高考卷-高考数学押题卷（一）理科 19页

2017届高考数学押题卷（一）理本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，所以．故选B．2．已知集合，集合，集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意可得，，则．故选A．3．已知等差数列，，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，所以公差，所以，所以．故选D．4．世界最大单口径射电望远镜FAST于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年，FAST选址从开始一万多个地方逐一审查．为了加快选址工作进度，将初选地方分配给工作人员．若分配给某个研究员8个地方，其中有三个地方是贵州省的，问：某月该研究员从这8个地方中任选2个地方进行实地研究，则这个月他能到贵州省的概率为（）19\nA．B．C．D．【答案】D【解析】．故选D．5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】此三视图的几何体如图：，，，，，，，，，∴．故选B．6．如图，在三棱锥中，面，，，，，则（）A．B．C．D．19\n【答案】D【解析】根据题意可得，设，则，，在中，，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故选D．7．已知函数，满足和是偶函数，且，设，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，所以，所以为偶函数，又是偶函数，所以，当时，，．故选B．8．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，，、为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的对称性知，轴，且是焦点弦，故，所以，解得（舍去）或，所以焦点坐标为，直线的方程为，所以以直线为准线的抛物线标准方程是．故选D．19\n9．根据下列流程图输出的值是（）A．11B．31C．51D．79【答案】D【解析】当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，输出．故选D．10．在长方体中，，点在线段上运动，当异面直线与所成的角最大时，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】B19\n【解析】因为A1B∥D1C，所以CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，显然当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，所以．故选B．11．已知函数的周期为，将函数的图像沿着y轴向上平移一个单位得到函数图像．设，对任意的恒成立，当取得最小值时，的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，则，所以，所以，所以函数，所以，所以，；又，所以，，所以，所以，又，所以，所以取得最小值时，，所以的值是．故选C．12．已知函数，有下列四个命题；19\n①函数是奇函数；②函数在是单调函数；③当时，函数恒成立；④当时，函数有一个零点，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①函数的定义域是，，不满足函数奇偶性定义，所以函数非奇非偶函数，所以①错误；②取，，，所以函数在不是单调函数，所以②错误；③当时，，要使，即，即，令，，，得，所以在上递减，在上递增，所以，所以③正确；④当时，函数的零点即为的解，也就是，等价于函数与函数图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务．现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是_____________．【答案】115【解析】分三类，两辆蓝色共享单车，有种，三辆蓝色共享单车，有种，四辆蓝色共享单车，有种，根据分类计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是90+24+1＝115．19\n14．如图所示，在南海上有两座灯塔，这两座灯塔之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶致一半路程时刚好到达M处，恰巧M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量⊥，则＝_____________．【答案】－3600【解析】由题意可知，⊥，⊥，，所以＝15．若，满足约束条件，设的最大值点为，则经过点和的直线方程为_______________．【答案】【解析】在直角坐标系中，满足不等式组可行域为：19\n表示点到可行域的点的距离的平方减4．如图所示，点到点的距离最大，即，则经过，两点直线方程为．16．已知数列满足（，，且为常数），若为等比数列，且首项为，则的通项公式为________________．【答案】或【解析】①若，则，由，得，由，得，联立两式，得或，则或，经检验均合题意．②若，则，由，得，得，则，经检验适合题意．综上①②，满足条件的的通项公式为或．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）在中，设向量，，．（1）求的值；（2）求的取值范围．19\n【答案】（1）＝，（2）．【解析】（1）由，，································1分由正弦定理，等式可为，∴，····················································3分由余弦定理可得，∴＝．··························································6分（2）由（1）可知，，所以，······················7分，·····················································10分19\n∵，∴，∴，∴的取值范围为．··································12分18．（本小题满分12分）某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况．现委托某工厂生产500个机器人模型，并对生产的机器人进行编号：001，002，……，500，采用系统抽样的方法抽取一给容量为50个机器人样本．试验小组对50个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题：分组机器人数频率[50，60)0.08[60，70)10[70，80)10[80，90)[90，100]6（1）补全频率分布表，画出频率分布直方图；（2）若随机抽的号码为003，这500个机器人分别放在A，B，C三个房间，从001到200在A房间，从201到355在B房间，从356到500在C房间，求B房间被抽中的人数是多少？（3）从动作个数不低于80的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为，求的分布列与数学期望．【答案】（1）见解析，（2）16，（3）．【解析】（1）频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题：分组机器人数频率[50，60)40.08[60，70)100.2[70，80)100.2[80，90)200.4[90，100]60.1219\n·········4分（2）系统抽样的分段间隔为＝10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个抽到一个，则被抽中的机器人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20个，在201至355号中共有16个．··························6分（3）该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为，的取值为0，1，2，··7分所以，，，所以的分布列012P················11分数学期望．·····························12分19．（本小题满分12分）已知正方体的棱长为1，S是的中点，M是SD上的点，且SD⊥MC．（1）求证：SD⊥面MAC（2）求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．19\n【答案】（1）见解析，（2）．【解析】（1）证明：由题意可知，SA＝SB＝SC＝SD，连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系O-xyz如图，则高SO＝1，于是S(0，0，1)，D(，0，0)，A（0，，0），C（0，，0），所以，，所以，即AC⊥SD，又因为SD⊥MC，所以SD⊥面MAC．··················································5分（2）根据题意可知，，，，，则，设平面SAB的法向量为，则，所以，所以解得，令，解得，所以法向量，················································7分19\n设平面SCD的法向量为，则，所以，所以解得，令，解得，所以法向量，············································9分所以，，所以两个法向量的夹角余弦值为．···········································11分所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为．····························12分20．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线的焦点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【答案】（1），（2）．【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点，，所以椭圆的C：中a＝5，········································1分19\n根据，解得c＝，所以，·································3分所以椭圆的标准方程为．·································4分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，另设，设在处切线的方程为，与椭圆C：联立：，消去可得：，由，得，化简可得：由，可得，，所以上式可化为：，∴，，所以椭圆在点A处的切线方程为：①，··························7分同理可得椭圆在点B的切线方程为：②，·······················8分19\n联立方程①②，消去x得：，解得，··········9分而A，B都在直线上，所以有，所以，所以，即此时的交点的轨迹方程为；······11分当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，则，则椭圆在点A处的切线方程为：①，椭圆在点B的切线方程为：，此时无交点．综上所述，交点的轨迹方程为．······································12分21．（本小题满分12分）已知函数（a是常数），（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数有零点，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）或．【解析】（1）根据题意可得，当a＝0时，，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．···········································1分当a≠0时，，因为＞0，令，解得x＝0或．·····························3分19\n①当a＞0时，函数在，上有，即，函数单调递减；函数在上有，即，函数单调递增；························4分②当a＜0时，函数在，上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减；························5分综上所述，当a＝0时，函数的单调递增区间，递减区间为；当a＞0时，函数的单调递减区间为，，递增区间为；当a＜0时，函数的单调递增区间为，，递减区间为；·······6分（2）①当a＝0时，可得，，故a＝0可以；·········7分②当a＞0时，函数的单调递减区间为，递增区间为，（I）若，解得；可知：时，是增函数，时，是减函数，由，∴在上；解得，所以19\n；·······································10分（II）若，解得；函数在上递增，由，则，解得由，即此时无解，所以；·····························11分③当a＜0时，函数在上递增，类似上面时，此时无解．综上所述，．···········································12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22．（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为：，曲线C2的极坐标方程：，（1）写出C1和C2的普通方程；（2）若C1与C2交于两点A，B，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）将曲线C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；····2分19\n将曲线C1的方程消去t化为普通方程：；··············4分（2）若C1与C2交于两点A，B，可设，联立方程组，消去y，可得，··················6分整理得，所以有，·····························8分则．·················10分23．（本小题满分10分）已知函数，（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于实数x，y，有，，求证:．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）根据题意可得恒成立，即，化简得，19\n而是恒成立的，所以，解得；·········································5分（2），所以．·····················································10分19