高考数学专题复习课件：高考专题突破五 88页

高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题\n考点自测课时作业题型分类深度剖析内容索引\n考点自测\n1.(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为答案解析\n如图，设双曲线E的方程为＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝a，\n2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为答案解析\n由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，\n3.(2017·太原质检)已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为答案解析\n设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，\n\n即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，\n4.(2016·北京)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.答案解析2设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.\n答案解析\n题型分类　深度剖析\n题型一　求圆锥曲线的标准方程例1已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为答案解析\n设A(x1，y1)、B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.\n思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程.\n跟踪训练1(2015·天津)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为答案解析\n则a2＋b2＝4，①\n题型二　圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015·湖南)若双曲线＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为答案解析即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，\n答案解析\n\n思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.\n跟踪训练2已知椭圆＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＝1(a>b>0)的离心率为________.答案解析\n|PF|＝p，|EF|＝p.\n题型三　最值、范围问题例3若直线l：y＝过双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.(1)求双曲线的方程；解答所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，\n(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围.解答几何画板展示\n由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).设MN的中点为Q(x0，y0)，\n故直线m在y轴上的截距的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞).\n思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围.\n跟踪训练3如图，曲线Γ由两个椭圆T1：＝1(a>b>0)和椭圆T2：＝1(b>c>0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼”.∴a＝2，c＝1，解答\n(2)对于(1)中的“猫眼曲线”Γ，任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；证明几何画板展示\n设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2)，线段CD的中点为M(x0，y0)，\n∵k存在且k≠0，∴x1≠x2且x0≠0，\n(3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求△ABN面积的最大值.解答几何画板展示\n由Δ＝0化简得m2＝b2＋2c2，\n由Δ＝0得m2＝b2＋2a2，l1，l2两平行线间距离\n\n题型四　定值、定点问题例4(2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；解答因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，几何画板展示\n(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.解答几何画板展示\n当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).\n故四边形MPNQ的面积当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.\n思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.\n跟踪训练4(2016·北京)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；解答\n(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.证明几何画板展示\n由(1)知，A(2,0)，B(0,1).\n\n当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，∴|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值.\n题型五　探索性问题例5(2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；解答圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0).\n(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；解答几何画板展示\n设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，∴由圆的性质知MC1⊥MO，∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，\n把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0).又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，\n(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解答几何画板展示\n由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x2－3x＋y2＝0，其中0时，\n\n思维升华(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.\n跟踪训练5已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.(1)求C的方程；解答\n因为|FA|＝|FD|，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去).所以抛物线C的方程为y2＝4x.\n(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标.证明\n由(1)知F(1,0).设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0).因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD>0，得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)，因为直线l1和直线AB平行，\n\n直线AE恒过点F(1,0).所以直线AE过定点F(1,0).\n②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解答几何画板展示\n由①知直线AE过焦点F(1,0)，\n\n所以△ABE的面积的最小值为16.\n课时作业\n(1)求椭圆E的方程；1234解答\n1234\n解答1234\n当直线l与x轴垂直时不满足条件.故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，1234\n∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，1234\n1234解答(1)求椭圆E的方程；\n1234\n解答1234\n设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，1234\n1234\n3.(2016·北京顺义尖子生素质展示)已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点.解答1234(1)求该椭圆的离心率；\n(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.解答1234\n依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为x＝ty＋1.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，1234\n假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP，将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得1234\n即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，使得MP⊥NP.1234\n*4.已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)，过它的左，右焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2（如图所示）.1234(1)求椭圆的标准方程；解答将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，\n(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.解答1234\n若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S＝6.若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则直线l1的方程为y＝k(x＋1).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234\n消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.①注意到方程①的结构特征和图形的对称性，1234\n令k2＝t∈(0，＋∞)，1234