高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题课件 56页

高考专题突破三高考中的数列问题\n考点自测课时训练题型分类　深度剖析内容索引\n考点自测\n1.(2016·金华十校高三上学期调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3，且a1，a2，ak成等比数列，则k等于A.1B.2C.3D.4答案解析设公差为d，则2＋d＝1＋2d，∴d＝1，∴an＝n，\n答案解析\n设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.\n3.(2016·杭州学军中学模拟)已知等比数列{an}的公比q>0，前n项和为Sn.若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6＝64，则q＝_____，Sn＝________.2答案解析\n4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝_______.答案解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，\n题型分类　深度剖析\n题型一　等差数列、等比数列的综合问题例1(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；解答\n由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立.所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*).\n解答由(1)可知，an＝qn－1，\n等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.思维升华\n跟踪训练1已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；解答\n设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，\n解答\n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，\n\n题型二　数列的通项与求和例2已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；证明\n∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.又cn＝an－1，\n(2)求数列{bn}的通项公式.解答\n(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项相消法等.思维升华\n证明\n(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.解答\n\n\n题型三　数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇解答\nf′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n,16n2a－4nb＝0，又f′(x)＝x＋2n，当n＝1时，a1＝4也符合，\n解答\n命题点2数列与不等式的交汇例4(2016·宁波高三上学期期末考试)对任意正整数n，设an是方程x2＋＝1的正根.求证：(1)an＋1>an；证明\n故an＋1－an>0，即an＋1>an.\n证明\n数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.思维升华\n(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较.(3)数列应用题①根据题意，确定数列模型；②准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义.\n跟踪训练3(2017·浙江新高考预测一)已知f(x)＝lnx－x＋1，x为正实数，g(x)＝mx－1(m>0).(1)判断函数y＝f(x)的单调性，给出你的结论；解答由f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数y＝f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.\n(2)若数列{an}的各项均为正数，a1＝1，在m＝2时，an＋1＝f(an)＋g(an)＋2(n∈N*)，求证：an≤2n－1.证明\n由题意，正项数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋an＋2，由(1)知f(x)＝lnx－x＋1≤f(1)＝0，即有不等式lnx≤x－1(x>0).下面用数学归纳法证明an≤2n－1(*)成立.①当n＝1时，a1＝1≤21－1，(*)式成立.②假设当n＝k时，ak≤2k－1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝lnak＋ak＋2≤ak－1＋ak＋2＝2ak＋1≤2(2k－1)＋1＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时，(*)式也成立.由①②可知，an≤2n－1成立.\n课时训练\n1.(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；解答12345\n设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).12345\n(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.解答设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝12345\n2.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；解答设数列{an}的首项为a1，公差为d，12345\n(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解答12345\n所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12345\n证明12345\n∴an＋1＝(an＋1－an)＋…＋(a2－a1)＋a17，n>0，n＋1，n＋2，…，nk－1全为正，12345