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- 2022-07-22 发布
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课时作业(十六)一、选择题1．(2011·山东聊城)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A．0C．m≤D．m<答案 A解析 因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.3．(2011·江苏无锡)若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根答案 B解析 设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)＝1＝－4a<0，f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根．4．(2010·山东卷，文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x5用心爱心专心\n(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件答案 C解析 因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．二、填空题5．设f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为________．答案 解析 f′(x)＝x2＋2ax＋5，当f(x)在[1,3]上单调减时，由得a≤－3；当f(x)在[1,3]上单调增时，f′(x)＝0中，Δ＝4a2－4×5≤0，或得a∈[－，]∪(，＋∞)．综上：a的取值范围为(－∞，－3]∪[－，＋∞)．三、解答题6．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．解 (1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，依题意得，即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)，由h′(t)＝0得t＝e或t＝0(舍去)．列表如下：t(0，e)e(e＋∞)h′(t)＋0－h(t)极大值于是函数h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e，即b的最大值为e.5用心爱心专心\n(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)，由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)．列表如下：x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．7．将一张2×6米的硬钢板按图纸的要求进行操作：沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(⑦为底，①②③④为侧面，⑤＋⑥为水箱盖．其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)，设水箱的高为x米，容积为y立方米．(1)写出y关于x的函数关系式；(2)如何设计x的大小，使水箱的容积最大？解析 (1)依据意水箱底的宽为(2－2x)米，长为＝(3－x)米，则水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)·x(00，函数单调递增；当0，所以当x>2时，f′(x)>0；当00时原方程有唯一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图象在y轴右侧有唯一的交点．又h′(x)＝4x－－14＝，且x>0，所以当x>4时，h′(x)>0；当00时原方程有唯一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.9．(2010·天津卷，文)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．解析 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6.所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.以下分两种情况讨论：①若00等价于即解不等式组得－52，则0<<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－，0)0(0，)(，)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值当x∈[－，]时，f(x)>0等价于即.解不等式组得0得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．f′(x)＝2x＋2－＝.由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得－1＋1，∴x∈[－1，e－1]时，f(x)max＝e2－e.∵不等式m
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