高考大题专项练5高考中的解析几何 5页

高考大题专项练5　高考中的解析几何　高考大题专项练第10页　 1.已知椭圆C:x2+2y2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解:直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=±2,故直线AB的方程为x=±2,圆心O到直线AB的距离d=2,此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=|2x0-ty0|(y0-2)2+(x0-t)2.又x02+2y02=4,t=-2y0x0,故d=2x0+2y02x0x02+y02+4y02x02+4=4+x02x0x04+8x02+162x02=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.〚导学号92950949〛2.(2015沈阳一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其中e=12,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在AM之间.又点A,B的中点横坐标为47,且AM=λMB.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数λ的值.解:(1)由条件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程是x24+y23=1.(2)由AM=λMB,可知A,B,M三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2).若直线AB⊥x轴,则x1=x2=4,不合题意.当AB所在直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y=k(x-4).由y=k(x-4),x24+y23=1,消去y,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.①由①的判别式Δ=322k4-4(4k2+3)·(64k2-12)=144(1-4k2)>0,解得k2<14.又x1+x2=32k24k2+3,x1x2=64k2-124k2+3,由x1+x22=16k23+4k2=47,可得k2=18,即有k=24.将k2=18代入方程①,得7x2-8x-8=0,则x1=4-627,x2=4+627.又因为AM=(4-x1,-y1),MB=(x2-4,y2),AM=λMB,所以λ=4-x1x2-4,所以λ=-9-427.〚导学号92950950〛3.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA+MB|=OM·(OA+OB)+2.\n(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-22=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=25,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为x25+y24=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为:y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2,联立方程组y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有Δ=80(4+20t2-t4)>0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,点M到PQ的高为h=15+t21+4t2,由S△MPQ=12|PQ|h代入化简得:S△MPQ=510-(t2-10)2+104≤510·104=1305;当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值1305.〚导学号92950952〛5.(2015石家庄高三质检一)定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,动点P满足BP=2PA.(1)求点P的轨迹曲线C的方程;(2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求OM·ON的最大值.解:(1)设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),由BP=2PA得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),\n即x=2(x0-x),y-y0=-2y,即x0=32x,y0=3y.又因为x02+y02=9,所以32x2+(3y)2=9.化简得x24+y2=1,故点P的轨迹方程为x24+y2=1.(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,OM·ON=(2,0)·(-2,0)=-4.当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设直线方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立x24+y2=1,x=ty+1,化简得(t2+4)y2+2ty-3=0,则Δ=4t2+12(t2+4)=16t2+48>0恒成立,由韦达定理得y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4.所以OM·ON=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)·-3t2+4+t·-2tt2+4+1=-4t2+1t2+4=-4(t2+4)+17t2+4=-4+17t2+4.当t=0时,(OM·ON)max=14.综上所述,OM·ON的最大值为14.〚导学号92950953〛6.已知动点C是椭圆Ω:x2a+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=94的一条直径(A,B是端点),CA·CB的最大值是314.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设点C的坐标为(x,y),则x2a+y2=1.连接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),可得CA·CB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y∈[-1,1].因为a>1,故当y=42(1-a)≤-1,即1-1,即a>3时,CA·CB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),由条件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,即a2-7a+10=0,解得a=5(a=2舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是x25+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足x125+y12=1,x225+y22=1,两式相减,整理得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,从而直线PQ的方程为y-y0=-x05y0(x-x0),又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-x05y0(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,故2x0-x02=5y02>0,从而0b>0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得QP·TP=PQ·TQ?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由题意知c=1,又bc=tan60°=3,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0=x1+x22=4k23+4k2,y0=k(x0-1)=-3k3+4k2,由QP·TP=PQ·TQ得PQ·(TQ+TP)=PQ·(2TR)=0,所以直线TR为直线PQ的垂直平分线,直线TR的方程为y+3k3+4k2=-1kx-4k23+4k2,令y=0得T点的横坐标t=k23+4k2=13k2+4.因为k2∈(0,+∞),所以3k2+4∈(4,+∞),所以t∈0,14.所以线段OF上存在点T(t,0),使得QP·TP=PQ·TQ,其中t∈0,14.〚导学号92950955〛8.(2015江西三校联考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为M,N,|MN|=423.(1)求抛物线E的方程;(2)设A,B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且OA·OB=94(其中O为坐标原点).①求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点,求四边形AGBD面积的最小值.解:(1)由已知得K-p2,0,C(2,0).设MN与x轴交于点R,由圆的对称性可知,|MR|=223.于是|CR|=|MC|2-|MR|2=13,所以|CK|=|MC|sin∠MKC=|MC|sin∠CMR=3,即2+p2=3,p=2.故抛物线E的方程为y2=4x.(2)①证明:设直线AB的方程为x=my+t,Ay124,y1,By224,y2.联立y2=4x,x=my+t得y2-4my-4t=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4t.由OA·OB=94得(y1y2)216+y1y2=94,故y1y2=-18(y1y2=2舍去),\n即-4t=-18,即t=92,所以直线AB过定点Q92,0.②由①得|AB|=1+m2|y2-y1|=1+m2·16m2·72,同理得|GD|=1+-1m2|y2-y1|=1+1m2·16m2+72.则四边形AGBD的面积S=12|AB|·|GD|=121+m2·16m2+72·1+1m2·16m2+72=42+m2+1m2·85+18m2+1m2.令m2+1m2=μ(μ≥2),则S=418μ2+121μ+170是关于μ的增函数,故Smin=88,当且仅当m=±1时取到最小值88.〚导学号92950957〛