高考数学大一轮复习 高考专题突破三 高考中的数列问题教师用书 11页

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题教师用书1．(2016·金华十校高三上学期调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3，且a1，a2，ak成等比数列，则k等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　D解析　设公差为d，则2＋d＝1＋2d，∴d＝1，∴an＝n，由a＝a1·ak，得4＝1×k，∴k＝4.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.3．(2016·杭州学军中学模拟)已知等比数列{an}的公比q>0，前n项和为Sn.若2a3，a5,3a4成等差数列，a2a4a6＝64，则q＝________，Sn＝________.答案　2　解析　由a2a4a6＝64，得a＝64，解得a4＝4.由2a3，a5,3a4成等差数列，得2a4q＝3a4＋，即8q＝12＋，解得q＝2或q＝－(舍去)．为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争又a1q3＝4，所以a1＝，所以Sn＝＝.4．(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.答案　－解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.题型一　等差数列、等比数列的综合问题例1　(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.解　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝2，解得q＝，所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争思维升华　等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．解　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.故等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.(2)由(1)，得Sn＝1－n＝当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－.题型二　数列的通项与求和例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)证明　∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)解　由(1)可知cn＝(－)·()n－1＝－()n，∴an＝cn＋1＝1－()n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－()n－[1－()n－1]＝()n－1－()n＝()n.又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝()n.思维升华　(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项相消法等．　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.(1)证明：数列{}是等比数列；为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.(1)证明　∵a1＝，an＋1＝an，当n∈N*时，≠0.又＝，∶＝(n∈N*)为常数，∴{}是以为首项，为公比的等比数列．(2)解　由{}是以为首项，为公比的等比数列，得＝·()n－1，∴an＝n·()n.∴Sn＝1·＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1，∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1＝－n·()n＋1，∴Sn＝2－()n－1－n·()n＝2－(n＋2)·()n.综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n.题型三　数列与其他知识的交汇命题点1　数列与函数的交汇例3　(2016·温州十校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n,16n2a－4nb＝0，∴a＝，则f(x)＝x2＋2nx，n∈N*.数列{an}满足＝f′，为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争又f′(x)＝x＋2n，∴＝＋2n，∴－＝2n，由叠加法可得－＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，化简可得an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝4也符合，∴an＝(n∈N*)．(2)∵bn＝＝＝2，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝2＝2＝.命题点2　数列与不等式的交汇例4　(2016·宁波高三上学期期末考试)对任意正整数n，设an是方程x2＋＝1的正根．求证：(1)an＋1>an；(2)＋＋…＋<1＋＋＋…＋.证明　由a＋＝1且an>0，得00，故an＋1－an>0，即an＋1>an.(2)因为an(an＋)＝1，所以＝an＋，由00)．(1)判断函数y＝f(x)的单调性，给出你的结论；(2)若数列{an}的各项均为正数，a1＝1，在m＝2时，an＋1＝f(an)＋g(an)＋2(n∈N*)，求证：an≤2n－1.(1)解　求导，得f′(x)＝－1＝，由f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数y＝f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．(2)证明　由题意，正项数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋an＋2，由(1)知f(x)＝lnx－x＋1≤f(1)＝0，即有不等式lnx≤x－1(x>0)．为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争下面用数学归纳法证明an≤2n－1(*)成立．①当n＝1时，a1＝1≤21－1，(*)式成立．②假设当n＝k时，ak≤2k－1成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝lnak＋ak＋2≤ak－1＋ak＋2＝2ak＋1≤2(2k－1)＋1＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时，(*)式也成立．由①②可知，an≤2n－1成立.1．(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．解　(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由得∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋＝2×－n＋＝n2＋.即数列{cn}的前n项和为n2＋.2．(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意有解得所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.3．(2017·诸暨高三5月教学质检)已知数列{an}的各项都大于1，且a1＝2，a－an＋1－a＋1＝0(n∈N*)．(1)求证：≤an0，得an＋1>an，∵an＋1－an＝<1，∴an＋1＝(an＋1－an)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－>，∴an＝(an－an－1)＋…＋(a2－a1)＋a1>＋2＝(n≥2)，又a1＝2＝，∴an≥.(2)∵a－a＝an＋1－1≥－1＝，为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争∴a>＋a＝，即a≥，2a－3≥＝，＋＋…＋≤4(－＋－＋…)<1.4．已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.解　(1)∵点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列．∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，两式相减，得bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，∴bn＝()n－1.(2)log2bn＋1＝log2()n＝－n，∴cn＝＝－，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.5．已知fn(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且fn(－1)＝(－1)n·n，n＝1,2,3，….(1)求a1，a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式；(3)当k>7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有＋＋＋…＋>成立．(1)解　由f1(－1)＝－a1＝－1，得a1＝1，由f2(－1)＝－a1＋a2＝2，得a2＝3，为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围\n为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争又f3(－1)＝－a1＋a2－a3＝－3，所以a3＝5.(2)解　由题意得fn(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝(－1)n·n，fn－1(－1)＝－a1＋a2－a3＋…＋(－1)n－1an－1＝(－1)n－1·(n－1)，n≥2，两式相减，得(－1)nan＝(－1)n·n－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1)，当n≥2时，an＝2n－1，又a1＝1符合，∴an＝2n－1(n∈N*)．(3)证明　令bn＝＝n，则S＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，∴2S＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋)．(*)当x>0，y>0时，x＋y≥2，＋≥2，∴(x＋y)(＋)≥4，∴＋≥，当且仅当x＝y时等号成立．上述(*)式中，k>7，n>0，n＋1，n＋2，…，nk－1全为正，∴2S>＋＋＋…＋＝，∴S>>＝2(1－)>2(1－)＝.为充分发动群众积极参与到扫黑除恶工作中来，束城镇通过由包片班子成员、包村干部、村书记召开各村群众大会广泛宣传动员、公布全镇扫黑除恶举报电话、邮箱和纪委举报等方式，增强人民群众通黑恶势力做斗争的决心，在全镇范围内营造了全民扫黑除恶的浓厚氛围