高考数学归纳总结高考题型解题策略（精品） 74页

2010年高考数学冲刺复习——归纳总结高考题型解题策略（共分五大专题）专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考屮，主要出现在解答题的笫一个试题位置上，具难度屮等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模ZI'可都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题（5分），考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文笫8题理第15题（5分）考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题（12分）考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理笫15题（4分）考查正余弦定理与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考屮解答题仍会涉及三角两数的基本恒等变换公式、诱导公式的运川、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线（平行）与垂臣的充要条件条件.主要考查题型：（1）考查纯三角函数函数知识，即一•般先通过三角恒等变换公式化简三角两数式，再求三角西数的值或研究三角函数的图象及性质；（2）考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；（3）考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与止余弦定理交织在一起.【考试要求】1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数为最小正周期的意义.2.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.能止确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.4.理解正弦函数、余弦函数、止切函数的图像和性质，会川“五点法価止弦函数、余弦函数和函数y=Asin（（ox+（p）的简图，理解A,co,（p的物理意义.5.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.6.掌握向量的加法和减法.学握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.7.了斛平而向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.8.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理冇关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂臣的条件.9.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并「L能熟练运用.拿握平移公式.【考点透视】\n向最具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足运算性质"进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角''为口变屋的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角"Z间存在着密切的联系•同时在平面向虽与三用函数的交汇处设计考题，英形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性•主要考点如下:1.考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2.考查三和函数的性质与图像，特别是y=Asin（a）x+（p）的性质和图像及其图像变换.3.考查平面向量的革本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4.考杏向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5.考查平面向量的数量积及运篦律（包括坐标形式及非坐标形式），两向量平行与垂直的充要条件等问题.6.考杳利用正弦定理、余弦定理解三如形问题.【典例分析】题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平而向量屮部涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统屮讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图彖中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：（1）平移的方向；（2）平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向最坐标.【例1】把函数y=sin2x的图象按向最抄=（一务7T—3）平移后，得到函数y=Asin（a）x+（p）（A>0,（d>0,|（p|=，）的图彖，贝lJ（p和B的值依次为A.B.713fD.it0-=r【分析】根据向量的处标确定平行公式为x—X十6,再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两y=y'+3个平移过程，山此确定平移后的两数解析式，经对照即可作出选择.**6,代入y=sin2x得W+3=sin2(x，+§),即到y【解析1】由平移向量知向量平移公式X—X6,即=（cosA—sinA,1+sinA）是共线向量.（I）求角A；C——（II）求函数y=2sin2B+co~—的最人值.【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，山于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第（I）小题；而第（II）小题根据第（I）小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.3【解】（I）°・•甘、件共线，（2—2sinA）（1+sinA）=（cosA+sinA）（cosA—sinA）,则sin2A=j,又A为锐角,所以sinA=申,则A=¥.兀5)y=2sm2B+c。符=2sm2B+Jr7)TBI冃=2sin2B+cos(y—2B)=1—cos2B+^cos2B4-sin^B1JC电"sin2B—㊁cos2B+1=sin(2B——)+1.TBG(0,号)，QB—苦(一务普)，.・・2B_¥=号,解得B=j,ymax=2.【点评】木题主要考查向最共线（平行）的充要条件、三介恒等变换公式及三角函数的有界性.木题解答侑两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围•一般地，由于在三角函数中角是口变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在髙考中是一个热点问题，解答吋与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的札I关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.\n【例3】已知向量~a>=(3sina,cosa),b=(2sina,5sina—4cosa),aW(乎，2k),且丄(I)求tana的值;\n(II)求cos(号+申)的值.【分析】笫(I)小题从向量垂直条件入手，建立关于a的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系町求得tana的值；第(II)小题根据所求得的tana的结果，禾U用二倍角公式求得ta诸的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结呆.【解】（I）V-a>±-b>,/.-a>-b>=0-而-a>=（3sina,cosa）,-b>=（2sina,5sina—4cosa）,故令・4=6sin2a+5sinacosa—4cos2a=0•、4^1由于cosafO,/•6tan2a+5tana—4=0.解Z,得tana=—予或tana=〒3兀14TaW,2k）,tana<0,故tana=2（舍去）・Atana=—j.(II)Va^(娶,2兀),・：和(乎，兀)•4p.zn1a1a「仝八••a£a2y[5由tana=—y,习匕得taiq=—taiq=2（舍去）•••siiq=*,cos㊁~,.Q,兀、a兀.a.兀2y[51y[5y[32y[5+y[\5..cos（2十亍）=cos^cosj—sin㊁sm^=—~x-—^-x^-=——【点评】本题主要考杳向最垂肓的充要条件、同介三也函数的基本关系、二倍介公式及两和和与并的三和函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重耍性.同吋还可以看到第(I)小题的解答中用到“弦化切'啲思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|金|2=令2,如果涉及到向最的坐标解答时可利用两种方法：(1)先进行向最运算，再代入向量的坐标进行求解；(2)先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3]己知向量-a>=(cosa,sina),-b>=(cosP，si叩)，禺一期=討^.(I)求cos(a—P)的值；(II)若一号<卩<02—2-a>•+-h-2=j,将向量-a>=(cosa,sina),-b>=(cosp,sinp)代入上式得4312—2(cosacosp+sinasin卩)+12=§,・：cos(a—卩)=一丁.7171(n)V-y-b>.其中向量-a>=(m,cosx),4=(l+sinx,1),x^R,且f(^)=2.(I)求实数m的值;(II)求函数f(x)的最小值.分析：利用向暈内积公式的坐标形式，将题设条件屮所涉及的向量内积转化为三角函数屮的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第(【)小题直接利川条件城)=2可以求得，而第(II)小题利川三角函数函数的有界性就可以求解.解：(I)f(x)=-a>-b>=m(1+sinx)+cosx,由f(号)=2,得m(1+sin号)+cos^=2,解得m=l.(II)由(I)得f(x)=sinx+cosx+l=^sin(x+于)+1,当sin(x+为=_1时，f(x)的最小值为1—^/2.点评：平而向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂肓、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利川向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系"，再利用三角函数的相关知识进行求解.六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向虽冇着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】已知角A、B、C为ZXABC的三个内角，其对边分别为a、b>c,若=cosy,siny),H*=(COSJ,a=2萌，且时丹=专.(I)若/XABC的面积S=£,求b+c的值.(II)求b+c的取值范围.\n【分析】第（I）小题利用数最积公式建立关于角A的三介函数方程，再利用二倍介公式求得A角，然后通过三角形的面积公式及余眩定理建立关于b、c的方程组求取b+c的值；笫（II）小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三介函数式，进而求得b+c的范围.【解】-R>=(cosy,—cos2y+sin2y即-cosA=*,2'乂AG(O,7c),AA=—乂由SaaBC=*bcsinA=7L所以bc=4,由余弦定理得：a2=b2+c2—2bc・cos~^-=b2+c2+bc,・°・16=(b+c)2,故b+c=4.(II)由止弦定理得：角=金=佥=2^=4,又B+C=7t-A=|,sin丁717T・：b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（亍—B）=4sin（B+亍），VO=(cos20°,sin20°),则-a>-b>=A.1B-f2.将函数y=2sin2x—扌的图象按向量（§》平移示得到图象对应的解析式是A.2cos2xB.—2cos2xC.2sin2xD.—2sin2x3.已知AABC中，a6=7,At=V,若7b><0,则ZXABC是A.钝角三角形B・直角三角形C.锐角三角形D-任意三角形3丨设-a>=（2，sina）,4=（cosag）,且件〃4,则锐角a为A.30°B.45°C.60°D.75°5.己知-a>=(sin9,y]1+cosO),4=(1,寸1—cos。),其中0丘(兀，号)，则一定有\nA・-a＞〃4B.-&＞丄4C.令与4夹角为45T.W=|-b＞|7T5.已知向量-a>=(6,—4),4=(0,2),-e>=-a>+?v-b>,若C点在函数y=sin］㊁x的图彖上，实数九=()A.|B・扌C.一号D.一扌5兀6.由向量把函数y=sin(x+y)的图象按向量令=(m,0)(m>0)平移所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为()A.*B.jC•守D.罟7.设0<0<2ti时，已知两个向量C)?l=(cos0,sinG),O?2=(2+sin0,2—cosO),则向量Pl?2长度的最大值是()A.迈B.V5C.3^2D.2^38.若向最-a>=(cosa,sina),-b>=(cosp,sinp),则~a>与4一定满足()A.的夹角等于a—卩B.丄4C.-&*〃D.(-&»+-b>)丄(-»>—4)9.已知向量-a>=(cos25o,sin25°),-b>=(sin20°,cos20°),若t是实数，且导=令+bb>,贝ij|p|的最小值为()A.yf2B.1C.¥D.*10.0是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，—动点P满足：0P=OA+九(AB+AC),入W(0,+oo),则直线AP一定通过AABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心11.对于非零向量令我们nJ以用它与直角坐标轴的夹角a,p(OK表示它的方向，称oc,p为非零向量令的方向角，称cosa,cosp为向量的方向余弦，贝ijcos2a+cos2卩=()A.1B.2C.*D.0二、填空题12.己知向量m=(sin0,2cos9),丹=(萌,一*).若■〃丹，则sin2B的值为.13.已知在△OAB(O为原点)屮，©A=(2cosa,2sina),QB=(5cosp,5sinp),若9AGB=-5,贝ijSAAOB的值为\n5.将函数f(x)=tan(2x+j)+l按向量a平移得到奇函数g(x),要使同最小，则a=6.已知向量m=(l,1)向量向量总夹角为乎，且帚下=一1.则向量T=三、解答题7.在厶ABC屮，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若ABA€=BAB€=k(keR).(I)判断AABC的形状；(II)若c=迈，求k的值.8.已知向量斑=(sinA,cosA),令=(羽,一1),册•~n*=l,且人为锐角.(I)求角A的大小；(II)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(xER)的值域.9.在厶ABC屮，A>B、C所对边的长分别为a、b、c,己知向量母=(1,2sinA),-H>=(sinA,1+cosA),满足松〃丹,b+c=V3a.(I)求人的大小；(II)求sin(B+?)的值.\n5.己知A.B、C的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cosa,3sina).(I)若ae(-K,0),且|A€|=|B€|,求角a的人小;的值.…、”,r2sin2a+sin2a(]1)若社丄陀14-tana6.Z\ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,斑=(2b—c,a),*=(cosA,-cosC),(I)求角A的大小；(II)当y=2sin2B+sin(2B+”取最大值时,求角B的大小.\n5.已知七>=(cosx+sinx,sinx),-b>=(cosx—sinx,2cosx),(I)求证：向量令与向量b不可能平行；(II)若f(x)=-a>-b>,且xW[—%%时，求函数f(x)的最大值及最小值.【专题训练】参考答案一.选择题f一・J31-解析：山数量积的处标表水知令・4=cos40°sin20°+sin40°cos20°=sin60°=电".2.【解析】y=2sin2x—号—>y=2sin2(x+号)—号+号，即y=—2sin2x.3.【解析】因为cosZBAC=恥处=三£~|Afe|-|At：||a|-|b|<0,/.ZBAC为钝角.4.一31【解析】由平行的充要条件得㊁x§—sinctcosoc=0,sin2cc=l,2a=90°,cc=45°.5.【解析】=sinO+|sinO|,V0^（7r,乎），/.|sin0|=—sinO,.•・◎丄4.6-JTJT【解析】令=~9>+九4>=（6,—4+2九），代入y=sinyF得，一4+2A,=siiry=1,解得九7.【解析】考虑把函数y=sin(x+¥)的图象变换为y=cosx的图象，而y=sin(x+¥)=cos(x+^),即把y=cos(x+号)的图象变换为y=cosx的图象，只须向右平行扌个单位，所以m=f,故选B.3’8-C［解析］|P1?2|=p（2+sin。一cos0）2+（2—cos。一sin0）2=p10—8cosOW3边・\n9.D【解析】■a>+4=(cosa+cos[3,sina+sin[3),-a>—-b>=(cosa+cosP.sina—si叩)，•••(■a>+4)・(_a>—4)=cos2a—cos2[3+sin2a—sin2p=0,/•(-»>+-b>)丄(令一4)・zzi10.C【解析】|-«>|2=|-a>|2+⑵4|2+2t~a>・4=l+t2+2t(sin20°cos25°+cos20°sin25o)=t2+^t+l=(t+¥)2+£出|滋in=*,・*.|-H>|min=2•11.C【解析】设BC的屮点为D,则AB+A€=2AD,又由0P=OA+?v(AB+A€),AP=2XAD,所以AP与AD共线,即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过AABC的重心.12.A【解析】设-a>=(x,y),x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为4>=(1,0),于=(0,1),由向量知识得cosct=j^jq萄二不最’c°s吐审特気，则cos2a+cos2吐1.二、填空题13.14.8^3_495a/32JI—2'【解析】由田〃井，得一|sin0=2V3cos0,/.tanO=-4^3,Asin2e=sip20+^^0=tan^+1=【解析】9AQB=—5=>1OcosacoPs+1OsinasinP=—5=>10cos(a—P)=—5=>cos(a—卩)=—刁sinZAOB又|GA|=2,|OB|=5,ASAAOB=|x2x5x^=-^.15.(务-1)【解析】要经过平移得到奇函数g(x),应将函数f(x)=tan(2x+|)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移一y+f(kez)个单位.即应按照向量©=(—号+自-l)(kez)进行平移•要使闾最小,16.(―1,0)或(0,—1)【解析】设T=(x,y),由—1,有x+y=—1①，由V与T夹角为寸，有T=|总l-ll^lcos^,.*.171=1,则x2+y2=l②，由①②解得1或｛・••即T=(—1,0)或~n=(0,一1)・三、解答题17.【解】(I)VABA€=bccosA,BAB€=cacosB,乂AB・A€=BA・B€,•:bccosA=cacosB,/•由正弦定理，得sinBcosA=sinAcosB,即sinAcosB—sinBcosA=0,/.sin(A—B)=0V-7t=p5sinA—cosA=l,2sin(A—&)=1,sin(A—&)=㊁,由A为锐角得A—务自A=f.\n(II)由(I)知cosAp,所以f(x)=cos2x+2sinx=l—2sin2x+2sinx=—2(sinx—㊁)2+刁13因为xWR,所以sinxe[—1,1],因此，当sinx=H、i，f(x)有最大值㊁.当sinx=—1时，f(x)有最小ffi—3,所以所求函数f(x)的值域是[—3,19・【解】(I)由电〃存，得2sin2A—1—cosA=0,即2cos2A+cosA—1=0.AcosA=Ti?JccosA=jrTA是AABC内角，cosA=—1舍去，AA=亍3(II)Tb+c=p5a,山正弦定理，sinB+sinC=-\/3sinA=y2兀2ti3VB+C=_,sinB+sin(丁一B)=〒、厅33n\l3・••专cosB+㊁sinB=y即sin(B+&)=专.20.【解】(I)由已知得：#(3cosa—4)2+9sin2a=#9cos2a+(3sina—4)2,则sina=cosa,3兀因为ctW(—兀，0),.*.a=—(II)由(3cosa—4)・3cosa+3sin(r(3sina—4)=0,得37sina+cosa=才，方，得sin2a=—・^2sin2a+sin2a2sin2acosa+2sinacos2a71+tanasina+cosaini【解】(I)由曲丄丹，得田・丹=0,从而(2b—c)cosA—acosC=0,由止弦定理得2sinBcosA—sinCcosA—sinAcosC=0:.2sinBcosA—sin(A+C)=0,2sinBcosA—sinB=0,I兀TA、BW(0,兀)，sinB#),cosA=〒故A=g.由(I)得,0VBV辛，-¥<2B-罟,・••当2B—?=号，即B=j时，，y取授大值2.【解】(I)假设分〃4,则2cosx(cosx+sinx)—sinx(cosx—sinx)=0,1+cos2x|1・,1—cos2x…2cos2x+sinxcosx+sin2x=0,2+/sin2x+=0，B|Jsin2x+cos2x=一3,・••迈(sin2x+为=—3,与也(sin2x+牙)迈才盾,\n故向最~a>与向量4不可能'I，•行•（II）*.*f（x）=-a>•=（cosx+sinx）-（cosx—sinx）+sinx-2cosx=cos2x—sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=^（¥cos2x+^sin2x）=y[2（s\n2x+为，T—*x春・・.一*2x+*乎，.I当2x+》=号，即x=£时，f（x）有最大值血当2x+》=—务即x=_扌时,f（x）有最小值一1.专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右,如08年福建文11题理12题（5分）为容易题，考查函数与导函数图彖Z间的关系、08年江苏14题（5分）为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题（12分）为中档题考査函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题（12分）为中档题，考査利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题（12分）为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既冇基木题也冇综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识,知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题•主耍题型:（1）利用导数研究函数的单调性、极值与敲值问题；（2）考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的H标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】1.了解函数的单调性、奇偶性的概念，学握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.2.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.3.掌握有理指数幕的运算性质.掌握指数两数的概念、图象和性质.4.掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质.5.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.6.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.7.熟记基本导数公式（c,xm（m为有理数），sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.\n1.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧界号)；会求一些实际问题(一•般指单峰函数)的最大值利最小值.【考点透视】高考对导数的考杳主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：(1)考查利用导数研究函数的性质(单调性、极值与最值)；(2)考杏原函数与导函数之间的关系；(3)考查利用导数与函数相结合的实际应川题.从题型及考查难度上來看主要冇以下几个特点：①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于小档题；③利用导数求实际应用问题小最值，为小档偏难题.【典例分析】题型一导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数F(x)的图象冇密切的关系：1.导函数f(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：(1)若导函数F(x)在区间D上恒冇f(x)>0,则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；(2)若导两数F(x)在区间D上恒有F(x)<0,则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数F(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2.导函数F(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f(x)图象的零点是原函数的极值点•如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极人值点；如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导两数y=f\x)的图象可能是()ABC【分析】根据原两数y=f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，育两个下降区间，且第一个期间的上升区间,然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后札I间出现.【解】rfl原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正一负-正-负，只有答案A满足.\n【点评】本题观察图象时主要从两个方面：⑴观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f(x)的图彖哪些区间在大丁零的区间？哪些部分吕小丁零的区间?【例2】设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图彖如图所示，贝ijy=f(x)的图彖授冇可能是ABCV0"y=f(x)【分析】先观察所给出的导函数y=F(x)的图象的止负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.木题还可以通过确定导函数y=f(x)的图象零点0、2对应原函数的极人或极小值点来判断图象.【解法1】由y=f(x)的图象可以清晰地看出,当xW(0,2)时,y=f(x)<0,则f(x)为减函数，只有C项符合,故选C.【解法2】在导两数F(x)的图象屮，零点0的左侧两数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x=0时取得极大值•又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)Ax=0时取得极小值，只冇C适合，故选C.【点评】(1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数増减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导,则由f(x)>0(f(x)V0)可推出f(x)为增(减)函数,但反之则不一定,如：函数f(x)=x3在R上递增，而f(x)>0.f(x)^t区间D内单调递增(减)的充要条件是f(x0)>0(<0),ILf(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为零•利用导数求解函数单调性的主要题型：⑴根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与两数单调性相关的具它问题，如两数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】(08全国高考)已知函数f(x)=x3+ax2+x+l,a^R.(I)讨论函数f(x)的单调区间；(II)设函数f(x)在区间(一刍一》内是减函数，求a的取值范F忙【分析】第(I)小题先求导函数f(x),由于含冇参数a,根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间;第(II)小题根据第(I)小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.【解】(I)由Rx)=x3+ax2+x+1,求导得F(x)=3x2+2ax+1,当a2三3时,△=4(a2—3)S0,f(x)>0,Rx)在R上递增，当a2>3,f(x)=求得两根为x=——，贝lj函数f(x)在区间(-8,P-严)上递增,在区间(-a-疔,一a+严)上递减,在区间(-l产,+8)上递增.'—a—pa2—32\n3~3(II)由(I)得］「，且a2>3,解得aN2.—a+pa2—3丄3-~3【点评】本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型•由于函数解析式中含有字母参数a,因此解答第(I)小题时注意分类讨论•第(II)小题的解答是根据第(I)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式來求解的.■f(-|)0,且(#1,keR)恰有一个极人值点和一个极小值点，其中一个是X=—c.(I)求函数f(x)的另一个极值点；(1【)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M—m>l时k的取值范围.【分析】先求导函数f(x),然后令f(-c)=0及一元二次方程根与系数的关系可解决第(I)小题；而解答第(II)小题须对k与c进行分类讨论进行解答.■-k(x2+c)—2x(kx+1)—kx2—2x+ck【解】(I)叫尸―=(x2+c)22(*)山题意知f(—c)=0,即得c2k—2c—ck=0,即c=1+*^Vc^O,k^O.由f(0)=0,得一kx2—2x+ck=0,由韦达定理知另一个极值点为x=l.\n2(II)由(*)式得c=l+p当c>l时,k>0；当OVcVl时,k<-2.(i)当k>0时，f(x)在(一oo,—c)和(1,+oo)内是减函数,在(一c,1)内是增函数.k+1k-kc+1-k2f(1)=H<=2>0,m=f(-c)=_7rrr=2(k+2)<(),kk2由M—m=^+习苻手1及k>0,解得k>\/2.(ii)当k<-2时,f(x)在(一co,—c)和(1,+oo)内是增函数,在(-c,1)内是减函数..•.M=fU)=^^>0,m=^|=|<0,而M_m=^磊一扌'叵成立.综上可知,所求*的取值范围为(一8,—2)U［迈，+oo).【点拨】第(I)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(II)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间［a,b］上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同吋，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值悄况求解参数问题.【例6】(08浙江高考)已知a是实数,函数f(x)=x2(x—a).(I)略；(II)求f(x)在区间［0,2］上的最大值.【分析】首先求函数f(x),再解方程f(x)=O,得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.2a【解】(II)f(x)=3x2—2ax.令f(x)=O,解得xl=O,x2=_.当吳0,即aSO时,f(x)在［0,2］上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.2a当yN2,时,即a>3时，f(x)在［0,2］上单调递减,从而f(x)max=f(O)=O.当02-【点评】本题山于函数解析式中含有参数，因此方程f(x尸0的根含有参数，在确定函数单调区间时要注意对参数a的讨论•本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的人小來求解的，而是利用荫数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值人小来求解的.题型五导数与数学建模的问题此类试题主要是利川函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考杳考牛在数了应川方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考屮的一个热点.【例7】（08•\n湖北）水库的蓄水量随时间而变化，现用/表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为1V«（-12+141-40）0^+5000,解得tV4或t>10,又0<00,故0Vt<4.②当100,h(x)是增函数,・••当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120］上只有一个极值,所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【点评】解答类似丁本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量,建立函数模型，然后根据口标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.【专题训练】一、选择题1.函数f(x)=x3+ax2+3x—9,已知f(x)有两个极值点xl,x2,则xlx2=()A.9B.—9C・1D.-12.函数f(x)=|x3+ax+l在(一oo,—1)上为增函数，在(―1,1)上为减函数，则f(l)为()71A•亍B.1C.jD.—13.两数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()D.00)的导数f(x)的最大值为3,则f(x)的图彖的一条对称轴的方程是B.()71—71C■x=j兀D.x=yA.[0,B.(—co,0)U[*,+oo)C.咖1]D.[@,pa+1]8.函数y=xcosx--sinx在下而哪个区间内是增函数()A.(号,y)B.(兀，2兀)C-(爭普)D.(2兀，3兀)9.下列图象中，冇一个是函数f(x)=$3+ax2+(a2—l)x+l(aWR,a#))的导函数F(x)的图象，则f(—1)等于7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图彖如下图所示.则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点A.1个B.2个C.3个D.4个\n8.函数f(x)(xeR)的图彖如图所示，则函数g(x)=f(logax)(00时，f(x)>0,gz(x)>0,则xVO时()A・f(x)>0,g\x)>0B.f(x)>0,gr(x)<0C.f(x)<0,g'(x)>0D.f(x)<0,gr(x)<012.若函数y=f(x)在R上可导，且满足不等式xf(x)>-f(x)tH成立，且常数a,b满足a>b,则卞列不等式一定成立的是D.af(b)bf(a)B.af(a)>bf(b)C.af(a)Vbf(b)二、填空题13.右图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f(x)的图象，则当x=时，函数取得最小值.Ia14.己知函数f(x)=*jx3—^2+2x+l,且xl,x2是f(x)的两个极值点，0VxlVlVx2V3,贝lja的取值范围15.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间［―1,2］上是减函数，那么b+c最大值为16.曲线y=2x4上的点到直线y=—x—1的距离的最小值为.三、解答题17.设函数f(x)=2x3-3(a-l)x2+l,其中aNl.(I)求f(x)的单调区间；(II)讨论f(x)的极值.18.已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数・(1)若x=l是函数f(x)的一个极值点,求a的值;(II)若函数f(x)在区间(一1,0)上是增函数，求a的取值范围.\n11.已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(一1))处的切线方程为6x-y+7=0.(I)求函数y=f(x)的解析式；(II)求函数尸f(x)的单调区间.12.设函数f(x)=(x+l)ln(x+l),若对所有的空0,都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围.\n11.已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=61nx+m.(I)求f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t)；(II)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。12.已知函数f(x)=logax+2x和g(x)=2loga(2x+t—2)+2x(a>0,a^l,teR)的图象在x=2处的切线互相平行.(I)求t的值；(II)设F(x)=g(x)—f(x),当xW[l,4]时,F(x)>2ju成立,求a的取值范围.【专题训练】参考答案一、选择题1.D【解析】F(x)=3x2+2ax+3,则xl-x2=l.2.C【解析】Tf(x)=x2+a,又f(—1)=0,.*.a=—1,f(l)=|—1+1=|.3.B【解析】f(x)=3x2—3a,由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0,且f(x)=0的解为xl=&,x2=—&,则&\ne(0,1),A0<2=0fa=l1.B【解析】・.・f(x)=ax3+bx2,f(x)=3ax2+2bx,3a+2b=_3，即］匕=一3'令Hx)=3x2-6x<0,贝000,贝！1xsinxVO,各选项中x均为正,只须sinx<0,故xW(兀,2兀).9.B【解析】Vf(x)=x2+2ax+a2-l=(x+a)2-l,乂a和，Af(x)的图象为第三个,知“0)=0,故a=~l,f(-1)=—*+a+U—11.B【解析】依题意得f(x)是奇函数，在(0,+oo)上是增函数，故在(一《>,0)上是增函数，即当xVO时，f(x)>0；g(x)是偶函数，在(0,+oo)上是增函数，故在(—00,0)上是减函数，即当xVO时，gf(x)<0.12.B【解析】令F(x)=xf(x),则F(x)=xF(x)+f(x),由xf(x)>-f(x),得xf(x)+f(x)>0,即则F(x)>0,所以f(x)在R上为递增函数.因为a>b,所以af(a)>bf(b).二、填空题13.4【解析】根据导函数对应方程f(x)=O的根与极值的关系及极值的定义易得结果.\n11.3l时，f(x)=6x[x—(a—1)],f(x),f(x)随x的变化情况如下表：X(一8,0)0(0,a-l)a—1(a—l,+oo)f(x)+0—0+f(x)7极大值极小值7从上表可知，函数f(x)在(-oo,0)上单调递增；在(O,a-1)上单调递减：在(a-l,+oo)上单调递增.(II)由(I)知，当a=l时，函数f(x)没有极值.；当a>l时，函数f(x)ffix=0处取得极人值，在％=&—1处取得极小值l-(a-l)3.15.【解】(【)f(x)=ax3—3x,f(x)=3ax2—6x=3x(ax—2),・・・x=1是f(x)的一个极值点,・・・f(l)=0,・・・a=2；(II)①当a=0时，f(x)=-3x2在区间(一1,0)上是增函数，・・・a=0符合题意；1?②当妙0时，f(x)=3ax(x--),由f(x)=O,得x=0,x=-当a>0时，对任意xe(-l,0),f(x)>0,Aa>0符合题意；当a<0吋，当xW(彳，0)吋，|l］f(x)>0,得1,・•・一2Sa<0符合题意；综上所述，a>-2.16.【解】(I)Hlf(x)的图象经过P(0,2),知d=2,则f(x)=x3+bx2+ex+2,f(x)=3x2+2bx+c,由在M(H)处的切线方程是6x-y+7=0,知心心1)+7=0,即f(-l)=h且f(・l)=6,3・2b+c=6-l+b・c+2=l即丿2b-c=3b-c=O'解得b=c=-3,故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(II)f(x)=3x2-6x-3,令3x2・6x・3=0,即x2-2x-l=0,\n解得xl=l~Lx2=lp,当xlW时，f(x)>0；当lp0,gz(x)>0,所以g(x)在[0,+oo)上是增函数，又g(0)=0,所以对x>0,都Wg(x)>g(0),即当aSl吋，对于所有©0,都有f(x)>ax.(2)当a>l时，对于0l时，不是対所有的xNO,都有f(x)>ax成立.综上，a的取值范围是(一co,1].12.【解】(I)・・・f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),・・・可设f(x)=ax(x-5)(a>0),・•・f(x)在区间[一1,4]上的最大值是f(-l)=6a,由己知，得6a=12,/.a=2,・°・f(x)=2x(x—5)=2x2—10x(xWR).37(II)方程f(x)+—=0等价于方程2x3-10x2+37=0,X设h(x)=2x3-10x2+37,则h'(x)=6x2—20x=2x(3x—10),当xe(0,乎)时，f(x)V0,h(x)是减函数；当xG(¥，+°o)吋，h，(x)>0,h(x)是增函数,Vh(3)=l>0,h(¥)=-寺VO,h(4)=5>0,・・・方程h(x)=O在区间(3,乎)、閉，4)内分别有惟一实数根,而在(0,3),(4,+8)内没有实数根，37所以存在惟一的口然数m=3,便得方程f(x)+v=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.I4解析：(I)f(x)=-logae+2,g\x)(t_2logae+2,T函数f(x)和g(x)的图象在x=2处的切线互相平行,f(2)=g'(2),/.|logae=-^logae,t=6.(II)Vt=6,F(x)=g(x)-f(x)=21oga(2x+4)-logax=loga(2x+4)2,xe[l,4],X令h(x)=®严=4x+乎,xe[l,4],・・・h©)=4—艺=垃—怒―2)(x+2),xe[h4bx2x2\n・••当10,h(x)在［1,2)是单调减函数,在(2,4］是单调增函数，・・・h'(x)min=h(2)=32,h'(x)max=h(l)=h(4)=36,:.当01时,有F(x)max=loga32.丁当xW［1,4］时,F(x)>2恒成立，/.F(x)min>2,・・・满足条件的a的值满足卜•列不等式组｛池霍2⑪或｛鳥3232②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得lMju成立of(x)minNM；f(x)l,第17项的平方等于第24项，求使al+a2+...+an>+_+吉+...+命恒成立的正整数n的取值范围.【分析】利用条件中两项间的关系，寻求数列首项al与公比qZ间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范伟1・【解】由题意得：(alql6)2=alq23,Aalq9=l.由等比数列的性质知：数列｛±｝是以+为首项，以右为公比的等比数列，要使不等式成立，alla1C|则须al器打l)〉aMy”把a2=q_J8代入[.式并整理，得q_i8(qn-i)>q(i—秸),1qqn>ql9,Vq>l,/.n>19,故所求正整数兄的取值范围是n>20.【点评】木题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果•本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.【例2】(08•全国II)设数列｛an｝的前几项和为Sn・已知al=a,an+l=Sn+3n,n^N*.(I)设bn=Sn—3n,求数列｛bn｝的通项公式；(II)若an+1>an,nWN*,求a的取值范围.【分析】第(I)小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第(II)小题将条件an+l>an转化为关于n与a的关系，再利用aWf(n)恒成立等价于a2吋，an=Sn-Sn-l=3n+(a-3)2n-1-3n-l一(a—3)2n-2=2x3n-l+(a-3)2n-2,\n3an+1—an=4x3n—1+(a—3)2n—2=2n—2・[12・(Rn—2+a—3],\n13当心2时，an+l>an,即2n—2[12逅)n—2+a—3]N0,12・g)n—2+a—3N0,Aa>-9,综上，所求的a的取值范围是[—9,+oo].【点评】一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解.木题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.题型二数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：⑴比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分了的扩人或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的冃的.【例3】已知数列｛an｝是等差数列,其前n项和为Sn,a3=7,S4=24.(I)求数列｛an｝的通项公式;(II)设p、q都是正整数,且pfq,证明：Sp+q<*(S2p+S2q)・【分析】根据条件首先利川等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决笫(I)小题；笫(II)小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】(I)设等差数列伽｝的公差是d,依题意得，｛:肾翼2牢解得｛:為，二数列｛an｝的通项公式为an=al+(n—l)d=2n+1.(II)证明：Tan=2n+1,・*.Sn=n2+2n.2Sp+q_(S2p+S2q)=2[(p+q)2+2(p+q)]_(4p2+4p)_(4q2+4q)=_2(p_q)2,Vp?^q,2Sp+q—(S2p+S2q)<0,Sp+q<^(S2p+S2q).【点评】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：(1)因式分解；(2)化平方和的形式；(3)如果涉及分式，则利用通分；(4)如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】(08•安徽高考)设数列伽｝满足al=0,an+l=can3+l-c,cGNB其中c为实数.(I)证明：anG[0,1]对任意n^N*成立的充分必要条件是cW[0,1]；(II)iS0l—(3c)n-l,n^N*；(III)设0n+1—:—,n^N*.1—3c【分析】第(1)小题可考虑用数学归纳法证明；第(2)小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第(3)小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n项和求和，再进行适当放缩.【解】(I)必要性:Val=0,a2=l-c,乂・.・a2W[0,1],A0l)成立，则\nak+l=cak3+1—cl—c>0,Aak+ie[O,1],这就是说n=k+1时，anE[O,1].由(1)、(2)知，当ce[O,1]时，知anW[O,1]对所胡nWN*成立.综上所述，ane[O,1]对任意nGN*成立的充分必要条件是cG[O,1].(II)设OVcV*,当n=l时，al=O,结论成立.当nN2时，illan=can-13+1—c,1—an=c(l—an-l)(l+an-l+an-12)VOl—(3c)n-l,nGN*.1?(I)设OVcV亍,当n=l时，al2=0>2—厂芜，结论成立.当22时，由(II)an>l-(3c)n-l>0,an2>[(l—(3c)n-1)]2=1-2(3c)n-1+(3c)(n-1)>1—2(3c)n-1,al2+a22+…+an2=a22+…+an2>n—1—2[3c+(3c)2+.・・+(3c)n—1]=n—1—2[1+3c+(3c)2+…+(3c)n—l—l]=n+1—2[1—(3c)n]l-3c>n+l2l-3c【点评】本题是数列打不等式、数学归纳法的知识交汇题，属丁难题，此类试题在高考中点占有一席Z地，复习时应引起注意•木题的第(I)小题实质也是不等式的证明，题型三求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题，冇时须结合不等式來解决，其具体解法冇：⑴建立冃标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然麻确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】(0&四川高考)设等差数列伽｝的前斤项和为Sm若S4>10,S5<15,则a4的最大值为.【分析】根据条件将丽4项与前5项和的不等关系转化为关于首项al与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，由此对确定a4的最大值.【解】・・•等差数列伽｝的前〃项和为Sn,且S4>10,S5<15,4x3fS4=4al+—d>10w+3血5.a4=al+3d>^+3d=^lS5=5al+^-d<15d-a4=al+3d=(al+2d)+d<3+d・^1，・・・|f(ll)|>|f(10)|>…>|f(l)|,当G11时，喘捫=警<1,・・・|f(ll)|>|f(12)|>|f(13)|>...,Vf(ll)<0,f(10)<0,f(9)>0,f(12)>0,・・・f(n)的最大值为f(9)或f(⑵中的最大者.・••当n=12时，f(n)有最大值为f(12)=200212(|)66.【点评】本题解答有两个关键：⑴利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(⑵与f(9)的大小.整个解答过程还须注意f(n)»P各项的符号变化情况.题型四求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主耍表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对彖存在或结论成立，以此假设为前捉条件进行运算或逻辑推理，若由此推岀才盾，则假设不成立，从而得到“否定''的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】已知伽｝的前n项和为Sn,且an+Sn=4.(I)求证:数列伽｝是等比数列；(II)是否存在正整数k,使Sk+1-2Sk-2>2成立.【分析】第(I)小题通过代数变换确定数列an+1与an的关系，结合定义判断数列沏】｝为等比数列；而第(II)小题先假设条件小的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.【解】(I)山题意，Sn+an=4,Sn+l+an+l=4,由两式相减，得(Sn+1+an+l)—(Sn+an)=0,即2an+l—an=0,an+l=*an,又2al=Sl+al=4,.*.al=2,数列｛an｝是以首项al=2,公比为q=》¥j等比数列.2[l-(|)n](II)|ll(I),得Sn=j—=4~22-n.l~2Sk+1—24—?1-k—2?3又由Sk-2>2,得4—22-k—2>厶整理，得扌<21-kVl,E|Jl<2k-l<|,\n・・・kWN*,・・・2k-lGN*,这与2k-ie(l,㊁)相矛盾，故不存在这样的k,使不等式成立.【点评】木题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“k^N*”，这是在解答数列问题屮易忽视的一个陷阱.2【例8](08•湖北高考)已知数列｛an｝和｛bn｝满足：al=九，an+l=pn+n-4,bn=(-l)n伽一3n+21),其中X为实数，n为正整数.(I)对任意实数入，证明数列｛an｝不是等比数列；(II)试判断数列｛bn｝是否为等比数列，并证明你的结论；(III)设0[、是等比数列.(II)解:因为bn+1=(-l)n+l[an+1-3(n+1)+21]=(—l)n+l(|an—2n+14)=—^(a2n—3n—21)=—前乂bl=-(X+18),所以当k=—18时，bn=0(neN*),此时｛bn｝不是等比数列；当V-18时，bl=-(九+18)壬0,由上可知bnfO,A^^-=-|(neN*).2故当)#-18时，数列｛bn｝是以一(X+18)为首项，一彳为公比的等比数列.(III)由(II)知,当X=-18,bn=0(neN*),Sn=O,不满足题目要求;.・・・砂_18,故知bn=-(X+18)x(-|)n-l,于是Sn=-舟@+18)[l-(-|)n]要使a3a).当a—3a—18,不存在实数满足题H要求；当b>3a存在实数入，使得对任意正整数n,都有acnB.bncnD.bnb6C.a6b6或a60，英前n项的和为Sn,则S4a5与S5a4的大小关系是A.S4a5S5a4C.S4a5=S5a4D-不确定6.Sn设Sn=l+2+3+...+n,n^N*,则函数-的最大值为C-40A-20B・307-已知y是x的函数，Ig3,lg(sinx—*),lg(l-y)顺次成等差数歹I」，则A.y有最大值1,无最小值B.y有最小值*,无最大值C.y有最小值H，最人值1D.y有最小值一1,最人值1己知等比数列｛an｝'|'a2=l,贝ij其前3项的和S3的取值范围是A.(—00,—1]B.(—oo,—1)U(1,+oo)C.[3,+oo)A.1B.2C.3D-4D.(—co,—1]U[3,+oo)9.设萌b是1—a和1+a的等比中项，则a+3b的最大值为()10.设等比数列｛an｝的首相为al,公比为q,则“al<0,且0VqVl"是“对于任意n^N*都有an+l>an"的A.充分不必要条件C.充分比要条件B.必要不充分条件D.既不充分乂不必要条件\n11.｛an｝为等差数列,q11若爲<一1,且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n=A.11()B.17C・19D.2112.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、yWR,都有f(x)f(y)=f(x+y),若al=|,an=f(n)(nWN*),则数列伽｝的前n项和Sn的取值范围是()A•百，2)B.[*,2]C.百，1)D.百，1]二、填空题13.等差数列伽｝的前n项和为Sn,Ma4-a2=8,a3+a5=26,记Tn=g,如果存在正整数M,使得对一切正整数n,都成立•则M的最小值是.14.无穷等比数列｛an｝屮，al>l,|q|0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则卑的最小值是.A.0B.1C.2D.416.等差数列｛an｝的公差d不为零，Sn是其前n项和，给出下列四个命题：①A.若dVO,且S3=S8,则｛Sn｝中，S5和S6都是｛Sn｝中的授大项；②给定n,对于一定keN*(k0,则｛Sn｝中一定有最小的项;④存在kGN*,使ak—ak+l和ak—ak-1同号其中真命题的序号是・三、解答题17.已知伽｝是一个等差数列,JLa2=l,a5=—5.(I)求伽｝的通项(II)求｛an｝前n项和Sn的最大值.18.已知｛an｝是正数组成的数列，al=l,且点&^,an+l)(nWN*)在函数y=x2+1的图象上(I)求数列｛an｝的通项公式；(II)若列数｛bn｝满足bl=l,bn+l=bn+2an,求证：bnbn+20,且q工1口寸，bn0,bll>0,所以bl赴11,则a6=a'；all=bl：bll〉#b]bii=b6.4.【解析】因数列为等差数列，an=Sn-Sn-l=2n-10,ill5<2k-10<8,得到k=8.5.【解析】S4a5-S5a4=(a1+a2+a3+a4)a4q—(a1+a2+a3+a4+a5)a4=—a1a4=—al2q3<0,AS4a5|,yVl,所以当sinx=l时，y有最小值*,无最大值.8-9.+2D【解】•.•等比数列｛an｝屮a2=l,.*.S3=al+a2+a3=a2(-+1+q)=1+q+~.当公比q>0时，S3=1+q+~>lqqqq*=3,当公比q<0时，S3=1—(—q—”Wl—2寸(一q)(—*)=—1,AS3^(—co,—1]U[3,+cc).B【解析】是1—a和1+a的等比中项，贝lj3b2=l-a2oa2+3b2=l,令a=cosO,羽b=sinO,0e(0,2兀),所以a+3b=cos0+-\/3in0=2sin(0+^)<2.10.A【解析】当al<0,且OVqVl时,数列为递增数列,但当数列为递增数列时，还存在另一情况al>0,且q>1,故选A.11.C【解析】山黑<—1，得驾空110,且S20<0,此时n=19.\n12.C【解析】f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、yWR,都冇f(x)f(y)=f(x+y),al=|,an=f(n)(neN*),an+l=f(n+l)=f(l)f(n)=|an,ASn=^—1—g)n.则数列｛an｝的前“项和的取值范围是1).1_2二、填空题13.2【解析】由a4—a2=8,可得公差d=4,再由a3+a5=26,可得al=l,故Sn=n+2n(n—l)=2n2—n,/.Tn厂=2—右要使得Tnq占,但|q|0,点(mSn)分布在开口向上的抛物线，故｛Sn｝中一定有最小的项,故③正确；而ak—ak+l=—d,ak—ak-l=d,且(#0,故④为假命题・三、解答题17.【解】(I)设伽｝的公差为止由已知条件，所以an=al+(n—l)d=—2n+5.18.al+d=1i‘al+4d=-5'解岀23,d=-2.(II)Sn=nal+呃gd=—n2+4n=—(n—2)2+4,所以n=2吋，Sn取到最大值4.【解】(I)由已知得an+l=an+l,即an+1—an=L又al=l,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故an=l+(a—l)xl=n.(II)由(I)知：an=n从而bn+1—bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+...+(b2-bl)+bl=2n-l+2n-2+...+2+1=-^y=2n-12因为bn・bn+2—b"+i=(2n—l)(2n+2—1)—(2n-l—1)2=(22n+2—2n+2—2n+1)—(22n+2—2—2n+1一1)=—5・2n+4・2n=—2nV0,2所以bn-bn+20.那么,3—an3—an9anbn+12—bn2=an+12(3—2an+1)—an2(3—2an)=(——以3—2x―-~)—an2(3—2an)=-^(an—1)2.\n又由(I)知an>0,且an定1,故bn+12—bn2>0,因此bn10,所以满足要求的最小正整数m为10.22.【解】(I)由于色-刃勺5=1，2,…),且的=1所以当时，得-1=2-2,故2=3.从而冬=(22+2-3)x(-1)=-3(II)数列仏｝不可能为等差数列，证明如下：由®T,%】=斥+〃一刃色\n彳号a?=2-久他=(6-刃(2—2)為=(12_2)(6-2)(2-兄)若存在久，使为等差数列，则a3~a2=a2-ai即(5一A)(2—2)=1—2解得2=3于是勺一坷=1一彳=一2,a4-a3=(11-2)(6—2)(2-2)=-24这与｛"“｝为等差数列矛盾.所以,对任意2,｛。讣都不可能是等差数列.(III)记仇.+兀_恥=1,2,…)，根据题意可知，勺<°且力工°,即2>2且兄”+gNj,这时总存在如wN［满足：当心厲时，®〉0；当〃Wq—l时,»<0.所以由an+l=bnan及吗=1>0可知,若&为偶数,则从而当吋，色<°；若®为奇数，则％>°从而当时色>0.因此“存在加wN：当n>m时总有色<0的充分必要条件是："o为偶数，J如=(2R)2+2R-2〉0记“0=2k(k=1,2,…)，则2满足［俎一1=(2k—V)2+2R-1一几<0故久的取值范围是力~2kr=l,即|m_5|>5,me（-oo>0）U（10,+oo）.【点评】解答此类题型的思路冇：①判别式法（即方程法），②平面几何法（运川d与r的关系），③数形结合法.由于闘的特殊性（既是屮心对称图形又是轴对称），因此解答肓线与圆的位置关系时一般不利用判别式法，而利用平面几何法求解，即利用半径r、圆心到直线的距离d的求解.题型二圆锥曲线间相互依存抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有札I同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式，只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好，处理这类问题的闲难不人.【例2]（2009届人同市高三学情调研测试）设双曲线以椭圆x225+y29=l长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双Illi线的渐近线的斜率为（）A.±2B.±43C.±34D.±12【分析】根据椭圆的两个端点坐标确定双1111线的焦点坐标，再根据椭圆的焦点得到双曲线的准线方程，由此得到关于双Illi线关于a、c的值，进而得到b的值，再进一步求得渐近线的斜率.【解】由椭圆方程知双曲线的焦点为（5,0）,即c=5,又同椭圆的焦点得a2c=4,所以a=25,贝ljb=c2—a2=5,故双Illi线渐近线的斜率为土ba=±12,故选D.【点评】本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、儿何性质及相关儿何量之间的相互关系.木题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇，解答时主要根据这两种曲线的和同点建立关于基木量a、b、c、p之间的方程，再通过解方程求出相关基本量值，进而求取相关的问题.\n题型三直线与圆锥曲线的位置关系\n肓.线与圆锥曲线的位置关系主要考杏三种题型：一是判断己知玄线与已知曲线的位置关系；二是根据肓线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题：三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等.解答此类题型的一燉方法化为二次方程，利用判别式与韦达定理来求解.【例3】(2009届东城区高中示范校高三质量检测题)己知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为23.(I)求双曲线C的方程；(II)若直线1：y=kx+2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(III)在(II)的条件下，线段AB的垂在平分线10与y轴交于M(0,b),求b的取值范伟|・【分析】第(1)小题利用直接法求解；第(II)小题将直线・双曲线方程联立消去y，然后利用判别式及韦达定理求解：第(III)小题须利用“垂直”与呼分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b关于斜率k的表达式，结合第(II)小题k的范|羽求解.【解】(I)设双曲线方程为x2a2-y2b2=l(a>0,b>0),由已知，得a=3,c=2,b2=c2-a2=l,故双曲线方程为x23—y2=l.(II)设A(xA,yA),B(xB,yB),将y=kx+2代入x23~y2=l,得(1—3k2)x2—62kx—9=0.由题意知1—3k2H0A=36(l—k2)>0xA+xB=62kl—3k2V0xAxB=—91—3k2>0,解得，33GA+->GB+->GC=->0；②|->MA|=|->MB|=|->MC|：③AB.(I)求AABC的顶点C的轨迹方程；(II)过点P(3,0)的宜线1与(II)屮轨迹交于E,F两点，求一PE・一PF的取值范围•【分析】由于涉及到的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐标，然后将坐标代入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第(1)小题就可求解•第(II)小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k的范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立fPE・一PF关于k的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果.【解】(I)设C(x,y),G(x0,y0),M(xM,yM),•・・|fMA|=|fMB|,・・・M点在线段AB的中垂线上.由己知A(-l,0),B(l,0),AxM=0,乂・.・fGM〃fAB,.\yM=yO,乂—GA+—GB+—GC=f0,・・・(一l—x0,y0)+(l—x0,—y0)+(x—x0,x—y0)=(0,0),・・.x0=x3,y0=y3,yM=y3,V|-*MB|=|->MC|,・•・(()_l)2+(y3_0)2=(0_x)2+(y3_y)2,・・・x2+y23=l(yH0),・・・顶点C的轨迹方程为x2+y23=l(yHO).(II)设直线1方程为：y=k(x_3),E(xl,yl),F(x2,y2),由y=k(x-3)x2+y23=l,消去y得:(k2+3)x2—6k2x+9k2-3=0…①,・・・xl+x2=6k2k2+3,xlx2=9k2—3k2+3,而PE・-PF=|->PE|・|->PF|・cosO°=|PE|・|PF|=l+k2卩一xl|・l+k2卩一x2|=U+k2)|9—3(xl+x2)+xlx2|=(l+k2)|9k2+27—18k2+9k2—3k2+3|=24(k2+l)k2+3=24—48k2+3,\n由方程①知A=(6k2)2-4(k2+3)(9k2-3)>0,k2<38,TkHO,A0PE•-*PFe(8,889).【点评】本题主要考查向虽的坐标运算及儿何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查”设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应川能力.木题解答冇两个关键：⑴对条件中的向量关系的转化；(2)建立一PE・一PF关于宜线斜率k的函数.解答本题还有一个易错点：忽视肓线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩人.题型六圆锥曲线与数列的交汇此类试题主要体现为以解析儿何中的点的坐标为数列，或某数列为鬪锥曲线方程的系数，或以直线与圜及鬪锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答.例6(2009届渭南市高三教学质量检测)己知双Illi线anIy2-anx2=anlan的一个焦点为(0,cn),一•条渐近线方程为y=2x,其中｛an｝是以4为首项的正数数列.(I)求数列｛cn｝的通项公式;(II)求数列｛ncn3｝的前n项和Sn.【分析】将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立cn与an、an1的等式，再利用渐近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列伽｝为等比数列，由此可求得an的表达式，进而求得｛cn｝的通项公式，由此解决第(I)小题；第(II)小题利用第(I)的结果确定数列｛ncn3｝的通项公式，根据公式特点选择利用错位相减法求解.【解】(I)V双曲线方程y2an—x2an1=1的焦点为(0,cn),.*.cn=an+an1,又T—条渐近线方程为y=2x,即anan1=2,/.anan1=2,又al=4,an=4・2nl=2n+l,即cn=2n+l+2n=3・2n.(II)Vncn3=n・2n,/.Sn=1•2+2・22+3•23n・2n①2Sn=l・22+2・23+3・24+•••+(n_l)・2n+n・2n+l②由①一②得一Sn=2+222n—n•2n+l,AS=-2(l-2n)l-2+n・2n+1=2-2n+1+n・2n+l.【点评】木题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相减法，同时考杳转化思想及解答综合处理交汇试题的能力.本题是一道与数列相结合的一道综合题，但难度并不人.解答本题注意两点基本知识及方法的应用：(2)通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式；(2)利用错位相减法求解求和.\n【专题训练】一、选择题1.设X,yER,且2y是1+x和1—x的等比屮项，则动点(x,y)的轨迹为除去轴上点的()A.—条直线B.—个圆C.双曲线的一支D.—个椭圆2.已知AABC的顶点A(0,-4),B(0,4),且4(sinB-sinA)=3sinC,则顶点C的轨迹方程是()A.x29-y27=l(x>3)B.x27-y29=l(x>7)C.y29—x27=l(y>3)D.y27-x29=l(y<-7)3.现有一块长轴长为10分米，用轴长为8分米，形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划块面积尽可能大的矩形镜子,则可划出的矩形镜子的最大面积为()A.10平方分米B.20平方分米C・40平方分米D.41平方分米4.设A(xl,yl),B(4,95),C(x2,y2)是右焦点为F的椭圆x225+y29=l上三个不同的点，贝lJ”|AF|,|BF|,|CF咸等差数列”是”xl+x2=8”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既非充分也非必要5.直线1：y=k(x—2)+2与圆C：x2+y2—2x—2y=0相切，则肓线1的一个方向向蜃一v=()A.(2,-2)B.(1,1)C.(一3,2)D.(1,12)6.已知椭圆E的离心率为e,两焦点为Fl,F2,抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两111|线的一个交点，若|PF1||PF2|=c,则c的值为()A.33B.32C.22D・637.椭圆x2a2+y2b2=l(a>b>0)的左、右焦点为Fl,F2,过Fl的直线与椭圆相交于A、B两点。若ZAF1F2=6O,且AF1・一AF2=0,则椭圆的离心率为()A.3+1B.3-1C.2-3D.4-3\n1.如图一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD,设CD与OM交于P,则点P形成的图形是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆2.如图，P是椭圆x225+y29=1上的一点，F是椭圆的左焦点，且一OQ=12(fOP+—OF),|OQ-|=4,则点P到该椭圆左准线的距离为()A.6B.4C.3D.523.(理科)设xl,x2WR,a>0,定义运算”性x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若xMO,则动点P(x,x*a)的轨迹方程为()A.y2=4axB.y2=4ax(y20)C.y2=—4axD・y2=—4ax(y20)4.设集合A={(x,y)|x,y,1—x—y是三饬形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()A.B.C.D.5.在平面直线坐标系xoy中，已知AABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=l上，则sinA+sinCsinB=()A.45B.-45C・54D.一54二、填空题6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆x28+y24=l的右焦点重合，则的值为\n1.若点(1,1)到直线xcosa+ysina=2的距离为d,则d的最大值是.\n1.椭圆x2a2+y2b2=l(a>b>0)的左、右焦点为Fl,F2,过Fl的直线与椭圆相交于A、B两点.若ZAF1F2=6O,且一AF1・〜AF2=0,则椭圆的离心率为.2.设A(l,0),点C是曲线y=1—x2(0WxWl)上异于A的点，CD丄y轴于D,ZCAO=B(其中O为原点)，将|AC|+|CD|表示成关于()的函数f(()),则f(0)=.三、解答题3.在氏角坐标系xOy屮，以O为圆心的圆与直线x—3y=4相切.⑴求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A,B两点，圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB咸等比数列，求一PA・fPB的取值范围.4.(08届麻城博达学校高三数学综合测试四)设OC1,0C2,…，OCn是鬪心在抛物线y=x2上的一系列闘，它们的圆心的横坐标分别记为al,a2,…，an,已知al=14,al>a2>--->an>0,OCk(k=l,2,…n)都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切(I)求由al,a2,…，an构成的数列｛an｝的通项公式；(II)求证：a21+a22Ha2n<14.5.(08年泰兴市3刀调研)已知OO：x2+y2=l和定点A(2,1),由。0外一点P(a,b)向OO引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(I)求实数a,b间满足的等最关系；(II)求线段PQ长的最小值：(III)若以P为圆心所作的OP与OO有公共点，试求半径最小值时OP的方程.6.已知定点A(-2,-4),过点A作倾斜角为45的直线1,交抛物线y2=2px(p>0)于B、C两点,且|BC|=210.(I)求抛物线的方程；(II)在(I)中的抛物线上是否存在点D,使得|DB|=|DC咸立？如果存在，求出点D的坐标；如杲不存在，请说明理由.\n1.已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(l,2),它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点・(1)求这三条曲线的方程；(II)已知动直线1过点P(3,0),交抛物线于A、B两点，是否存在垂玄于x轴的肓线1被以AP为肓径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出1的方程；若不存在，说明理由.2.椭圆C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)的两个焦点为Fl、F2,短轴两端点Bl、B2,已知Fl、F2、Bl、B2四点共圆，且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为52.(I)求此时椭圆C的方程；(II)设斜率为k(kHO)的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P(0,33)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范I罚；若不能，请说明理由.【专题训练】参考答案一、选择题1.D【解析】由题意得(2y)2=(l+x)(l—x),即x2+4y2=l.2.C【解析】由条件c=|AB|=8.由正弦定理：4(b-a)=3c=24,b~a=6,即|CA|—|CB|=6.点C的轨迹是焦点在y轴的双曲线上支,Ta=3,c=4,b=7,其方程y29-x27=l(y>3).3.C【解析】设椭圆方程为x225+y216=l,P(5cos,4sin),Q(—5cos,4sin),R(5cos,—4sin)是矩形的三顶点，则S矩形=|10cos|・|8sin|=40|sin2|W40.4.S【解析】a=5,b=3,c=4,e=45,F(4,0),由焦半径公式町得|AF|=5—45x1,|BF|=5-45X4=95,|CF|=5-45x2,故|AF|,|BF|,|CF|成等差数列(5-45xl)+(5—45x2)=2X95xl+x2=8・5.A【解析】圆C：(x—l)2+(y—1)2=2,圆心C(l,1),半径r=2,宜线1：kx-y-2k+2=0,由宜线与圆和切的条件知|k—1-2k+2|k2+1=2,解得k=一1.6.A【解析】过P作抛物线的准线的垂线,垂足为H,则抛物线准线％x=-3c,|PFl||PF2|=e,又|PF2|=|PH|,・・・|PFl||PH|=e,・・・x=-3c也为椭圆E的准线.二一a2c=—3ce=33.7.B【解析】-AFl・〜AF2=0,AAF1丄A2F,TZAF1F2=6O,「・|F1F2|=2|AF1|,|AF2|=3|AF1|,A2a=|AFl|\n+|AF2|,2c=|FlF2|,e=ca=|FlF2||AFl|+|AF2|=3-1.1.椭圆【解析】|PO|+|PF|=|PM|+|PO|=R(半径)>|0F|,根据椭圆定义知P形成的图形是以0、F为焦点的椭圆.9.D【解析】由一0Q=12（->OP+->OF）,得Q是PF的中点.又TIOQ十4,所以P点到右焦点F的距离为8,・・・|PF|=2X5—8=2,又|PF|d=e=ca=45（d表示P到椭圆左准线的距离）,Ad=52.10.B【解析】设P(x,y),则y=x*a=(x+a)2—(x—a)2=4ax,即y2=4ax(y20)・11.A【解析】由构成三角形的条件知x+y>1—x—yx+1—x—y>yy+1—x—y>x,即2x+2y>12y<12x<1,易知选A.12.C【解析】由双曲线方程及定义|BC|+|AB|=10,|AC|=8,根据正弦定理知sinA+sinCsinB=|BC|+|AB||AC|=54.二、填空题13・4【解析】抛物线的焦点为(p2,0),椭圆的右焦点为(2,0),则由p2=2,得p=4.14.2+2【解析】d=|cosa+ysina|=|2sin(a+4)—2|,当sin(a+4)=_1时,d的最大值是2+2.15・3-1【解析】-AF1・-AF2=0,AAF1丄A2F,VZAF1F2=6O,・・.|F1F2|=2|AF1|,|AF2|=3|AF1|,A2a=|AF1|+|AF2|,2c=|FlF2|,e=ca=|FlF2||AFl|+|AF2|=3-1.16.-2cos20+2cos0+1,0e(4,2)【解析】根据条件知ZCOA=180-20,且0e(4,2),则点C(cos(180-20),sin(180-20)),即C(—cos20,sin20),则|AC|+|CD|=(1+cos20)2+sin220-cos20=—2cos20+2cos9+1,ee（4,2）.三、解答题17.【解析】(I)依题知圆O的半径r等于原点O到直线x—3y=4的距离,即r=41+3=2,・・・圆O的方程为x2+y2=4.(II)不妨设A(xl,0),B(x2,0),xlrk+l,如图,作Ck+lBk丄AkCk于Bk,则|CkCk+112-|CkBk|2=|AkAk+112,\n即(rk+rk+l)2—(rk—rk+l)2=(xk—xk+l)2,lxk+1—lxk=2,・・・{lxk}是首项为4,且公差为2的等差数列,・・・xk=12(k+l).(2)Vl(k+l)20,•••△=4(2+p)2—16>0,设B(xl,yl)、C(x2,y2),「.xl+x2=4+2p,xl•x2=4,V|BC|=210,而|BC|=l+k2|xl-x2|,・・・22p2+4p=210,解得p=l,・•・抛物线方程y2=2x.(II)假设在抛物线y2=2x上存在点D(x3,y3),使得|DB|=|DC咸立，记线段BC中点为E(x0,y0),则|DB|=|DC|DE丄BCkDE=_lkl=_l,当p=l时，①式成为x2—6x+4=0,x0=xl+x22=3,y0=x0—2=1,・°•点D(x3,y3)应满足y23=2x3y3—1x3—3=—1,解得x3=2y3=2或x3=8y3=—4.・・・存在点D(2,2)或(8,-4),使得|DB|=|DC|成立.18.【解析】(I)设抛物线方程为y2=2px(p>0),将点M(l,2)坐标代入方程得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.由题意知椭圆、双曲线的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=l,c=1,对于椭圆，2a=|MFl|+|MF2|=(l+1)2+224-(1-1)2+22=22+2,所以a=l+2,所以a2=(l+2)2=3+22,所以b2=a2-c2=2+22,所以椭圆方程为x23+22+y22+22=1,\n对于双曲线，2a=||MFl|-|MF2||=22-2,所以a=2-1,所以a2=3~22,所以b=c2_a2=22—2,所以双曲线方程为x23—22—y222—2=1,(lly&AP的中点为G,1的方程％x=t,以AP为直径的圆交1于D、E两点，DE中点为H,令A(xl,yl),所以G(xl+32,yl2),所以|DG|=12|AP|=12(x1-3)2+yl2,|GH|=|xl+32-t|=12|(xl-2t)+3|,所以|DH|2=|DG|2-|GH|2=14[(xl-3)2+yl2]-14[(xl—2t)+3]2=(t—2)xl—t2+3t,当t=2吋，|DH|2=—4+6=2为定值，所以|DE|=2|DH|=22为定值，此吋1的方程为x=2.16.【解析】(I)根据椭圆的儿何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心,故该椭圆屮a=2b=2c,即椭圆方程可为x2+2y2=2b2.设H(x,y)为椭圆上一点,则|HN|2=x2+(y—3)2=—(y+3)2+2b2+18,其中一bWyWb,若0VyV3,则y=—b时，|HN|2有最大值b2+6b+9,由b2+6b+9=50,得b=—3±52(舍去)，若b$3,当y=—3时，|HN|2有最人值2b2+18.由2b2+18=50,得b2=16,故所示椭圆的方程为x232+y216=l.(II)设E(xl,yl),F(x2,y2),Q(x0,yO),则由xl232+yl216=l与x2232+y2216=1二式相减,得(xl+x2)(xl—x2)32—(yl+y2)(yl—y2)16=0,又xl+x2=2x0,yl+y2=2y0,且k=yl_y2xl_x2,则x0+2ky0=0,乂直线PQ丄直线m,・・・直线PQ方程为y=lkx+33,将点Q(x0,yO)代入上式得,y0=lkx0+33……④,由③④得Q(233k,-33)Q,而0点必在椭圆内部，x0232+y0216P(D).答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率人.【点评】本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第(I)小题正确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件，而笫(II)的解答则充分利用对立事件进行的计算•-•般情况卞，如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁，则可以考虑计算对立事件的概率来解答.【例3】(08•重庆高考)在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题屮的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(I)恰有两道题答対的概率；(II)至少答对—•道题的概率.【分析】第(I)小题事件为独立重复试验，因此可直接计算；第(II)小题可以考虑利用正确解答，也可以考虑其对■立事件进行解答.\n【解】“选择每道题的答案"为一次试验，则这是4次独立重复试验，旦每次试验屮“选择正确”这一事件发生的概率为扌.由独立重复试验的概率计算公式得：1327(I)恰有两道题答对的概率为P4⑵=C4(?2(R2=莎.(II)解法一：至少有一道题答对的概率为1—P4(0)=l—C0(*)0(扌)4=1—^令=¥|.解法二：至少有一道题答对的概率为分为4类情形：13[0813971117]31P4(1)=C4Q)1仃)3=页，P4(2)=C/q)2切2=莎，P4(3)=C陶)3(R1=疾，P4(4)=C4(?4(才)0=页.所以至少答对一道的概率为P4⑴+P4⑵+P4⑶+卩4(4)=誥+益+悬+烽=帶・【点评】本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算•从第(II)小题的两种解法可以看到，当正确解答分类情况较多时，还是计算其对立事件的概率来的快.题型二求离散型随机变量的分布列、期望与方差此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理信息的能力•主要题型：(1)离散型随机变量分布列的判断；(2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差应用；(3)根据离散型随机变量的分布列求概率；(4)根离散型随机变量分布列、期望与方差性质的求参数.【例4](08•湖北理)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=l,2,3,4).现从袋中任取一球表示所収球的标号(1)求乙的分布列，期望和方差；(II)若”=ag+b,Et]=1,5=11,试求a,b的值.【分析】笫(I)小题根据等可能事件的概率计算公式可求g収0、1、2、3、4吋的概率，从而得分布列；第(II)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决.【解】(I)g的分布列为：g01234P121201To32015・・・Eg=0x*+lx肃+2x寺+3烷+4x*=1.5.Dg=(0-1.5)2x*+(l-1.5)2x肃+(2—1.5)2><寺+(3—1.5)2x春+(4-1.5)2x*=2.75.(II)由Dn=a2D^,Eq=aEg+b,得｛丫算;二解得｛：二2_2或｛【点评】(1)求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果川二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列与结合知识.\n（2）而解决与分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解或通过建立方程来解决来解决.【例5】（08全国II高考）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.己知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1一0.9991°4（【）求一投保人在一年度内出险的概率p；（II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的授低保费（单位：元）.【分析】笫（I）小题利用对立事件，并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出险的概率P；第（II）小题首先求投保的10000人中出险的人数g的期望，再利用期望的线性关系的性质求取盈利期望E1]的值.【解】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p,记投保的10000人中出险的人数为g,贝Ijg〜B（104,p）.（I）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则云发生当且仅当£=0,P（A）=1_P（入）=1_P（g=0）=1-（1-p）104又P（A）=1-O.999104,故p=0.001.（II）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和.支出10000^+50000,盈利r|=100003-（10000^+50000）,盈利的期望为Ei]=10000a一10000Eg—50000,由g〜B（104,10-3）知,E^=104x10-3,Ei]=104a-l04Eg-5x104=104a-104x104x10-3-5x104.E陀Oo104a—104x104x10—3—5x104>0«a>15（元）.故每位投保人应交纳的授低保费为15元.【点评】本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用.二项分布的期望与方差的计算一般不利用求解离散型随机变量X的期望为方差的方法求解，因计算较为繁琐，而是根据其自身的期望与方差的计算公式，常可使问题得到快速的解决.【例6】（08•江西高考）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑枯产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4：笫二年可以使柑\n桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实通方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1・2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、06实施每种方案，第二年与第一年和互独立。令gi(i=i,2)表示方案‘实施两年示柑桔产量达到灾前产罐的倍数.(I)写出gl、g2的分布列；(II)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(III)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计对带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带來效益20万元；问实施哪种方案所带來的平均效益更大？【分析】第(I)小题将首先根据两年后增长倍数确定gl、Q的取值，同时由相应的概率积可即可得分布列；笫(II)小题根据分布列将满足条件的数据相加即可比较得结果：第(Ill)小题根据第(I)小题的分布列确定关于两个方案带来的效益qi(i=l>2)的分布列，再通过计算期望进行比鮫.【解】(I)gl的所冇取值为0.8、0.9、1.0、1.125>1.25,§2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.・・・gl、§2的分布列分别为：gl0.80.91.01.1251.25p0.20.150.350.150.15学0.80.961.01.21.44p0.30.20」80.240.08(II)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,P(A)=0.15+0.15=0.3,P(B)=0.24+0.08=0.32,可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大.(iii)令m表示方案j所带来的效益，贝qni101520p0.350.350.3101520p0.50.180.32所以Ei]l=10x0.35+15x0.35+20x0.3=14.75,Et]2=10x0.35+15x0.18+20x0.32=14.75,\n可见，方案一■所带来的平均效益更人.【点评】本题主耍考查离散型随机变量的分布列及期望，以及根据期望进行比较方案优劣.此题比较冇新意，表现在一个分布列的建立须根据前一个分布列的数据，解答此题的易错Z处：由于本题涉及到的数据较多，交叉性也较强，因此容易把对应的数据搞错.题型三抽样方法的识别与计算此考点在高考屮常常结合应用问题考查构照抽样模型，搜集数据，处理材料等研究性学习的能力，主耍考查题型：（1）根据所要解决的问题确定需耍釆用的何种抽样方法:（2）根据各类抽象方法的具体特点求相关的数据.【例7】（0&陕西）某林场有树苗30000棵，其屮松树苗4000棵.为调杳树茁的生长悄况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样木中松树苗的数量为（）A.30B.25C.20D.15【分析】利用分层抽样的特点，按比较进行计算即可.【解】设样木中松树苗的数量为兀，则册产点，解得x=20.点评：确定抽样方法必须根据各种抽样方法的特点來判断：总体中的个体数较少时，宜用简单随机抽样；总体由差异明显的儿部分组成时，宜用分层抽样.而关于抽样方法的计算主要集中在分层抽样上，一般按比例进行计算.题型四总体分布的估计此考点在高考小常常是结合一些实际问题考查频率分布表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力.主要题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件卜•的个体频数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率分布表或直方图的完善.【例8】（08•广东）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产站的数量.产站数量的分组区间为[45,55],[55,65],[65,75],[75,85],[85,95）,由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75）,的人数是.【分析】利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可.【解】20x（0.040x10+0.025x10）=13.点评：解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1；②利用公\n式：频率=条形图的面积=纵坐标X横坐标，或利用公式频数=样木容最X频率；③利用频率分布图中相关数据；④利用频率分布表绘制频率分布直方图.【专题训练】一、选择题1.在抽杏某产品的尺寸过程屮，将其屮尺寸分成若干组，［a,b］是其中一纟H.,抽杏出的个体数在该组上的频率为加，该组上的直方图的高为力，贝iJ|a-b|等于（）A.hmB.*C.学D.与m,n无关2.把一颗散子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量粉=（a,b）,丹=（1,-2）,则向量斑与向量丹垂直的概率是（）A-6B-12C-9D*183.中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，口色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本,则这个样木恰好是按分层抽样方法得到的概率为C4C2C132C焙C4C8C132C臣C4C8CU2C焰C4C8C陀C%A・C40C40C，C40D*C404.某校冇高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师屮抽取56人进行调杏，已知从其他教师屮共抽取了16人，则该校共有教师人为（）A.81B.152C.182D.2025.设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9,活到15岁的概率为0.6,现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（）33227A*5B-TOC-3D-506.从5张100元,3张200元,2张300元的奥运预赛门票中任取3张,则所収3张中至少有2张价格相同的概率为（）A.r23D・刃6.2009年的2月有28犬，1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月均有31犬，其余月均有30天，若从12个月中随机抽取3个月，恰有一个月有30天的概率是（）\n7A.2228B.55211C.55D.2\n1.在某地的奥运火矩传递活动中，有编号为1、2、318的18名火炬手.若从屮任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）A.15?B.168D・4088.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9•己知这纽数据的平均数为10,方差为2,则IX—yI的值为（）A.1B.2C.3D.49.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b不得分的概率为c（a,b。，c£（0,1）），已知他投21篮一次得分的期望为2,贝吟+命的最小值为（）A.普厂28B.y10.右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中吋，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所冇六组中每组的两个接线点川导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是信号源B.136D.81511•已知随机变量X分布列如下表（neN*）：Xp111-2212-3•…n—1n1…(n-l)n*则表中X为（A1)R1C.1n1n(n+l)(n-l)(n-2)nD，n+110.已经一组函数y=2sin（cox+（p）（o）＞0,0V（p三2兀），其中69在集合⑴、3＞4｝中任取一个数，q＞在集合总，号，乎，兀,4ttSity,y,2兀｝中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个，其图象能经过相同的平移后得到函数y=2sin（ox的图象的D.130概率是A.着二.填空题\n10.已知数据xl,x2,x3,…，xn的平均数为a,则数据3x1+2,3x2+2,3x3+2,…，3xn+2的平均数是\n10.某校高中研究性学习小组对木地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数悄况的条形图和快餐公司盒饭年销悟呈的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年怦段销售盒饭万盒.万盒/个人45302005年2006年20M年年快餐公司个数情况图11.—个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c（a、b、ce（0,1））,己知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为.12.在样木的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的而积山小到大构成等差数列伽｝，已知且样本容量为400,则小长方形面积最大的一组的频数为•三、解答题13.某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A'、B两个相互独立问题，并几宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对•问题B可获奖金2a元，先答哪个问题由观众选择，只冇第一个问题答对才能再答第2个问题，否则终止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为*,士问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最人？说明理由。14.将两颗骰子先后各抛一次，a,b表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.（I）若点（a,b）落在不等式组（x>0\y>0表示的平面区域内的事件记为A,求事件A的概率；（1【）若点（a,b）落在直线x+y=m±,使此事件的概Ix+y<4率最大，求m的值.15.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会-•项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设§为7选出的人屮既会唱歌又会跳舞的人数，且P（g>0）=盘.（I）求文娱队的人数；（II）写岀g的概率分布列并计算Eg.16.某工厂在试验阶段人量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有口仅有一项技术指标达标的概率为誇，至少一项技术指标达标的概率为*.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.\n(I)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？(II)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？(III)任意依次抽取该种零件4个，设g表示其中合格站的个数，求Eg与Dg.2310.某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试.甲、乙两名工人通过每次测试的概率分別是M和才.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.(I)求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；(II)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；(III)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格.求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.11.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘両试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是*,仇面试是否合格互不影响.求：(I)至少冇1人面试合格的概率:(II)签约人数歹的分布列和数学期望.【针对训练】参考答案一、选择题歩帀率.m1.C【解析】频率分布的直方图中益=高度，・・・|a—b|=¥・\n2.B【解析】掷骰子是独立事件，V-m-4i>=a—2b=0,所以a=2b,a=2,4,6,b=l,2,3,所求概率为令.3.A【解析】依题意，各层次数量之比为4：3：2：1,即红球抽4个，蓝球抽3个，片球抽2个，黄球抽一个.y—26—1044.C【解析】设总共有x人教师，山于抽样采用的是系统抽样,所以每一层次抽到的概率是和等的，所以可得——-——x=场解得x=182.5.C【解析】设事件A：从0到10岁，事件B：10岁到15岁，A与B互斥，C：0到15岁，所以P(C)=P(A)・P(B),・・・p<3)4H6.C【解析】可从对立面考虑，即三张价格均不相同，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为P=1-cm6.B【解析】3个月中恰有1个月有30天的情况有两种：①两个月31天，1个月30天；②31天，30天，28天,p_C；C：+C；C：C；_28各有1个月，故所求概率557.B【解析】古典概型问题，基本事件总数为C138」；拧『=17x16x3,能组成以3为公差的等差数列有(1,4,1217)、(2,5,&)、...、(12,15,18)共12组，因此概率卩=帀■丽=祝，D【解析】由题意可得：x+y=20,(x—10)2+(y—10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y,只要求出丨x—y丨,设x=10+t,y=10—t,Ix—yI=2|t|=4.9.-2.7D解析：由题3a+2b=2,其中OVaVg,02+2>3+...+^_1^]1—[(1一5+(1-|)+..•+(右—制斗VneN*,/.表格中概率P(X)均为非负,满足分布列的第一条性质:Pi>0,i=l,2,...,n.12.C【解析】这一组函数共冇3x9=21个，从中任意抽取个共冇C2i=21°种不同的方法，其中从这些函数中任意抽収两个，向右平移扌个单位得到函数y=2sincox的图象有三种情形，则有C3=3种収法；向右平移扌个单位得到\n函数y=2siixox的图象也冇三种情形，则冇0=3种取法；向右平移号个单位得到函数y=2sin®x的图象冇两种情形，则有C2=l种取法；向右平移寸个单位得到前数y=2sina)x的图象也有两种情形，则有C2=l种取法；故所求概率是3+3+1+12104105*二.填空题13.3a+2【解析】・・・黑］珀=3,・••諂(3xi+2)=*［岛(3幼+禹2］=扣諾］灯+2口=3•轴xi+2=3a+2.14.85【解析】每年平均销售盒饭为*30x1+45x2+90x1.5)=85(万盒).15.&【解析】由已知得3a+2b+0xc=0,即3a+2b=2,.•・ab=&3a・2b0&(—)=&.16.160【解析】：直方图中,所有矩形面积之和为1,等差数列公差为al,等差数列各项和为10al=l,所以al=0.1,最大的矩形为0.4,频数为400*0.4=160三、解答题17.【解】设先答A、B所得奖金分别为卍和小则P(^=0)=l-|=|,P(^=a)=|(l-|)=|,P(^=3a)=|x|=|,AE^=|a.P(q=0)=l-|=|,P(g=2a)=|(l—*)=£,P(^=3a)=|x|=|,.\Er|=|a.rti此知，先答哪题获奖金的期望一样人.18.【解】(I)x+y=4上有3个点，x+y=3上有2个点，x+y=2上有1个点，事件总数为36,故事件A的概率为寻=£(II)当点P(a,b)落在直线x+y=m上，所以a+b=m,当a+b=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12时，点P(a,b)的个数分别为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1,所以当a+b=7时事件的概率最人为右所以m=7.19.【解】设既会唱歌又会跳舞的冇x人，则文娱队中共冇(7-x)人，那么只会一项的人数是(7—2x)人.7(I)・・・P(g>0)=P(Ql)=l—P(g=0)=百,p(E=o)=帀•(7—2x)(6—2x)_3'(7_x)(6_x)_而’解得x=2,故文娱队共有5人.(11)$的概率分布列为§012331P■1丄10510\n20.21.C2C33C21P(g=i)=p-=g，p(E=2)=€I=^，5,3314AE^0x-+1x-+2x-=-.【解】(I)设A、B两项技术指标达标的概率分别为Pl、P2由题意得:Pl・(l—P2)+P2・(l—Pl)=令11,解得Pl=才，卩2=3或卩1=§,P2=才,1-(1-Pl)(l-P2)=yy・・.P=P1P2=*,即一个零件经过检测为合格甜的概率为(II)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为1-C5(|)4-C5(|)5=y|(Ill)依题意知g〜B(4,|),Eg=4x*=2,Dg=4x*x*=i.【解】(I)记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过"为事件A1,P(A1)=1-Al=1一(£)3=袪.(II)记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次"为事件A2「连续3个月参加技能测试,工人恰好通过1次"为事件B1,则444844339P(A2)=C3(5)2(1一岁=厉P(B1)=C3(^)2(1-j)=C3^(1一？2=前.48927AP(A2B1)=P(A2).P(B1)=-^x-=—27两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为益.(III)记“乙恰好测试4次后,被撤销上网资格"为事件A3,P(A2)=&2#1344264*22.【解】用A,B,C分別表示事件甲、乙、内面试合格•由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=|.———I7(I)至少冇1人面试合格的概率是1—P(ABC)=l—P(A)P(B)P(C)=1—q)3=g.(II)&的可能取值为0,1,2,3.p(g=0)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)————___丄、3斗丄、2(匕3=2=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=TT刁一8,p(g=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)\nA)P(万)P(C)+PG4)P(B)P(0+PG4)P(E)P(6=+(/'+(/'GP&=2)=P(ABC)=P(Ap(B)P(C)=|.oP(g=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=o所以，E的分布列是g0123P33118888Eg=0x—+lx-+2x-+3x-=l.g的期望8888选校网www.xuanxiao.com咼考频道专业人全历年分数线上丿j张人学图片人学视频院校库（按Ctrl点击打开）