高考数学复习研讨会发言材料：高考函数复习 15页

解读•分析•展望……谈高考函数复习函数是高中数学的主干知识，数列、三角、解析几何、立体几何等都可以与函数建立联系，要么I韦I绕函数这一主线展开，要么可化归为函数问题.对函数内容的考查是数学高考中考杳能力的重要手段，新课标清晰地阐述了函数的重要地位和广泛应用，并强调了它的基础性和工具性，是中学数学的核心组成部分.从历年我省的高考试题來看，涉及函数的试题不仅强调函数本质属性的考查，也注重函数的工具性，既有小巧灵活的容易题，也有新颖别致的中等题，更冇内涵丰富的压轴题，解决方法和手段也一改以往的单一，与数学思想方法紧密相结合（尤其是函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想），其屮的不少问题的解决对考牛■有较高的能力要求.一、浙江省高考考试说切解读（函数部分）根据2012版的《浙江省普通高屮学科教学指导意见》和《浙江省普通高屮高考考试说明》，函数的主要考查内容可概括如下：1.理解函数的概念，会求一些简单的函数定义域和值域；2.理解函数的奇偶性和单调性,会判断函数的奇偶性，会讨论和证明函数的单调性；3.理解指数函数、对数函数和幕函数的概念、图象和性质，并学会运用函数图象理解、研究函数的性质；4.了解函数零点的概念,理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；5.认识不同函数模型的增长差杲,并了解函数模型在解决实际问题中的作川；6.关注思想方法的渗透，如数形结合、分类讨论、化归等思想方法.二、近期各地市期末、一模以及参考卷试题（函数部分）分析1.各地市期末、一模试题（函数部分）/1Y①（温州一模）设函数fM=\|^2）,X~°，贝'J/（-2）=；使f（a）＜0的实数a的log2＞0取值范围是•②（丽水一模）定义在实数集R上的奇函数/（x）,对任意实数x都有333r（?+x）=r（?_兀），且满足/（1）＞_2,/（2）=^--,则实数〃?的収值范用是（）44mA.-lv加v3B.03或加v-1f(x^y<7\n①(台州期末)已知函数/G)=-F-x+a,g(x)=q''一，且函数/(x-l)+2,x〉2y=gM-ax恰有三个不同的零点，则实数a的収值范围为・②(湖州期末)己知二次函数/(x)=x'+bx+c(b,ceR).(I)/(-l)=/(2),且不等式x2x成立.1.参考卷中函数部分的试题①2.若函数/(x)(xeR)是奇函数，则()A./(”)是奇两数B・[/(x)]2是奇函数C.f(x)-x2是奇函数D/CO+X是奇函数x?+xr0),方程/(兀)・x=()的两个根x},兀2满足0g(0)可知f(2)>g(2)-41、321+后或m<1-V5\n<1-75(tn误,不完整)2生二联列方程组,消元，得到x2+(m-i)x+l=00g(Q)2f(v>叫)J>0\n主三：既然消元得到F+(加一1丿兀+1=0,转化为一元二次方程严+伽_1丿兀+1二0在区间［0,2］上有两个不等实根,亦即二次函数f(x)=x2+(m-\)x+1在区间［0,2］上有两个零点/>00<-—结合图像有2f(0)>0fa)>o解得一-1，即时，函数/Xx)在［0,1］上单调递减，可得q2③当0<-纟V丄，即一1VQV0吋，22④当丄纟VI，即一2vqW—1时，’2~2/(I)=1a，解得/(--)=<)/(0)=1,解得空)"爲或(7=0—(舍去)a=±2(舍去)b=\综上,a=-2b=l对于问题(1)的思考，其实没有多少技巧可言，主要考查学生分类讨论的完整性与题意转化的等价性，，但是就是这样的题FI,平时教学过程中应该重点关注，町以说这种最本质的考查是函数学习中非常重耍的要求.很多学生都会将问题(2)转化为第一个问题，其实两个问题完全不同，其实两个问题并不同。问题⑵的常规思路有:解法1:(不等式思想)由题意得，不等式组x2+ax+bnoz/,fr1。的解集为［0」］+ax+/?W0分4b>0与a2-4b<0讨论当a2-4b>0\\寸，不合题意，舍去。当a2-^h<0时，不等式x2^ax+b>0恒成立，只需不等式x2+ax^b<1解为00/(1)>0r(丄)>0,可以得到<20<--<12此题如果按常规的实根分布来处理，所求涉及非线性规划以及双变量问题，非常麻烦:c>01严+c>0,如何求圧+“+眺的范围，儿何意义很难找至lj。h2-4c>0-20/(1)>0心)>0,可以得到・2o0b•/(--)>0>02-2g(x)恒成立，求a的范围;(III)求A(x)=|/(x)|+g(x)在［-2,2］上的最人值.本题涉及到一次函数、二次函数、绝对值问题、零点判断、恒成立问题参数取值范围的求解，综合性较强，对学生分类讨论思、想、零界点的选取、数形结合思想的运川等方面能力有较深入的考杳。近期各地市的模拟卷屮都冇涉及到这方面的题型，可以说二轮复习屮应该重点关注此类题目的分析和讲解.此题中第(I)、(II)问重点考察了函数图象的灵活应用，对于第(III)问，可做如下分析:\n(Ill)可化为°—cix+a—1厂25兀v—1h(x)=<-x2-ax+a+1,-10,则/(-2)=3a+3最大(2)当avO,只需比较/⑴-与/(2).•・av—3时，/(I)=0最大-3/(—#)(2)0/(--)0,av—3综上力(x)max=y+3,-30时,易得/?(一2)=3a+3最大.如图2,a二0时，易得方(―2)=〃(2)=3a+3最大.如图2,a<0时，最大值显然在[1,2]±取得,此时/?(x)=/+qx—a—1,只需讨论—纟23与一？的人小即可.\n2\n木题在解法2中充分利用了端点效应，大大简化了分类讨论带来的复杂性，而解法3充分发挥数形结合的思想则又叮以更好地加深对问题的深度理解，以寻求更为简洁优美的解题方案.3.抓住重要考点，注重数学思想方法的应用3.1函数的概念及性质函数是中学数学最垂要的基本概念之一，其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射,其不仅是对集合学习的巩固和发展，更是学好数学其他知识的基础和工具.其中，学习的关键是对函数概念的理解，尤其函数概念中的“对应法则”的理解；对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等性质的把握.例5(浙江2014高考第15题)设函数/⑴=\疋J，"v°,若/(/(q))W2,则实数a的\-x,x>0取值范围是.分析面对此题，学生或者是由内到外求出/(/(G))再解不等式，或者是由外到内通ii/(/(tz))<2确定/(a)的范围进而确尬G的范围，抑或是通过/⑴的图象直观地呈现/(/(a))与/(a)>f(a)与a的关系从而更简洁的发现。的范围.<74-a2,a>0解法1(由内到外)因为/(/(a))=<(Q?+°)2+护+vq<°,故当时，有-(a2+a)2,a<-1■/(/(a))<2恒成立，而当2()时，有0<67-2,即/(/(a))<2«/(a)>-2,所以当°n0时，有一护》_2,B|JO<6Z-2MaL,故有实数a的取值范围是6/<72.也可以通过函数图象直观地“读出”a的取值范围，如图1图1\n木题以分段函数为考杳背景，考杏学生对“/(G)、/(/(d))”含义的理解，不同的思维，不同的方法，直接反映了学生对函数概念不同深度的掌握.例6(2012年全国高屮数学联赛考卷第6题)设/(X)是定义在上的奇函数，且当xno时，/0)=戏.若对任意的兀w[a,a+2],不等式f(x+tz)>2/(x)恒成立，则实数Q的取值范围是.分析木题将奇偶性和单调性融合在一•起加以考杳，其中根据奇偶性知/(x)=二沦°),即便于学生画II!/(X)的图象，判断函数/G)的单调性.一十(X<0)解法1如图2所示，要使得f(x+a)>2f(x)恒成立，必须将函数尹=/(兀)的图象向左平移，故知。>0,所以当xe[a,a+2]时有/(x+d)=(x+af,2/(x)=2x2,即x2-2ax-a2<0在兀w[q,q+2】上恒成立.故可求a的取值范围为的,+«).解法2因为f(x+a)>2f(x)等价于f(x+tz)>/(V2x),即问题转化为利用单调性解不等式.jtlf(x+a)>/(V2x)可得x+an近x,即aX(“-l)x在xe[a,a+2】上恒成立，所以有^>(72-1)(67+2),解得a>4i.故实数。的取值范围是|V2,+oo).木题虽然冇着一定的难度，但却很好将函数奇偶性和单调性综合在一起加以考查，是道新颖灵巧的考题.艾解答过程充分体现了图形在解决函数问题屮的作用，也考杳了学生对函数性质的深刻理解.3.2基木初等两数向中数学中的基本初等函数主耍包折二次函数、指数函数、对数函数和幕函数，其学习的重点是基木初等函数的定义、图彖和性质，并能运川基木初等函数的图象与性质解决一些简单的问题.例7.设a>l,若仅有一个常数c使得对于任意的xg[a,2a],都有ye\a,a2]^足方程10gaX+10gay=Cf这时，U的取值的集合为•分析方程log<,x+log0在(-00-^11]上存在两不同零点，所以有-22123/•(-■^―^)=3^7+->0I'24木题通过将己知条件转化为一元二次函数的零点问题加以处理，让陌生的问题熟悉化，其解答的策略主要在于对问题的等价转化，这是解决数学问题最核心的思想，也是考查学生数学素养的充分体现.3.3函数的应用函数的应用以函数模型的应用为主线，以数学思想方法的渗透为主要学习意图，在研究函数的零点与方程的根的关系中渗透了函数与方程、数形结合和化归等思想，在建立确定性的函数模型解决问题的过程屮渗透了数学建模、拟合的思想.因此,在高三复习屮要贯彻这—•教学意图，并注意学生的亲身体验.例9.已知f(x)=x2-1+x2+kx.若关于x的方程/(x)=0在(0,2)上有两个解x1?x2,求\n£的取值范围，并证明：丄+丄<4・兀］x2分析本题是含绝对值的一元二次函数为背景，考查方程有解问题.方程有解问题通常可转化为函数的图象与X轴有交点或转化为两个函数的图象有交点来处理，于是有如下解法.解法1因为/（x）=J2x2+^_1（1-x<2）,可知函数r⑴的图象在（1,2）与兀轴至多一处+1（0vxvl）个交点，故有即冇丄+丄=2x2<4.箱:〉即一戶…对见」J令函数/⑴的零心（°小枠（1,2），所以冇x}=-j-,2x22+^x2-1=0,解法2/(x)=0o1X——X+x=-k,令g(x)=XX7图3所示，当时，函数y=g（x）与y=-k的图象在（0,2）上有两个交点,乙即-—0)的判断正确的是()A.当k>0时，有4个零点；当k<0W，有1个零点B.无论k为何值，均有2个零点C.当k>0时，有3个零点；当k〈0时，有2个零点D.无论k为何值，均有4个零点解：本题令t=f(x)，并画出函数f(x)的图象，当k>0时/⑴=-1有两个根，G(0,1),t2G(—oo,0),所以尹=/(/(x))+1冇4个零点.同理当k〈0时，，=/(/(兀))+1只有1个零点.复合函数涉及内、外两层函数，常见的求解方法是通过换元把复合函数的内、外两层表示成两个函数，再分别画出函数图象，根据函数图象研究零点问题•可以说在解决有关函数零点的个数问题时，利用图象通过“形”的儿何特征发现“数”与“形”之间的关系，在“数”中构“形”是解决此类问题最佳的一种选择.复合函数的零点问题是高考中永恒的主题，可变因素较多，为了适应各种变化，在二轮复习中可以利用一个小专题进行强化训练.总Z，函数是初等数学的灵魂,其内容是高中数学知识体系的核心,是历年高考的一个热点.在高考命题小函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考査形式不一.在新课标F的高考越来越重对学生的综合素质的考査，而函数问题便是一个考查学生综合素质的很好途径，因为所冇知识均可与函数建立联系，都可围绕这一主线展开学习考查.在二轮复习教学中应该继续加强训练.