高考常用的数学概念、公式和结论(高考必备) 16页

..高考常用的数学概念、公式和结论一．复数1.复数的定义形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位)，其中2.复数的分类3.复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).特别地,a+bi=0⇔a=0且b=0(a,b∈R).4.共轭复数复数z=a+bi的共轭复数为=a-bi5.复数的模(1)|z|=|a+bi|=.(2)(3)（4）二．简易逻辑1.充分必要条件当要判断的命题与程的根、不等式的解集，以及与集合有关，我们可以借助集合间的包含关系来进行充分条件与必要条件的判断.对于集合A=，B=，具体情况如下：①若，则是的充分不必要条件；②若，则是的必要不充分条件；③若，则是的充要条件；④若，则是的既不充分也不必要条件.2.全称命题和特称命题的否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x)的否定为特称命题p:∃∈M,p().(2)特称命题p:∃∈M,p()的否定为全称命题p:∀x∈M,p(x).三．函数及其性质1.函数的对称性Word资料.\n..（1）函数关于直线对称.（2）函数关于点对称.2.函数的奇偶性奇函数和偶函数的性质：（1）.（2）.（3）若函数为奇函数，且在处有定义，则．（4）奇函数在对称区间上增减性相同；偶函数在对称区间上增减性相反．（5）若为偶函数，则.3.函数的期性（1）（2）（3）（4）偶函数的图像关于直线对称，则期（5）奇函数的图像关于点对称，则期4.图像的变换(1)平移变换原图像对应的函数图像变换过程变换后的图像对应的函数向左平移个单位向右平移个单位向上平移个单位向下平移个单位（2）对称变换函数A函数BA与B的图像间的对称关系关于轴对称Word资料.\n..关于轴对称关于原点轴对称关于直线轴对称（3）翻折变换原图像对应的函数图像变换过程变换后的图像对应的函数将的图像在轴下的部分沿轴翻折到轴上，去掉轴下部分，并保留原轴上部分将的图像在轴右边的部分沿轴翻折到轴左边，替代原轴左边部分，并保留原轴右边部分5.对数式与指数式的互化．6.对数相关性质（1）对数基本性质：(1)(2)(3)(4)（2）运算性质：(1)(2)(3)（3）换底公式：7.指数函数与对数函数指数函数对数函数函数解析式y=(a>0且a≠1)y=(a>0且a≠1)图象定义域R值域RWord资料.\n..过定点(0,1)(1,0)单调性a>1时,在R上单调递增01时,在(0,+∞)上单调递增00且a≠1)；⑥()′＝；⑦()′＝(a>0且a≠1)；⑧(lnx)′＝.(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);③[]′=(3)复合函数的求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为=f′(u)g′(x).3.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:①求，令②判断单调性，根据单调性确定y=f(x)在(a,b)的极值;③将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.五．三角函数及三角变换1.任意角的三角函数Word资料.\n..（1）定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin=y,cos=x,tan=.（2）已知角终边上一点，设（为坐标原点），则sin=,cos=,tan=.注：各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.特殊角的三角函数值①；②；③.④；⑤；⑥.⑦⑧3.同角三角函数的基本关系(1)商数关系：＝tanα.(α≠+kπ,k∈Z)；(2)平关系：sin2α＋cos2α＝1．4.诱导公式组序一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k·±(k∈Z)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角看作锐角时，原函数值的符号．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x≠+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R单调性在在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调增;在Word资料.\n..(k∈Z)上单调增;(k∈Z)上单调递减在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减(k∈Z)上单调递增最值x=时,ymax=1;x=2kπ-,k∈Z时,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ,0)(k∈Z)对称中心(k∈Z)对称中心(k∈Z)对称轴对称轴x=kπ(k∈Z)期2π2ππ注：的期为，的期为.6.函数的期.7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ, 余余正正符号异(2)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. (3)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, 正余余正符号同(4)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(5)tan(α+β)=,(6)tan(α-β)=8.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α=2sinαcosα. (2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)tan2α=.9.公式的常见变式(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ). (2)sin2α=;cos2α=;sinα·cosα=.(3)1+cosα=;1-cosα=;（4）1+sinα=;1-sinα=.10.辅助角公式Word资料.\n..asinx+bcosx=sin(x+)(其中sin=,cos=).五．解三角形1.正弦定理:===2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形:①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.②sinA=,sinB=,sinC=.③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.推论:cosA=,cosB=,cosC=.3.三角形常用面积公式(1)S=a·ha(ha表示边a上的高);(2)S=absinC==acsinB;六．平面向量1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.(2)平面向量基本定理:如果,是同一平面的两个不共线向量,那么对这一平面的任一向量a,有且只有一对实数,,使a=+，其中,是一组基底.2.平面向量数量积（1）定义：.(2)向量在向量向上的投影为.(3)几意义：等于向量的与向量在向量向上的投影的乘积.3.平面向量的运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2);(2)若a=(x,y),则|a|＝＝.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则；cosθ＝＝.4.平面向量平行与垂直的充要条件若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0.(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔|a＋b|＝|a－b|.七．数列1.an与Sn的关系Word资料.\n..(1)Sn=.(2)若数列{an}的前n项和为Sn,则an=（需检验a1是否符合n≥2时,an的表达式,若符合则把通项公式合写,否则应分n=1与n≥2两段来写.）2.等差数列(1)通项公式:①an=a1+(n-1)d.②an=am+(n-m)d.(2)前n项和公式:Sn==(3)等差数列的性质：①在等差数列中，若，则；特别地若，则.②仍是等差数列，公差为.4.等比数列(1)通项公式①an=a1qn-1.②an=am·qn-m.(2)前n项和公式：Sn＝＝（）(3)等比数列的性质：①在等比数列中，若，则；特别地若，则.②仍是等比数列，公比为.5.求数列通项公式的法（1）累加法：已知数列满足：，则可用累加法求它的通项公式..（2）累乘法：已知数列满足：，则可用累乘法求它的通项公式..(3)构造等差、等比数列①若，可构造等比数列，设，求得.Word资料.\n..②,则两端同除以，即得.6.数列求和法（1）分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比数列的和或差组成，则可用分组求和法，先分别求和而后再相加减.例如，可用分组求和法求它的前项和.（2）裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.①=;②=;③=.（3）错位相减法：若一个数列的通项公式是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积组成，则可用错位相减法求和.例如，可用错位相减法求它的前项和.八．不等式1.重要的不等式(1)a2+b22ab(a,b∈R);(2)(a,b>0);(3)ab（）2(a,b);(4)(a,b>0);(5)2(a2+b2)(a+b)2(a,b∈R,当a=b时等号成立).2.一元二次不等式的解集若，是程的两不等实根（），则的解集为的解集为的解集为的解集为.提示:若a<0,则可以先进行转化,使x2的系数为正,但是一定要注意在转化过程中不等号的变化.3.二元一次不等式表示的平面区域的确定法（1)画直线定界：注意分清虚实线（2)在直线Ax+By+C=0的某侧任取一点(,),通过A+B+C的符号来判断Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.Word资料.\n..4.不等式恒成立与有解的问题（1）一元二次不等式在上恒成立；一元二次不等式在上恒成立.(2)不等式恒成立；不等式恒成立.(3)不等式有解；不等式有解.九．立体几1.表面积和体积公式①柱体的体积V=Sh②锥体的体积V=Sh③台体的体积V=(S′++S)h④球的表面积和体积:S球＝，V球=.2.球的相关性质①垂直关系：球心和截面圆心的连线垂直于截面.②关系式：一平面截半径为R的球所得截面圆半径为r，球心到截面圆的距离为d，则.③已知长体的长、宽、高分别为，则长体的外接球的半径.2.(1)直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与平面的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⇒a∥b(2)平面与平面平行判定定理一个平面的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⇒α∥βWord资料.\n..性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简记为“面面平行⇒线线平行”)⇒a∥b(3)直线与平面垂直判定定理一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简记为“线线垂直⇒线面垂直”)⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b(4)平面与平面的垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直(简记为“线面垂直⇒面面垂直”)性质定理两个平面垂直,则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直(简记为“面面垂直⇒线面垂直”)⇒l⊥α3.异面直线所成的角设a、b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.4.直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.十．解析几1.斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=2.直线程的几种形式（1）点斜式：直线经过点，且斜率为，则直线程为（2）斜截式：直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线程为Word资料.\n..（3）一般式：（当时，斜率为）3.求平面距离(1)两点距离:两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=.(2)点线距离:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离d=.(3)线线距离：两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.4.圆的程（1）标准程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);圆心(a,b),半径为r;（2）一般程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);圆心(-,-),半径.5.直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则①dr⇔相离；③d＝r⇔相切．6.圆与圆的位置关系几法:设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2两圆外离⇔|O1O2|>r1+r2;2条公切线，2条外公切线两圆外切⇔|O1O2|=r1+r2;1条公切线，2条外公切线两圆相交⇔|r2-r1|<|O1O2||F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M标准程+=1(a>b>0)-=1(a>0,b>0)y2=2px(p>0)图形围|x|≤a,|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)(0,±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称Word资料.\n..焦点(±c,0)(,0)轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e==(01)e=1准线x=-渐近线y=±x双曲线相关结论：（1）等轴双曲线的程的一般可设为；其渐近线程为；离心率为.（2）若已知双曲线渐近线程为，则双曲线程可设为.（3）当双曲线焦点位置无法确定时，则双曲线程可设为(4)双曲线(a>0,b>0）的渐近线程为；双曲线的渐近线程为.9.直线与椭圆的位置关系将直线与椭圆的程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次程,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.10.圆锥曲线的弦长公式①斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则弦长|P1P2|=|x1-x2|=或|P1P2|=|y1-y2|=（）.②抛物线的焦点弦长：设过抛物线焦点的弦的端点为，则|AB|=x1+x2+p.十一．概率统计1．频率分布直图(1)频率＝小长形的面积＝×组距；（2）频率＝.(3)各小长形的面积之和等于1.2.样本数据的数字特征Word资料.\n..（1）平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)．（2）差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．（3）标准差：3.利用频率分布直图求众数、中位数、平均数与差(1)最高的小长形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长形的面积和是相等的;(3)平均数等于每个小长形底边中点的横坐标乘以小长形的面积之和;(4)差等于每个小长形底边中点的横坐标与平均数的差的平乘以小长形面积之和.4.概率计算公式(1)古典概型：P(A)＝；(2)几概型：P(A)＝5.线性回归程线性回归程一定过样本点的中心．其中值是自变量每增加一个单位，因变量的变化值.6.用样本相关系数衡量两个变量相关关系的强弱（1）当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.(2)r的绝对值越接近与1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近与0，表明两个变量的线性相关性越弱.通常时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系.7.独立性检验（1）列联表总计总计(2)利用随机变量来判断“两个分类变量有关系”的法称为独立性检验.Word资料.\n..独立性检验公式，其中.(2)随机变量越大，说明变量A与变量B有关系的可能性越大；反之，越小.当时，可以认为变量A与变量B没有关系；当时，有%的把握判定变量A与变量B有关系；当时，有%的把握判定变量A与变量B有关系；当时，有%的把握判定变量A与变量B有关系；十二．极坐标与参数程1.极坐标（1）定义设M是平面一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).（2）常用简单曲线的极坐标程曲线图形极坐标程圆心在极点,半径为r的圆ρ=r(0≤θ<2π)圆心为(r,0),半径为r的圆ρ=2rcosθ(-≤θ<)圆心为(r,),半径为r的圆ρ=2rsinθ(0≤θ<π)过极点,倾斜角为α的直线θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)过点(a,0),与极轴垂直的直线ρcosθ=a(-<θ<)过点(a,),与极轴平行的直线ρsinθ=a(0<θ<π)（3）极坐标与直角坐标的互化设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则直角坐标程化为极坐标程的公式为;极坐标程化为直角坐标程的公式为.Word资料.\n..2.参数程（1）直线与圆、椭圆的参数程①过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数程(t为参数)②圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数程(θ为参数)③椭圆+=1(a>b>0)的参数程(θ为参数)（2）直线参数程的相关结论已知直线的参数程为，则①若直线与圆锥曲线相交于两点，交点对应的参数分别为，则.②若定点是弦的中点，则；设弦的中点为，则点对应的参数.十三．不等式选讲1.定理:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.结论：||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|0)与|x|>a(a>0)的解集①；②.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几意义求解,体现了数形结合的思想.法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与程的思想.Word资料.