面平行、面面平行是常考题型；在关于垂直的证明中，线线垂直、线面垂直、面面垂直都是常考题型，要理解并掌握传统方法和空间向量的方法，两者相互补充.\n理科第21题的第二问则很好地考查了学生的推理与论证能力。此题的第一问是要根据已知条件求参数的值，意在考查导数的几何意义，属于基本题。而第二问是恒成立问题，求参数的取值范围，对学生的推理论证能力有较高要求，有一定难度，想得满分也不容易。（2011年．新课程.理.21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。【命题意图】本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质，考查分类讨论思想的应用.【参考答案】\n试卷还突出对新课程标准中新增的思想和方法的考查，如理科第3题（文科第5题）以程序框图为文本，考查算法的思想和读图的能力；\n（2011年．新课程.理.3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120（B）720（C）1440（D）5040【命题意图】本题主要考查程序框图、对程序框图的识图和应用.【解析】按照程序框图的顺序逐步执行，可知该程序框图执行6次后结束，所以输出的.理科第6题（文科第8题）给出了一个几何体的正视图和俯视图，让求此几何体的侧视图，突出考查考生读图、构图、画图的能力等；（2011年．新课程.理.6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为【命题意图】本题主要考查三视图，考查空间想象能力.\n【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥和半个圆锥构成的几何体，所以其侧视图可以是D.理科第19题实际上是对概率统计思想以及数据处理能力的重点考查。（2011年．新课程.理.19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为\n从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【命题意图】本题考查应用数学知识解决实际问题的能力，考查对频率分布表的理解和应用、用样本估计总体、随机变量的分布列及数学期望.【参考答案】【点评】\n解决概率的实际应用题，首先要根据题意确定概率模型，选择概率公式，对于离散型随机变量的概率分布，要注意利用分布表中数据的特征进行检验，特殊分布列的期望或方差的计算可以直接应用公式，以简化计算..6.平和朴实，寓含深意部分题目初看都比较朴实、平和，都是考生熟悉的题干，但深入解题后又会发现与过去已做过的题目不同，即考生入手容易完成较难。如理科的12题，两个函数看似都是我们较熟悉的函数，但如果不仔细分析两函数图象的对称性，很难解对这道题。文科的12题也是如此，研究函数图象交点个数的题型在平时练习中是常见的，但要想做对却不是很容易。再如文理科的第21题，看似一道常规的函数与导数的题目，但入手后，要全面条理地利用分类讨论的思想分析清楚实属不易。但相比2010年新课标卷的函数与导数题，今年的题目更容易入手，解题思路和手段显得更自然顺畅一些，是一道区分度较好，比较成功的选拔性试题！\n总体看今年的新课标数学试题，笔者认为整份卷子美中不足之处在于无论从背景设计还是题目设计都显得比较常规保守，创新不够，新意不足。但题目整体的高度，学科知识结构，题目的设计，都做的较好，难度适中。它紧扣数学考试大纲，强调基础与能力并重。试卷中涉及的题目绝大部分是模拟考试中复习过的知识点，学生心里可能会有一定把握，这对于学生有一个良好的考试心态有一定的帮助，更有利于学生正常发挥。而试卷本身又具有一定的发挥空间，区分度也不错，能够公平公正较好地考查学生的综合能力和素质。2011年新课标高考数学试题对我们今后数学教学和复习的启示为：注重回归课本、扎实基础，努力提高学生的能力，既要引导学生掌握好新教材中的新内容，又要引导学生掌握好旧的内容，在教学中要体现过程教学，精选习题，有效训练。倡导理性思维，强化探究能力的培养是高中数学教与学的大势所趋，而尊重学生的个性差异，因才施教，突出复习的针对性与实效性则是取得考试成功的良方。我们教师必须站在课改前沿，认真解读新课标理念，贯彻新课标精神，不折不扣的落实新课程改革，坚决避免拿自以为经典的陈题旧题让学生反复练习，一定要大胆取舍，勇于创新，以培养学生终身学习的能力为教学目标！