高考数学总复习：高考中解答题的解题策略 13页

高考数学总复习：高考中解答题的解题策略【重点知识回顾】解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法为技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合为转化能力、空间想彖能力，高档题还要考査灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力.解答题的解题步骤1.分析条件，弄清问题2.规范表达，实施计划3.演算结果，冋顾反思解答题的解题策略1•从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘；2.从结论入手——执果索因，搭好联系条件的桥梁；.3.冋到定义和图形中來；4.换一个角度去思考；5优先作图观察分析，注意挖掘隐含条件；6.注重通性通法，强化得分点。【典型例题】1•从定义信息入手定义信息型题是近儿年来高考出现频率较高的新题型其命题特点是：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：(1)对新知识进行信息提取，确定化归方向；(2)对新知识中所捉取的信息进行加工，探究解题方法;(3)对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解.例1、根据定义在集合A上的函数y=/(x),构造一个数列发生器，其工作原理如下:①输入数据兀。丘A，计算出州=/(x0)；②若兀|GA,则数列发生器结束工作，若X.gA,则输出X】,并将X】反馈回输入端，再计算出x2=/(%,),并依此规律继续下去，现在有\nA={xlOx>0,・・・处>0,又__1=(〃7+1)(Z)<(),・・・X<1,・・・02x+p转化为（%-1）/?2+x2-2x+1>0,则成为关于p的一次不等式，则丨p\<2,得-2SpS2,由一次不等式的性质有：（X-1）/?+（X-I）2=（X-1）（%-1+/?）>0,当p=—2时，（x—1）（%—3）〉0,••x<—〉3；当p=2吋，（兀一1）（兀+1）〉0,・・・兀<一1或兀〉1,综上可得：兀<一1或％〉3・【题后反思】视x为主元，不等式是关于x的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p转化为主元，不等式是关于p的一次的不等式，则问题不难解决.1.正向转化为反向有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较人，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反"r2例5、若椭恻2+八=/（Q>0）与连接A（1,2）、B（3,4）两点的线段没有公共点，求实数a的取值范围.【解析】设线段AB和椭恻有公共点，由A、B两点的坐标可得线段AB的方程为y=x+l,xw[l,3],贝【J方程组＜即/=2x2+2x+1=-(x+-)2+-,2233・・・xw[l,3],:.a2g[-,22幼，“〉0,.•.铤"V亟,22\n•••当椭圆与线段AB无公共点吋，实数a的取值范围为（0,半）U（琴g【题后反思】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从止面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索.1.数与形的转化数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起來，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的.例6、己知/（兀）是定义在｛兀丨兀H0｝上的奇函数，且在区间（0,+a）上是増函数，若/（1）=0卫＞1,解不等式/（logflx）＜0.【解析】由f（x）在（0,4-00）上为增函数，月./（兀）是定义域上的奇函数，・・./（对在（—8,0）上也是增函数.V/（I）=0,/./（-I）=0,/./（log.X）＜0=/（I）f（loSaX）＜0=/（-I）,[x＞0[x＜0由函数的单调性知：\或彳，[0＜logax＜l[\ogax＜-\・・・原不等式的解集为：｛兀|1＜兀＜°或0＜兀＜丄｝a【题后反思】rh已知，/（兀）是定义在｛x\x^0｝.k的奇函数，且在区间（0,+oo）上是增函数,山/（l）=0,a＞l,则可得/（兀）的大致图像如下图,可知/（_1）二02.自变量与函数值的转化函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题.\n例7、设/（尢）是定义在（0,+oo）上的增函数，口对于定义域内任意x、y,都有g=1,求使不等式/(x)+f(x-3)<2成立的X的取值范围.【解析】T/(兀)的定义域是(0,+oo),\，即x>3,[x-3>0由于/(xy)=fM+f(y)，得于(x)+f(x一3)=f[(x-3)•兀],由于⑵=1,得2=1+1=/(2)+/(2)=/(4),・••由题设条件得：/[x(x-3)]3,・・・适合题意的x的取值范围为[3,4].【题后反思】这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，解题的关键需实现三种转化：①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系;②根据函数的单调性意义又能比较两个值的大小，因此需将/(x)+/(x-3),根据等价转化为/Mx-3)1；③需将②转化为某自变量的函数值，从而建立关于x的不等关系，求出x的取值范围.1.类比归纳类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引中或推广，或迁移，l+l已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个別特殊事例，若干特殊现象递推出同一类爭物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考牛的创造性思维能力，培养考牛的创新楮神和创造力.因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮和，已成为高考中的又一个热点.例8、如下图所示，定义在D上的函数/(x),如果满足：对任意xwD,存在常数A,都有f(x)>A成立，则称函数/(无)在D上有下界，其中A称为函数的下界(提示：下图①②中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零.)\nX(II)具有图②所示特征的函数称为在D上有上界，请你类比函数有下界①②的定义,给出函数/(劝在D上有上界的定义，并判断(I)中的函数在(-oo,0)上是否有上界，并说明理山.【解析】48•-*f/M=3x2‘由/z(x)=0,得%4=16,Vxg(0,+oo),/.x=2,jC・・•当02时，.厂(x)>0,・・・函数/(x)在(2,+oo)上是增函数；・・・x=2是函数/(兀)在区间(0,4-00)上的最小值点，/inin(x)=/(2)=32,于是,对任意xg(0,+oo),都有/(X)>32,即在区间(0,+00)是存在常数A=32,,48使得对任意xe(0,+oo),都有/(x)>A成立，所以，函数/(x)=x3+—在(0,+oo)上有x下界.(II)类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D上的函数/(兀)，如果满足：对任意xeO,存在常B,都有成立，则称函数/(兀)在D上有上界，其中B称为函数的上界.设xvO,贝iJ-x>0,则(I)知,对任意xg(0,+oo),者|W/(x)>32,・・・/(-x)>32,°48・・•函数f(x)=x3+—为奇函数,Af(-x)=-/(x),・・・一/(x)>32,即/U)<-32,4S即存在常数B-32,对任意x€(-oo,0),MT函数f(x)=x3+—在(-oo,0)上有上界.【题后反思】本题以高等数学中的函数有界性为命题索材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题.数学中右许多能够产生类比的知识点，如\n等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现彖，立体几何中的很多结论和方法都可以从平ifii儿何中产牛“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力.【模拟演练】(1)已知函数/(x)=2x-^r(I)若f(x)>2,求x的值;(II)若2J⑵)+吋(/)»0对于t€[1,2)恒成立，求实数m的取值范围.(2)设函数/(%)=ax24-4-c(a0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3)且在点(・1,/(-I))处的切线垂立于x轴.(I)用a分别表示b和c；(II)当be取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.(3)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,-能)，(0,V3)的距离Z和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+i与C交于A、B两点,(I)写岀C的方程；(II)若刃丄亦，求k的值；(III)若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒I0A1>1OBI.\n（4）已知函数/⑴g(x)=cos灯(sinx)+sin#(cosx),"旧,12(I)将函数g(兀)化简成AsinGur+0)+B(A>Oe>Oww[O,2”))的形式;（II）求函数g（x）的值域•（5）已知曲线C】：—+^=1（6/>/7>0）所围成的封闭图形的面积为4腭，曲线C|的ab内切I员］半径为亠，记C2为以曲线G与坐标轴的交点为顶点的椭I员］,3（I）求椭圆C2的标准方程；（II）设AB是过椭圆C?中心的任意眩，/是线段AB的垂直平分线，M是/上异于椭圆中心的点，①若IMOI=/HOAI（0为处标原点），当点A在椭圆C?上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是/为椭圆C?的交点，求AAMB面积的最小值.（6）已知元素为实数的集合s满足下列条件：①心S；②若心，则吕TS.若非空集合S为有限集，则你对集合S的元索个数有何猜测？并请证明你的猜测.（7）已知椭圆二+与=1（°〉〃〉0）的右准线人：兀=2与x轴相交于点P,右焦点F到ab~上顶点的距离为V2，点C（m,0）是线段OF上的一个动点，（I）求椭圆的方程；（II）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线其与椭圆交于A、B两点，且使得（C4+CB）丄84?亲说明理市.(8)设函数g(x)=J7+l,函数//(%)=—!—,xw(—3卫］，其中a为常数且d>0,令x+3函数/(x)为函数g(x)和/?(x)的积函数.(1)求函数/(兀)的表达式，并求其定义域；\n(II)当时，求函数/(兀)的值域；(III)是否存在自然数a,使得函数/(Q的值域恰为［-,|］?若存在，试写出所有满3足条件的口然数a所构成的集合，若不存在，试说明理市•(9)已知函数/(x)=log1(x+l),当点P(兀0，儿)4y=/(x)的图像上移动时，点2Q(X()~^—,y0)(/eR)在孙函数y=g(x)的图像上移动.(I)若点P坐标为(1,-1),点Q也在y=g(x)的图像匕求t的值；(II)求函数y=g(x)的解析式；(III)当t>0时,试探索一个函数h(x)俪f(x)+g(x)+h(x)在限定域内为［0,1)时有最小值而没有最人值.9(10)矩形钢板的边长分别为a9b(a>b>—a),现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥，10并使其底而边长为矩形边长的-半，表而积为ab,试比较得到所制作的正四棱柱与正四棱锥中哪一个体积最大，哪一个体积最小，并说明你的结论.参考答案1.(1)x=log2(l+V2)；(2)me[-5,+oo)2.(1)c=2a+3,b=2a；(2)y=g(x)的单调减区间为(-00,-2)和(2,+oo),单调增区间为(-2,2)；3.(1)X2+-—=1,4\n(2)k=土丄，2(3)略；1.(1)g(x)=V2sin(x+—)-2,4(2)g⑴的值域为[2-V2-3):X2)，22.(1)——+二=1,54r240⑵①二+二=才(”0),②佟.4596.S的元索的个数为3的倍数；7.(I)—4-J2=1：2•(II)当05加v丄时，k=±J—^—，即存在这样的直线2Vl-2m当丄5加51时，k不存在，即不存在这样的直线八28,(I)f(x)=VA+\x€\0,a](a>0):x+3(II)[第];113(III)\V2,V3>V4,V,