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一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念(1)集合屮元素的特征：确定性，互异性，无序性。(2)集合与元素的关系用符号巳匸表示。(3)常用数集的符号表示：自然数集—:正整数集」!：_、整数集:有理数集Q、实数集R。(4)集合的表示法:列举法，描述法，符号法(数轴法，韦恩图法)洼意亠区分集食中元素的形式：如：A={x|v=x2+2x+1};B={y|v=x2+2x4-1);C={(x,y)ly=x2+2x4-1}D={x\x=x2+2x+l}；E={(x,y)Iy=F+2x+1,xwZ,ywZ};F={(x,/)|y=x2+2j;+1}；G={z\y=x1+2x+l,z=—}x(5)空集是指不含任何元素的集合。({0}、0和{0}的区别；0与三者间的关系)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为Au3,在讨论的时候不要遗忘了4=0的情况。如：A={x\ax1—2^—1=0},如果Ap|7?+=0,求d的取值。二、集合间的关系及其运算(1)符号“已W”是表示元素与集合之间关系的，立体儿何屮的体现点与直线(面)的关系；符号“u,(Z”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面耳直线(面)的关系。(2)A(nB={x|xwA且xwB}AuB={x|xeA或xwB}；CyA={x|xgI且x^A}(3)对于任意集合A,B,贝h①A\JB=B\JA；AC\B=BC\A,AC\B^A\JB；\n①A(~}B=A«AcB；A\JB=Ao_cA；G，,AUB=UoA乂虽0；GMB=0oAcB出;②CMg—GAuB)；323=5的3)；(1)①若〃为偶数，则/i=2K,(keZ)；若〃为奇数，则n=2k+1,(keZ)；②若〃被3除余0,则zi=3k1(kGZ)；若〃被3除余1,则斤=3k+1(kwZ)；若斤被3除余2,则〃=3k+2(kwZ)；三、集合中元素的个数的计算：(1)若集合A中有炉个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2",所有真子集的个数是2“・1,所有非空真子集的个数是2"・2。(2)AU3中元素的个数的辻算公式为:Carcl(A\JB)=CardA+CardB一Card{AcB)；(3)韦恩图的运用：四、A={x\x满足条件肉，B={x\x满足条件g},若p=>q,q=>p；则〃是g的充分非必要条件u>A匸3；若p=>q,q=>p；则p是g的必要非充分条件oApB；若poq；则“是g的充要条件oA=B；若pnq,qnp；则卩是q的既非充分又非必要条件oAg0A；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的充要性；注意：“若-1m，则”在解题中的运用，女口：“sinaHsin0”是“qH0”的充分不必要条件。六、反证法：当证明“若p,贝切”感到困难时，改证它的等价命题“若「q则「卩”成立,>WWVWW^WWVW*"WVWWS步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由才盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。正面词语等于大于小于是都是至多有一个\n否定不等于不大于不小于不是不都是至少有两个正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定一个也没有某些存在至少n+1个存在两个不课木题1.设A={(x,y)卜=一4兀+6},B={(尢,y)卜=5尤+-3},,则AB=(1,2)2.(P13练习5)设A={兀兀=2£+1,£wZ},B={兀卜=2£—1,£wZ},C=^xx=2k,kgZj,则AB=A,BC=0,AC=R»AB=,3.(P14习题9)一个集合的所有子集共有九个，若hg{0,1,2,3,4,5},贝WR124}4.(P14习题10)我们知道，如果集合AgS,那么S的子集A的补集为CsA={*医但星}.类似地，对于集合A,B,我们把集合叫{x\xg电B}做集合A,B的差集，记作A—B.若A={1,2,彳，处,{5,}，则(A—”(B~)力{1,2.367.8}.若A-3=0，则集合力与BZ间的关系为AnB=05.(P17复习题6)已知集合A=[1,4),B=(yo,q),AyB,则ae[4,+oo)6.(P17复习题8)满足{1,3}A={1,3,5}的集合A最多有4个。7.(P17复习题10)期中考试，某班数学优秀率为70%,语文优秀率为75%.则上述两门学科都优秀的百分率至少为45%o8.(P17复习题11)设全集为U,则B)三者之间的关系为9.(P17复习题12)设A,B均为有限集，A中元素的个数为m,B中元素的个数为n,AB中的元素的个数s,AB中的元素的个数t,则下列各式能成立的序号是(1)(2)(1).m+n>s(2)•m+n=s(3).m+ns10.(P17复习题13)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)\aeA,beB}记作AxB.例如,A={h2},B={3,4},则有AxB={(l,3),(l,4),(2,3),(2,4)},BxA={(3,l),(3,2),(4,l),(4,2)},Ax心{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},BxB={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}・据此，试解答下列问题：(1)已知€?={0,D={1,2,3},求CxD及DxC；CxD={(a,l),(a,2),(a,3)}DxC={(l,a),(2,“),(3,a)}\n(1)己知AxB={(l,2),(2,2)},求集合A,B；A={1,2)B={2}(2)若A有3个元素，B有4个元素，试确定AxB有儿个元素？12高考题1・若集合A={x|x^2},B={x\x^a}满足AB={2},则实数沪企2.设集合M={m^Z\-34},那么集合AA(CaB)等于{x|—lW兀W3}3•设集合£/={1,2,3,4,5},4={1,2,3},3={2,3,4},则Q(AAB)={1,4,5}4•设集合U={x^N\00},B={x|x<-l},则（AnQB）U（BnCMA）={力|力>0或力S—1}则集合{x\x^i}=_0_12•已知集合M=x=lx\^^B,f表示对应法则，b=f(a).若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应，则称从A到B的映射为映射。2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=[/U)kWA}为值域。3.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基木的因素。4.函数定义域的求法：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幕的底数不等于零；5.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法(反解法)；④换元法(代数换元法)；⑤不等式法；⑥单调函数法.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。①函数y=kx+b(k^xeR)的值域为R；②二次函数y=ax2ibx^c(a^^xeR)当d>0时值域是(de",十00),当avO时值域是(-oo,^ac-b~].4a4a③反比例函数y=±(kH0,xH0)的值域为{yl.y*o)；X④指数函数y二d&>0,且的值域为宀;⑤对数函数尸log“x⑺>0,且心1,x>0)的值域为R;⑥函数y=sinx,y=cosx(xw尺)的值域为卜1，1]；⑦函数y二taiu,xHbr+彳，y=cotx(ebr,RwZ)的值域为R;二、课前练习1.若A={1,2,3,4},3={d",c},则A到B的映射有个，B到A的映射有二个；若A={1,2,3},B={a,b,c},则A到3的一一映射有_个。2.设集合A和集合B都是自然数集合N,映射f.A^B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2"+刃，则在映射于下，象20的原象是3.已知扇形的周长为20,半径为厂，扇形面积为S,贝'JS=/(r)=-r^_-20r；定义\n域为0b.f(x)=-x+3,^(x)=log2x,贝!J函数h(x)=min{/(x),^(x)}的最大值是\n—1・三、导数1・求导法则：(c/=0这里c是常数。即常数的导数值为0。(x^^nx0-1特别地：(x)1l(x"1/=(-)z=-x_2(f(x)±g(x))z=*(x)士g'(x)(k-f(x))z=k・F(x)2.导数的几何物理意义：k=f(xo)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。V=sz(t)表示即时速度。a=vz(t)表示加速度。3.导数的应用：①求切线的斜率。②导数与函数的单调性的关系㈠f\x)>0与/(x)为增函数的关系。f(x)>0能推出/(x)为增函数，但反之不一定。如函数/(x)=x3在(-〜+8)上单调递增,但广(兀)20,・・・/©)>0是/(兀)为增函数的充分不必要条件。(二)n0与f(x)为增函数的关系。于(兀)为增函数，一定可以推ill>0,但反之不一定，因为f(x)>0,即为f\x)>0或广(x)=0o当函数在某个区间内恒有f\x)=0,则/(x)为常数，函数不具有单调性。・••广(劝》0是/(x)为增函数的必要不充分条件。(三)单调区间的求解过程，已知y=/(x)(1)分析y=/(%)的定义域；(2)求导数/=f\x)(3)解不等式广(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式<0,解集在定义域内的部分为减区间。②求极值、求最值。注意：极值定最值。函数f(x)在区间［a,b］上的最大值为极大值和f(a)、f(b)屮最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。\n课本题P70练习4(1)(2)(3)P71习题9,10,11,12；P78习题8,9P83练习1,2,3；P84习题5；P88复习题7,9高考题：1.设曲线y=^-在点(3,2)处的切线与直线仮+歹+1=0垂直，则a=~22.若f(x)=-^x2+Z?ln(x+2)在(T,+oo)上是减函数，则〃的取值范围是3.设曲线歹=严在点(0,1)处的切线与直线兀+2y+l=0垂直，贝吒=・24.(江苏卷8)肓线y=+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b=・ln2—1.5已知函数/(X)=X3+CU2+%+1,6ZGR.(I)讨论函数/(兀)的单调区问；(2(II)设函数/(X)在区I'可—一,—一内是减函数，求d的取值范围.<33丿解：(1)=+飯2+兀+1求导：/'(兀)=3无彳+2or+1当/W3时，AWO,f(x)0,于(切在R上递增当/>3,f{x)=0求得两根为3一17°,且/>3解得：。三一14四三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、冬角、象限角的概念.2、与角&终边相同的角的集合：S={0|0=a+£・36O,£wZ}.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、a丄\nr3＞弧长公式：.L=aR4、扇形面积公式：S二丄lr二丄ar2.一22—§1.2.1、任意角的三角函数1、设&是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P&,y)，那么：sina-y.cos«=x,tan=—.x2、设点A(x0,y0)为角Q终边上任意一点，那么：(设厂=J兀:+朮)•VXVsina=—,cosa=—,tana=_—.rrx3、sina,cosa,tana在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法.4、诱导公式一:sin(6Z+=_sinor_cos(6Z+2k7i)=_cos«_tan(6Z+2k7r)=_tana_(kwZ)5、特殊角0。,30。，45。,60。,90°,180°,270°的三角函数值.§1.2.2、同角三角函数的基本关系式C1pZV1、平方关系:sin26Z+cos2cr=1・2、商数关系:=tan(7.cosa§1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二:sin(^+&)=_-sina_,cos(/r+cr)=_-coscr_Jan(兀+a)=_tancr_.2、诱导公式三:sin(-a)=sina_,cos(-a)=_coscr|an(-a)=tana_.3、诱导公式四:sin(zr一a)=_sinq一co血-€Z)=_-coscztan(/r-«)=_-1ana_•\n4、诱导公式7L/•兀sina(2〜cos—c百一町7讼_・5、诱导公式六:/•71sin—+a9cosez,co#+G\2一sina_.§1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正眩、余眩函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.§1.4.2,正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义:对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当兀取定义域内的每一个值时，都有/(x+7j=/(x),那么函数/(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.§1.4.3.正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、能够对照图彖讲出正切函数的相关性质：泄义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数y=Asin(s;+0)的图象1、能够讲出函数y=sinx的图象和函数y=Asin(s:+0)+b的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：y=Asin(dr+0)+b(A>O,Q>O)有：振幅A,周期T=—,初相卩,CD相位cox+(p,频率/=*=磊.第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式\ncos(q—0)=cosacos0+sinqsin0cos(a+0)=cosacos0-sincesin[3sin(6<+/?)=sinacos/3+cosasin/3sin(a—0)=sinacos0—cosasin/3tan(a-0)1-tanertan0tanq_tan01+tanertan[3二倍角的正弦.余弦.正切公式1、sin2a=_2sinacosa_,变形:sin2acosa=——；—2siner\n2、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2cr-l=l-2sin2asin2a=1一cos2a2卄打八21+cos2ac变形1：cosa=,变形2：2、r2tana3ntan2a=l-tarra1、注意正切化弦、平方降次.解三角形1、正弦定理一J=-^-=-^—=2/?sinAsinBsinC余弓玄定理g2=，+c2—2bccosA变形cosA二b2+c2-a22bL-b2=/+H_2accosB变形cosB二2i22宀“变形沁呛产3、三角形面积公式：S=—absinC=—bcsinA=—acsinB~^2__2__2_课本题(必修4)1.(Pu习题13)若扇形的周长为定值1,则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？27T1JT7T2.(P23练习4)已知sin(--X)=-?,且00tan(A—B)===:W—1+tanAtanB1+4tanBcotB+4tanB4当且仅当4tanB=cotB,tanB=丄,tanA=2时，等号成立，213故当tanA=2,tanB=—时，tan(A-B)的最大值为一•245417.在厶ABC+1,cosB=一",cosC=—.135(I)求sinA的值；33(ID设厶ABC的面积SAABC=—,求BC的长.sI?(I)由cosB=一",得sinB=—,rhcosC=—,得sinC=—.33所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=—.65由(I)知sinA=—,65sinC13—/VD=02),/ID=—./TTkA£>C==—132sinC2\n五数列等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为a,-an_x=d｛n>2)或a,^-an=d｛n>X).2、等差数列的通项公式：1)〃；说明：等差数列(通常可称为AP数列)的单调性：d>0为递增数列，〃为常数列，d<0为递减数列。3、等差中项的概念：定义:如果A,b成等差数列，那么A叫做d与b的等差中项。其中人=凹a,A,b成等差数列21ei+bA=o24、等差数列的前斤和的求和公式：〈=如+色)=呦+巴匸山。225、等差数列的性质：(1)在等差数列｛%｝中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；(2)在等差数列｛%｝中，相隔等距离的项组成的数列是AP,女口：,a3,a5,%，；色，，ai3f，；(3)在等差数列［an］中,对任意血，nwN_,an=am+(h-m)d,d=—~—(mH/?)；n一m(1)在等差数列｛。”｝中，若m,n,p,gwM且加+n=〃+g,则am=ap^aq；说明：设数列｛色｝是等差数列，且公差为d,(I)若项数为偶数，设共有加项，则①S奇-S偶=nd；②如=仏;(II)若项数为奇数，设共有2斤-1项，则①S偶-S奇=匕严引；②汇亠S偶n~l6、数列最值(1)q>0,dvOU寸，S”有最大值；q<0,d〉OU寸，S”有最小值；(2)S“最值的求法：①若已知S”，可用二次函数最值的求法(nwNQ；d>（）d<（）②若已知色，则S"最值时〃的值（兀V）可如下确定"一或"一O[色+山（）^z/+1>0\n课前预习1•（01天津理,2）设S“是数列a｝的前兀项和，且2,则｛外｝是等差数列2.设｛陽｝是公差为正数的等差数列，若ax+6z2+6z3=15,^0,0^=80,则马i+a]2+a】j=1052.（02京）若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有13项3.设数列｛為｝是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（。6全国H）设S“是等差数列g的前“项和，若辭.则匕1.（00全国）设｛an｝为等差数列，S“为数列｛an｝的前斤项和，已知S?=7,弘=75,7；为数列｛盒｝的前斤项和，求几。”一％n42.（02上海）设⑺｝SWN*）是等差数列，S”是其前斤项的和，且S5VS6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是（C）A.d<0B.d7=0C.S9>S5D.S6与••S?均为必的最大值3.（94全国）等差数列｛给｝的前加项和为30,前2加项和为100,则它的前3加项和为210等比数列知识清单1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常•••••数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用■字母g表示（少0）,即：％：色=心工0）数列（注意:“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零）2.等比数列通项公式为：陽=q广匕・qH0）。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d=l吋该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若｛如为等比数列，则=qm~n0an3.等比中项如果在°与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4.等比数列前n项和公式一般地，设等比数列坷宀厲，，色，的前n项和是Sn=+a,+（73++色，当\n/I时，或S,严色二％当q=l时，S严叫（错位相减法）。\-q\-q说明：（1）和4,色,q,S”各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时QH1,必要时应讨论g=1的情况。1.等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果％是等比数列的第几项，如是等差数列的第加项,且m2n=1(2)求通项常用方法①作新数列法。作等差数列与等比数列；②累差叠加法。最基本的形式是:an=(an—an-1)+(an-1+an-2)+---+(a2—ai)+ai；③累商叠乘法。④倒序相加法⑤裂项求和⑥并项求和⑦错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。an=bn-cn，其中｛$｝是等差数列,匕｝是等比数列。课前预习1.已知数列｛色｝为等差数列，且公差不为0,首项也不为0,求和：V—/=!叽+1J1_4①+12.求1+丄+—!—+—!—+•••+!,（"訪）。-^―1+21+2+31+2+3+41+2+3+-+”斤+13.设a为常数,求数列a,2a2,3a3,…，nan,…的前n项和。4.已知ld>0,dHl,数列｛%｝是首项为a,公比也为a的等比数列，令bn=an-lgan(ngN),求数列｛/?”｝的前刃项和S“。典型例题一、有关通项问题f5.(z?=l)1、利用a=\1求通项.乜-粘(心)例：数列｛色｝的前斤项和S〃=7?+i.(1)试写出数列的前5项；(2)数列｛%｝是等差数列吗？(3)你能写出数列｛色｝的通项公式吗？2n-l变式题1、(2005湖北卷)设数列｛an｝的前n项和为Sn=2n2,求数列｛%｝的通项公式;4n-2变式题2、(2005北京卷)数列｛给｝的前刃项和为S”，且«i=l,色+］吕S“，"1，2,3,……,l,n=1求°2,知偽的值及数列｛给｝的通项公式.a/;=4,(1)，心2\n变式题3、(2005山东卷)已知数列｛atl｝的首项q=5,前n项和为S”，且S〃+|=2S〃+n+5©GAT,证明数列｛色+1｝是等比数列.n+52、解方程求通项：例：在等差数列｛色｝中，(1)己知S8=48,512=16&求弟口dx-5,3(2)已知％=1°』5=5,求直和S&；16,44(3)已知色+知=40,求5|7・340变式题1、｛%｝是首项坷=1,公差d=3的等差数列，如果色=2005,则序号〃等于6693、待定系数求通项：例：(2006年福建卷)已知数列｛an｝满足q=l,%|=2q‘+l.求数列｛色｝的通项公式；2"-1二、有关等差、等比数列性质问题例：一个等比数列前刃项的和为48,前2〃项的和为60,则前3兀项的和为©变式1、一个等差数列前九项的和为48,前2〃项的和为60,则前3/2项的和为o36变式2、等比数列｛an｝的各项为正数，且a5ci6+巧=1&贝ljlog?aA+log3a2++log3=10三、数列求和问题例：已知｛色｝是等差数列，其中q=31,公差d=-8。(1)求数列｛爲｝的通项公式;39-8n(2)数列｛%｝从哪一项开始小于0?4(3)求数列｛色｝前“项和的最大值，并求岀对应〃的值.172变式题1、已知｛色｝是各项不为零的等差数列，其中q>0,公差d<0,若Sl0=0,求数列｛匕｝前〃项和的最大值.5or6变式题2、在等差数列｛色｝中，q=25,S17=59,求S”的最大值.13例：求和：s〃=l+2x+3”++nxn~｝变式题1、已知数列色=4—2和仇=占,设cn=牛,求数列｛c;｝的前〃项和7；.\n变式题2、（2007全国1文21）设｛色｝是等差数列，｛$｝是各项都为正数的等比数列，且q=勺=1,色+2=21,a5-vb3=13（I）求｛a“｝,｛bn｝的通项公式；2n-l,2n_1（II）求数列｛計的前"项和S”•6-号学1/7例：（1）已知数列｛色｝的通项公式为色二,求前71项的和；一兰一（2）已知数列兄（n+1）n+1｛。“｝的通项公式为an=—^=~,求前〃项的和.Jn+1-1yJn+\/n+]实战训练A1.（07重庆文）在等比数列｛如中，他=8,血=64,,则公比q为22.（07重庆理）若等差数列｛绻｝的前三项和S3=9且⑷=1,则勺等于33.设｛勺｝为公比q>l的等比数列,若如04和如05是方程4x2-8x+3=0的两根,贝9。2006+。2007二924.（07天津理）设等差数列｛色｝的公差d不为0,al=9d・若色是"与畋的等比屮项，则k=45.等差数列｛如中,。1=1卫3+。5=14,其前斤项和Sn=100,贝!J〃=106.等差数列｛為｝的前n项和为S”若S?=2*4=10,则S6等于247.已知｛色｝是等差数列，如=10,其前10项和S10=70,则其公差d=-8.已知0b,c,d成等比数列，且曲线y=x2-2x+3的顶点是c）,则加等于29.（07辽宁理）设等差数列｛色｝的前/?项和为S”，若53=9,56=36,则Oy+@+4=81实战训练B1.（07江西文）已知等差数列｛%｝的前几项和为S”，若焉=21,则%+%+心8+1=・7\n1.（07湖南文）在等比数列｛色｝（皿N*）中，若°严1,a4=-f则该数列的前10项和为2-右3・（07广东理）已知数列｛%｝的前〃项和sfl=n2-9n,第R项满足5<^<8,贝畀=_82.（07广东文）已知数列匕｝的前〃项和Stl=n2-9n,则其通项色=;若它的第R项满足5<^.<8,贝畀二・2n-10;83.等比数列｛色｝中，勺=4,则色条等于164.若数列｛%｝的前〃项和S„=h2-10h（h=1,2,3,），则此数列的通项公式为.2n・ll5.（07安徽文）等差数列｛%｝的前n项和为»若a2=\,a3=3,则比=106.（07辽宁文）设等差数列｛色｝的前〃项和为S”，若S3=9,S6=36,则Oy+$+购=457.数列｛a“｝中，q=2,an+l=an+cn（c是常数，比=1,2,3,）,且q,色，偽成公比不为1的等比数列.（I）求c的值；2（II）求匕｝的通项公式.n2-n+2六、平面解析几何圆锥曲线部分一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点£,尺的距离的和等于常数（大于IFtF2|）的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数幺（0vav1）的点的轨迹。英屮：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注意：表示椭圆；2心F"|表示线段F”;2a<|F迟|没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在兀轴上中心在原点，焦点在y轴上\n标准方程22二+与=1(0＞方＞0)a2b2If十"〉（））a1Zr参数方程F=gcos&(0为参数)y=bsin3F"cos&为参数)[y=dsin&图形寸X£Bi顶点A(-g,0),人2(。，°)B|(O,-b),场(0,b)A](―b,0),A2(b,0)Bx(0-a),B2(0,«)对称轴兀轴，y轴；短轴为2b,长轴为2a隹占片(-c,0),笃(c,0)杠(0,—(?)迟(0,(?)焦距\F}F2\=2c(c＞0)c2=a2-b2离心率e=-（O1）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。\n常数叫做离心率。\n注意：—与|P&|—|P片|=2a（267<|片耳丨）表示双曲线的一支。2a=]F}F2\表示两条射线；2。>|耳坊|没有轨迹;（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在尢轴上中心在原点,焦点在y轴上标准方程2°2Rt〉0)vFiFF1A（一如人⑺,。）目（0厂4）,场（0<）对称轴兀轴，y轴；虚轴为2/?,实轴为2d隹占八、・八、、奸（一C,0）迟（c,0）耳(0厂c)迟(0,c)\F}F2\=2c(c>0)c2=a2+b2离心率e=£（e>i）（离心率越大，开口越大）a渐近线.by=±—xa^L=2ep("为焦准距)ay=±-x'b焦半径焦准距P在左支IPF、4-a-以。IPF?1=a-叫P在下支閑W。p在上支龍蔦徐a2b2p=c=—cc（3）双曲线的渐近线：①求双曲线召卡"渐近线，可令其右边的】为。，即聲r21=0,因式分解得到。22②与双曲线二-二=1共渐近线的双曲线系方程是兰—21=2;crb_a2b2\n(4)等轴双曲线为x2-y2=t29其离心率为返三、抛物线：(1)抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。若平面内一个动点M到一个定点F和一条定直线/的距离之比等于一个常数e(e>0)则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点F为焦点，定直线/为准线，€为离心率。当00"〉0)的两条渐近线上分别取点Acr和B,使\OA\^\OB\=c2(其中0为坐标原点，C为双曲线的半焦距),求AB屮点的轨迹。(4)整体法(设而不求法)：以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A,B两点,求小点M的轨迹方程。六、直线与圆锥曲线的位置关系：(1)会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系;(2)会求直线被圆锥曲线所截的弦长，弦的中点坐标:如：设抛物线经过两点(-1,6)和(-1-2),对称轴与兀轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段长是4质，求抛物线方程。(1)当直线与圆锥曲线相交时，求在某些给定条件下地直线线方程；解此类问题，一般是根据条件求解，但要注意4>0条件的应用。如：已知抛物线方程为)“=2兀在y轴上截距为2的直线/与抛物线交于两点,且以为径的圆过原点，求直线/的方程。课本题P26练习1(3)(4)3；习题2(3)(4)3,4；P30练习2(3)(4)4；P31习题5,7,10；P34练习5,6,7；P38练习2,3；P39习题5,6,7；P42练习4,5；P44习题5,6,7；P47习题8,9,11,12,13,16,17,18,19,21；高考题221.(福建卷11)又曲线二=賽=1(a>0,b>0)的两个焦点为虫、他若P为其cro上一点，且|丹;|二2|朋则双曲线离心率的取值范围为(1,3]2.(海南卷11)已知点P在抛物线y2=4x±,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(丄，一1)43.(湖南卷8)若双曲线二—■=[(曰>0,0>0)上横坐标为丸的点到右焦点crb22\n的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范圉是（2,+oo）1.（江西卷7）已知人、色是椭圆的两个焦点，满足M好巧=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（0,#）222.（全国二9）设a>l,则双曲线亠——=1的离心率幺的取值范围是（血,亦）a（a+l）「3.（山东卷（10）设椭圆C的离心率为丄，焦点在尤轴上J4长轴长为26.若曲线13G上的点到椭圆G的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线G的标准方程V2V24.（陕西卷8）双曲线*=1（°〉0,方〉0）的左、右焦点分别是斥，只,crtr过好作倾斜角为30的育•线交双曲线右支于M点，若M坊垂直于兀轴，则双曲线的离心率为石22&（天津卷（7）设椭圆厶+务=1（血〉0,斤〉0）的右焦点与抛物线于=8兀的rr焦点相同，离心率为丄，则此椭圆的方程为—+^=121612221.（浙江卷7）若双曲线—-\=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,aZr则双曲线的离心率是石9=1（臼>0,b>0）的一条渐近线为y=kx{k>2.（重庆卷（8）已知双曲线刍a\n220）,离心率貯氐,则双曲线方程为話-君=111・（海南卷14）过双曲线工-£=1的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双32916曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则AAFB的面积为2212.（湖南卷12）已知椭圆二+・=1（日〉方>0）的右焦点为F,右准线为/，离crtr心率G邑过顶点水0,力作AM丄/,垂足为M,则直线FM的斜率等于・丄12r217-（浙江卷⑵已知耳、F2为椭圆詁齐1的两个焦点,v213.（江苏卷12）在平面直角坐标系屮，椭圆*+—=1（a>h>0）的焦距为2,atr以0为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e=•血214.（江四卷15）过抛物线x2=2py（p>0）的焦点F作倾角为30的直线，与抛物1线分别交于4、B两点（4在y轴左侧）,则一=・一\FB315.（全国一14）已知抛物线y=ax2-l的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.2716.（全国一15）在AABC中，AB=BC,cosB=-—.若以AB为焦点的椭18亠3圆经过点C,则该椭圆的离心率€=・-过耳的直线交椭圆8\n于A、B两点若応冲+|笃国=12,则\A^=o818己知菱形ABCD的顶点4C在椭圆x推论3+3y2=4±,对角线所在直线的斜率为1.(I)当直线BD过点(0,1)吋，求直线AC的方程；(II)当ZABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.解：(I)由题意得直线3D的方程为y=x+l.因为四边形ABCD为菱形，所以4C丄BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由lx-+3r=4,得4无2一§处+3/—4=0.因为A,C在椭圆上,[y=-x+n所以△一2宀64＞0,解得—琴＜“＜学设AC两点坐标分别为(勺刃)，(兀2，%)，则兀1+x23/73/T-4yt=_兀]+卅，y2=-x2+n.\n所以AC的屮点坐标为3hn由四边形ABCD为菱形可知，点—在直线y=x+l上，(44丿n所以一=—+1,解得〃=—2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即兀+y+2=0・44(II)因为四边形ABCD为菱形，且ZABC=60,所以=|BC|=|C4|.所以菱形ABCD的面积S=所以S=¥(-3“6)4^3\n所以当斤=0时，菱形ABCD的而积取得最大值4的.七立体几何一、空间的直线与平面1、平面：几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.(1)平面的表示方法：O(2)用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：AU1表示；表示点A不在平面a内：表示直线1在平面a内；表示直线Q不在平面a内；1Cm=A表示；aA1=A表水；aQB二1表不.2.平面的基本性质公理1公理2公理3推论1推论23.证题方法c直接证法证题方法\n间接证法54.空间线面的位置关系I同一法「r平行一没有公共点共面｛(1)直线与直线［1相交一有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)'直线在平面内一有无数个公共点(2)直线和平面］直线不在平面内J平行一没有公共点1(直线在平面外八相交一有且只有一个公共点r相交一有一条公共直线(无数个公共点)(3)平面与平面|平行一没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：•②判定定理，即若a//a,a二b,则a〃b.,即若a〃b,b〃c,则a〃c.③公理4④线面垂直的性质定理,即若a丄a,b丄a,贝】Js〃b⑤血面平行的性质定理9即若a〃B,aQY,BQY二b,则o〃b(2)两直线垂直的判定①定义：•②一条直线与两条平行直线屮的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b〃c,a丄b,贝j］a丄c③线面垂直的定义■即若a丄a,bua,a丄b.④三垂线定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.(3)直线与平面平行的判定①定义：②判定定理即若a(Za,bua,a/7b,则alla.③而而平行的定义，即若a〃B,1Ua,则1〃B・(4)直线与平面垂直的判定①定义：■②线而垂直的判定■\n即若mua,nua,mQrFB,l_Lm,l_Ln,贝lj1丄a・③如果两条平行线中的•条垂直于•个平血，那么另•条也垂直于同•平面.即若1lida丄a,则1丄a.④面面平行的性质，即若a〃B,1丄B，贝lj1丄a.(5)两平面平行的判定①定义：,即无公共点〃B.②面面平行的判定，即若a,bva，aQb二P,8〃B,b〃B，则a〃B.③.④.(6)两平面垂直的判定①定义：oa丄B.②面面垂直的判定,即若1丄B,1Ua,贝lja丄B.③.即若a〃B,u丄Y，贝UP丄Y・⑺假、钱臬糸和钱、而*证诙线严=线面平行=歼线勞直i面垂,兰面屠直7.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平而引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.9.空间中的各种角等角定理及其推论定理:.推论:异面直线所成的角(1)定义：&、b是两条界血直线，经过空间任意•点0,分别引直线以〃a,b‘〃b，则『和Z所成的锐角(或直角)叫做界面直线a和b所成的角.(2)取值范围：.(3)求解方法①根据泄义，通过平移，找到异面直线所成的角e;②解含有B的三角形，求出角B的大小.\n33\n(1)定义和平面所成的角有三种:(1)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平血所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围：(3)求解方法①作出斜线在平血上的射影，找到斜线耳平血所成的角0.②解含8的三角形，求出其大小.11、二而角及二面角的平面角(1)半平面(2)二面角.二面角的平面角0的取值范围是(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，ZPCD是二面角a-AB-B的平面角.平面角ZPCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB丄平面PCD.(ii)从二面角的平而角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD丄a,平面PCD丄B.二、棱柱、球1、多面体:2、棱柱:的多面体叫棱柱;(1)棱柱的有关概念:的棱柱叫直棱柱；的棱柱叫正棱柱；叫平行六面体；叫长方体；的叫正方体.(2)棱柱的分类：①按侧棱与底面的位置关系分：侧棱不垂直于底而的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底而的是正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面多边形的边数分：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……｛正方体｝c｛长方体｝c｛直平行六面体｝c｛平行六面体｝c｛四棱柱｝(1)棱柱的性质：①②③.设长方体的长、宽、高分别为d、b、c,对角线长为/,贝＞J/2=«2+/?2+c2(2)两个定理①；②.3、棱椎：⑴棱锥：有一个面是(底面)②其余各面都是有(侧\n面）.正棱锥：底面②顶点叫正棱锥（2）棱椎的截面f生质定理：.⑶正棱锥的性质：①②.4、正多面体的概念：种类:.5、球的定义：叫球体（简称球），叫球面.6、球的截面性质：用一个平面截一个球面，所得截线是以为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个.7、大圆、小圆与球面距离：o8、$球=，=°9、球的截面的性质:①球心与截面圆心的连线垂直于截面。作图并讨论垂直的理由。②设球心到截而的距离为d,截面圆的半径为r,球的半径为R,贝ij：r=^R2-d2课本题1•点A、B到平面OL距离分别为12,20,若斜线与&成30°的角，则AB的长等于。2.已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°,贝9直线PC与平面PAB所成角的余弦值是。3.已知AABC中，AB=9,AC=15,ZBAC=120°,这三角形所在平面a外的一点P与三个顶点的距离都是14,那么P到平而cz的距离是o4.在平面角为60°的二面角a-/-0内有一点P,P到gP的距离分别为PC=2cm,PD=3cm,则P到棱I的距离为。5.三棱柱的一个侧面面积为S,此侧面所对的棱与此面的距离为力，则此棱柱的体积为—o\n2.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且NDPA=45°,ZPPB=60°,则上DPC=。\n2.在正三棱锥S—ABC中，侧棱SC丄侧面SAB,侧棱SC=2屈,则此正三棱锥的外接球的表面积为o8.自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则PA2+PB2+PC2=oP23练习2,3,4;P26练习1；P28练习6;P29习题8,12,13,14：P32练习2；P35练习1,3P37练习2,3习^2,3,7,8,911,13,14;P45练习3,4P46习题3,5,6,7,8,9,10;P52练习5,6P54练习3,4;P60练习3,5P64复习题1,2,3,4,5,6,7,12,13,14,15高考题1.给定空间中的直线/及平面条件“直线八与平面Q内无数条直线都垂直”是“直线，与平面Q垂直”的条件2.已知三棱柱ABC-A.B.C；的侧棱与底面边长都相等，人在底面A3C内的射影为△4BC的中心，则A对与底面ABC所成角的正弦值等于3•己知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为4.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于5.设直线/u平面&,过平面&外一点A与都成30°角的直线有且只有：6•设°,b是两条直线，久0是两个平面，则d丄方的一个充分条件是(A)q丄a.bllp.a丄0(B)cz丄丄0.allp(C)aua,b丄0.all[3(D)acza.bll/3,a丄07・・已知w是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A.若mIIa.nIIQ,则/nB.若a丄“0丄了,则aIIPC.若加〃a,mil0,则aIIPD.若加丄刃丄tz,贝lj加IIn36\n8•用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为7T,则球的体积为9,设有直线/〃、/7和平面4、0.下列四个命题中，正确的是A.若m//a,刀〃a,则m〃nB.若刃ua,门ua,m//0,n//0,则a//(5C.若&丄卩，mua,则/〃丄0D.若q丄0,刃丄0,〃心a,则m//a10•如图，在长方体ABCD-A.BM屮，AB-BO2,M=l,则朋与平面BBXDXD所成角的正弦值为11•一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。己知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为害，底面周长为3,那么这个球的体积为12.若一个球的体积为47弟，则它的表面积为13•已知正四棱柱的对角线的长为拆，且对角线与底而所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于o14•若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为馆，则其外接球的表面积是.15.如图，已知球0点面上四点A、B、C、D,DA丄平面ABC,AB丄BC,DA=AB=BC=V3,则球0点体积等于。16•在体积为47九的球的表面上有力，B,C三点，AB=l,BC二近,A,C两点的球\nD面距离为导，则球心到平面磁的距离为17•如图，在四棱锥P-ABCD屮，底ifij-ABCD是矩形.\n=3,AD=2,PA=2,PD=2血,ZPAB=60°.(I)证明AD丄平面PAB；(II)求异面直线PC与AD所成的角的大小；(III)求点B到平面OCD的距离。TT18.如图，在四棱锥O—ABCL中，底面ABCL四边长为1的菱形，ZABC=-,4DOA丄底面ABCD,04=2,M为OA的中点，N为BC的中点(I)证明：直线沏V〃平面OCD:(II)求异面直线AB与MD所成角的大小；(III)求点B到平面OCD的距离。八统计知识点1：抽样方法统计的基本思想：用样本去估计总体。总体：所要考察对象的全体。个体：总体中的每一个考察对象。样本：从总体中抽取的一部分个体叫总体的一个样本。样本容量：样本中个体的数目。抽样：从总体中抽取一部分个体作为样本的过程叫抽样。三种抽样方法对照表：\n类别共同点各自特点相互联系适用范围\n简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽収的概率是相同的从总体中逐个抽取总体中的个体数较少，且均匀系统抽样将总体均分成几个部分，按规则在各部分抽取在第一部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多，且均匀分层抽样将总体分成儿层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统总体由差异明显的儿部分组成必会题型：1・为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（）A.总体是240B.个体是每一个学生C.样本是40名学生D.样本容量是402•为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（）A.总体B.个体C.总体的一个样本D.样本容量3•—个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是o4•下列抽样屮不是系统抽样的是（）A.从标有1〜15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后为i+5,i+10（超过15则从1再数起）号入样。B.工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验。C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止。D.电彫院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈。5.从学号为0〜50的我班50名学生屮随机选取5名同学进行考察，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A.1,2,3,4,5B.5,16,27,38,49C.2,4,6,8,10D.4,13,22,31,40知识点2：频率分布直方图1•频数条形图星期—・二三四五件数62351累计68111617例题：下表是某学校一个星期屮收交来的失物件数，请将5天中收交来的失物数用条形图表示。分组频数频率频率/组距[150.5,152.5)40.040.02[152.5,154.5)80.080.04\n[154.5,156.5)80.080.04[156.5,158.5)110.110.055\n2•频率分布表例题：右表是从我校学生中抽取的100名学[158.5,160.5)220.22011[160.5J62.5)190」90.095[162.5J64.5)140」40.07[164.5J66.5)70.070.035[166.5J6&5)40.040.02[168.5J70.5]30.030.015合计10010.5生身高的频率分布表。极差：样本数据中的最大值与最小值的差。组距：一组的两个端点的数的差。组中值：一组的两个端点的数的和的平均数。知识点3：茎叶图例题：甲、乙两篮球运动员在3•频率分布直方图根据频率分布表作直角坐标系，横轴表示身高，纵轴表示频率/组距。上赛季每场比赛的得分如下，试比较这两位运动员的得分水平。甲12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50。8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51甲乙第二行表示甲得分为15分、12分，乙得分为13分、14分、16分.其他各行与此类同.944051解：画出两人得分的茎叶图。从这个茎叶图可以看出甲运动员的得分比较对称，平均得分及中位数、众数都是30多分；乙运动员的得分除一个51夕卜，也大致对称，平均得分及屮位数、众数都是20多分，因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好。必会题型：1•在我班的某次数学考试屮取出一个容暈为20的数据样本,分组与频数为:[10,2012个,(20,3013个,(30,40]4个，(40,50]5个,(50,60]4个,(60,70]2个，则整个样本数据在区间(-8,50]上的可能性为。估计我班这次考试的平均分为■2•下表为某校50()名12岁男孩中用系统抽样得出的120人的身高。(单位cm)区间[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[13&142)人数581()2233区间[142,146)[146,150)[150,154)[154,158)人数201165\n（1）列出样本频率分布表；（2）估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比；（3）估计该校12岁男孩的平均身高。解：（1）样本频率分布表如右：（2）由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%o(3)平均身高为124x0.04+128x0.07+132x0.08+136x0.18+140x0.28+144x0.17+148x0.09+152x0.05+156x0.04=知识点4：平均数1.算术平均数：q,色,…，色的平均数为2.加权平均数：睡眠时间人数频率若西£的[6,6.5)50.05[6.5,7)170・17则其平均数[7,7.5)330.33[7.5,8)370.37例题：右图是某校[8,&5)60・06试估计该学生的[8.5,9]20.02合计1001解法该校学生分组频数频率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[13&142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158)50.04合计1201频率分别为P\，P2,…,卩“，频率/组距0.010.01750.020.0450.070.04250.02250.01250.010.25元=旺/?|+毛/?2+…+£仇。学生日睡眠时间抽样频率分布表（单位:h）,日平均睡眠时间。的日平均睡眠时间约为：6.25x5+6.75x17+7.25x33+7.75x37+8.25x6+8.75x2=7.39(/?)a=100解法2：该校学生的口平均睡眠时间约为:a=6.25x0.05+6.75x0・17+7.25x0.33+7.75x0.37+8.25x0.06+8.75x0.02=7.39(A)知识点5：标准差方差：若心左£的平均数为厂则方差,4（兀厂巧+也-劳+•••+（£-〒）n方差的算术平方根称为这组数据的标准差。标准差可以刻画数据的稳定程度。方差和标准差的意义：标准差是描述样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明数据的离散程度大（波动大）；标准差小说明数据的离散程度小（波动小）。品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8例题：甲、乙两种水稻品种连续5年的平均单位面积产量如右表，据此估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。\n必会题型：1•己知一个样本中的数据有a个兀，b个y,c个z,则该样本的平均数是2•若两组数州，疋，…，暫和刃，％几的样本平均数分别是丘和歹，则①2xn的平均数是o②％］+心,兀2+Q,£+Q的平均数是③X］+比,乞+%，…,兀”+儿的平均数是3•样本a®,……，陽的平均数为6,样本勺,勺,……，仇的平均数为3,则样本a〕,色，,a„2,，仇的平均数为。4•在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别5.（2009年湖北卷文科）右图是样本容暈为200的频率分布直方图，则样本数据落在［6,10］内的频数为，数据落在（2,10）内的概率约为o概率【知识点1】基本概念确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或者不发生某种结果。随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象。试验：对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验。事件：试验的每一种可能的结果，都是一个事件。必然事件：在一定条件下必然发牛的事件。\n不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。用A,B,C等大写英文字母表示随机事件，简称为事件。概率：一-般地，如果随机事件A在兀次试验中发生了加次，当试验的次数n很大吋，我们可以将发生的频率巴作为事件A发生的概率的近似值，即nn概率的性质：①随机事件的概率为00；③手电筒的电池没电，灯泡发亮；④某电影院某天的上座率超过50%；①某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；②将一枚硬币抛掷4次出现两次正面和两次反面；③某校高一学生屮男生比女生多；⑧一粒花籽，播种后发芽；⑨函数y=k（x+i）的图象过点（一1,0）；⑩若。为实数，贝ij|6z|>0o2.下列说法不正确的说法是（）①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②若某种彩票的屮奖概率为丄,则买1000张这种彩票一定能屮奖；10③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到2的概率是丄，这说明一个散子掷6次会岀现一次2。6A.①②③④B.①②④C.③④D.③3・10件产品中有8件正品，2件次品，从中随机地取出3件，则下列事件中是必然事件的为（）\nA.3件都是正品B.至少一件次品C.3件都是次品D.至少一件正品4•从一批电视机中，随机抽取10台进行质检，其中有一台是次品，则这批电视机中次品率（）A.大于0.1B.小于0.1C.等于0.1D.不确定5.连续抛掷1000次硬币，那么第999次出现正面朝上的概率是o6•在教师联欢会上，到会的女老师比男老师多12人，从这些老师屮随机挑选一人表演节目，则选到男老师的概率为二，则参加联欢会的老师共有人。207•据调查，10000名司机开车时约有5000名系安全带，若从中随意抽查一名司机有无系安全带的情况，系安全带的概率是（）A.25%B.35%C.50%D.75%8•在20瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取1瓶，恰为过保质期的概率为（）亍氏忆°•刃°•胚【知识点2】古典概型1•基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果。2•等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本爭件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。3•古典概型的两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的。例1・一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球。求摸出的两个都是口球的概率是多少？解：分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下20个基本事件（摸到1,2号球用（1,2）表示）:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)；(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2)；(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),记“摸到两个白球”为事件A,则事件A包括有6个基本事件:(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(3,2),故盹）嗚备.•.摸到两白球的概率为赤例2•用不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色,求（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率。解：如下图，基本事件共有27个，矩形1矩形2矩形3矩形1矩形2矩形3（1）记“3个矩形颜色和同”为事件A,由上图可知事件A包含的基本事件有\n1x3=3个，/.P(A)=—=-279(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B,由上图可知事件B包含的基木事件有2x3=6个，/.P(B)=-=-27912答：3个矩形颜色都相同的概率为丄；3个矩形颜色都不同的概率为兰。89【必会题型】方法一：列表法1•同吋抛掷两个骰子，计算：①向上的点数相同的概率；②向上的点数Z积为偶数的概率。2•将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：(1)两数之和是3的倍数的概率；(2)两数之和不小于10的概率。3•从3件正品、1件次品中随机取出两件，求取出的产品全是正品的概率。4•有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4O若甲从一个箱子摸出一个球，乙从另一个箱子里摸出一个球，谁摸出的球上的数字大谁就获胜(数字相同为平局)，求甲获胜的概率。5•从甲乙丙三人中任选两名代表，求甲被选中的概率。方法二：树状图6.求一枚硬币抛三次都是正面朝上的概率。7•求抛掷三枚硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率。8•三名学生排成一排，求甲乙站在一起的概率。9.已知甲乙丙三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率是多少？10•三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，求经过3次传球后，球仍冋到甲手屮的概率。方法三：枚举法11•有5条线段长度分别为1,3,5,7,9,从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为o12.已知甲乙两人可以随意入住两间空房，求甲乙两人恰好各住一间房的概率。【知识点3】几何概型1•几何概型的概念：求有关线段，平面图形，立体图形等的概率。2•几何概型的条件：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等。【必会题型】1・取一个边长为2°的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆匸氓子，则豆子落入圆内的概率的oK\2•现有100加的蒸偲水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20加的L丿蒸憾水，则抽到细菌的概率是。亠―3.在等腰直角\ABC的斜边AB上任取一点M,则AM小于AC的概率是。4•有一个半径为5的圆，现将一枚半径为1硕币向圆投去(不考虑硬币完全落在圆外的情况)，则硬币完全落入圆内的概率是o5•某人早上醒来发现表停了，他打开收音机等待电台的整点报时，则他等待的时间不多于20分钟的概率为o\n6•任意剪断一条长度为5米的绳子，则剪得的两段绳子的长度都不小于2米的概\n率是O7•在长为10米的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形，则这个正方形的面积在(25,49]平方米之间的概率是o8•某人在车站乘车出差，已知该站发往各站的车均为每小时一班，则此人等车时间不多于10分钟的概率为o9.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线厶，则厶与线段BC相交的概率为010•在直角坐标系内，射线0T落在角60的终边上，任作一条射线0A,则射线0A落在厶OT内的概率是。11・一只金鱼在一个长方体水缸中自由游弋，水缸长为20dm,宽为15dm,则金鱼的嘴尖离岸不超过2dm的概率是o12•若炸[-2,2],ye[-2,2],则点(兀,y)落在圆面x2+y2<2内的概率是。【知识点4】互斥事件1•互斥事件：不能同时发生的两个事件成为互斥事件。2•互斥事件的概率关系：如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)O3•对立事件：若两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记为方。结论：A+瓦是必然事件，即：P(A+A)=P(A)+P(A)=1fP(A)=1-P(A)o对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。环数10环9环8环7环概率0.120.180.280.32例题：某人射击1次，命中7~10环的概率如右表所不：①求射击1次，至少命屮7环的概率；②求射击1次，命中不足7环的概率。解：记“射击1次，命中P环”为事件4伙wN,月jtMlO),则事件4两两互斥。①记“射击一次，至少命中7环”的事件为A,则P(A)=P(A10+A9-i-As+A7)=P(A】。)+P(&)+卩(人)+P(£)=0.12+0.18+0.28+0.32=0.9。②“射击一次，命中不足7环”是“射击一次，命中至少7环”的对立事件，记为事件入。则P(A)=1-P(A)=1-0.9=0.1o答：此人射击1次，至少命屮7环的概率为0.9；命屮不足7环的概率为0.1。【必会题型】1•如果事件弭、〃互斥，那么()A.A+B是必然事件B.7+万是必然事件C・%与&一定互斥D.入与斤一定不互斥\n2•下列4个命题正确的是()A.对立事件一定是互斥事件；B.若A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)；C若A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1；D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件。3•从一批羽毛球中任取一个，质量小于4.8克的概率为0.3,小于4.85克的概率为0.32,则质量在［4.8,4.85］克范围内的概率是()A.0.62B.0.38C.0.02D.0.684•甲乙两人下棋，和棋的概率是丄，乙胜的概率是丄，则甲不胜的概率是.325•若A,B是互斥事件，则P(A)+P(B)与1的大小关系是o6•在10件产品屮有8件一级品，2件二级品，从屮任取3件，记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是-十、不等式一、不等式的解法：(1)一元一次不等式：I>ax>b{a0):⑴若。>0,则；(2)若。<0,则；II、ax0,则；(2)若avO,则；(2)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注:要对A进行讨论:(1)绝对值丕等式：若a>0f贝ij|x|；|k|>qo；注意：(1).几何意义：|兀|：；\x-m\z；⑵解逍关绝放值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方迭有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若a>0则|。|=；②若a=0^\\a\=；③若d<0贝ij|f/|=；(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。(2)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；\n(1)ZW>0<=>；(2)也1<00g(x)g(x)(3)Z^>o<=>；⑷也1<0。gO)g(x)（7）不等式组的解法：分别求出不等式组屮，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，収它们的公共部分。解瓮有参数的丕等式：二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。若d,b>o,则->y[^b（当且仅当a=b时取等号）2基本变形：®a+b>；（凹）2、；2②若a,bwR,贝\\a2+b2>2ab,a+/?>（^2^）222基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意:①一正二定三取等;②积定和小，和定积大。当ab=p（常数），当且仅当时，；当a+b=S（常数），当且仅当时，:常用的方法为-拆、一凑、平方;91如I：①函数y=4兀（%>-）的最小值=2-4x2②若正数无,y满足x+2y=l,贝9丄+丄的最小兀y值O三、绝对值不等式：<<<注意：上述等号“=”成立的条件；Z>/\AZSZ%A/^\Z四、常用的基本不等式：（1）设a,bwR,则a2>0^a-b）2>0（当且仅当时取等号）（2）\a\>a（当且仅当时取等号）；|。2—d（当且仅当时取等号）\n(1)a〉b、cih>0=*—<—；—v—u>；ahah五、证明不等式常用方法：(1)比较法：作差比较：A-B^+i)=~k~TTi(程度大)(6)换元法：fi^nx?2.已知正实数兀」满足-+-=1,则x+2y的最小值为o9%y3.设实数a.b.x.y满足a2+h2=l,x2+y2=3,则ax+by的取值范围为。[-V3.V3]4.-4vRvO是函数y=卅—尬—1恒为负值的条件。充分非必要5.不等式F—|a|—60的解集是<则不等式or?-5x+(a2-1)>0的解是°(-3,-^)P71练习3(1)(4),P73习题5,6;P79练习4;P83练习2,3;P93习题2,3,4,5；P96复习题10，11,13。+y2=a2,可设兀=acos&，y=asinO；课本题r2+2x+21函数‘心匚厂(―)的图象的最低点的坐标是——。3)\n高考题X+2r<01.己知函数='，则不等式/(龙)"2的解集是一兀+2,x>Q2.若0eq，”是■>『的既不充分也不必要条件5•已知坷>$>色>0,则使得(1一a.tx)2<1(z=l,2,3)都成立的x取值范围是—2(0,—)6•不等式|x-l|0时，2：与：的方向相同；当久<0时，久：与：的方向相反；当2=0时，Qci=0.(3)若°=(旺，)>),则A-a=(加］,/1^］)・两个向量共线的充要条件：(1)向量b与非零向量：共线的充要条件是有且仅有一个实数几，使得b=2a・—♦—♦(2)若4=(兀i*i),b=(x2,y2)则a〃bo利2一兀2卩=0.平面向量基本定理：若6、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量：，有且只有一对实数入，%，使得。=人6+A2e2-2.P分有向线段丽所成的比：设已、P2是直线/上两个点，点P是/上不同于円、P2的任意一点，则存在一个实数几使帀"丽,兄叫做点P分有向线段丽所成的比。当点P在线段丽上时，A>0；当点P在线段斤可或丽的延长线上时，A<0；分点坐标公式：若P}P=APP2；P\,P,P2的坐标分别为(X］，x),(兀，y),(兀2，旳)；\nXi+?U7x=—-（几工一1）,中点坐标公式:1+A尸儿+小•1+Z1.向量的数量积:（1）向量的夹角:已知两个非零向量d与b,作=OB=b,则ZAOB"（0°<^<18tf）叫做向量a与b的夹角。（2）两个向量的数量积：已知两个非零向量7与b,它们的夹角为0,则ab=IaI•IbIcos<9.其中丨bIcos0称为向量b在。方向上的投影.（3）向量的数量积的性质：若。=（兀］,%）,b=（x2,y2）则e-a=a・e=IaIcos3（e为单位向量）;a丄boa・b=0o坷勺+W2=0（a，b为非零向量）；丨a丨=Ja・ci；cos%竺皿+严.恥i^iAr+）「.加+力?（4）向量的数量积的运算律：d・b=b・c/;（2a）・b=/i（a・b）=a•（兄b）;（a+b）・c=a・c+b・c.6•主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平而向暈的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解儿等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。课本题I.己知\a\=\b\=\a+h\=i,贝i\a—b\=732.若非零向量2,Q满足G+p|=|7-d|,则方与B所成角的大小为—90°\n2.已知\a\=\b\=2,:与&的夹角为兰，则a+h在：上的投影为3。\n4.在直角坐标平面上，向量~OA=(4,1),向量08=(2,-3),两向量在直线/上的正射影长度相等，则直线，的斜率为——3或冷1.设平面向量a=(-2,1),为二(1,久)，若方与&的夹角为钝角，则久的取值范围是Y,-*)U(?2)2.己知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(V2cosa,V2sina)侧向量丟，亦的夹角范围是严5龙—咕方——°3.将函数y=2x的图彖按向量：平移后得到y=2x+6的图彖，给岀以下四个命题：TT①。的坐标可以是(-3,0)；②。的坐标可以是(-3,0)和(0,6)；③：的坐标可以是(0,6)；④：的坐标可以有无数种情况。上述说法正确的是。4.已知AABC中，03=讥人我61小＜0$收=二」a\=3」纠=5，贝恂与b的夹角为150)。35.在厶ABC中，BC=l,ZB=-,当ZiABC的而积为巧时，tanZC=-2^3。3—6.若厶ABC三边长AB=5fBC=7,AC=8,则亦•荒等于-5。高考题I•在3C中,g,g若点D满足込2PC,则心争+*2.在平行四边形ABCD屮，AC为一条对角线，若初=(2,4),AC=(1,3),则=(一3,—5)3.设°=(1,-2),b=(—3,4),c=(3,2)则(a+2b)*c=_34.设〃、E、F分别是△/!%的三边BGCA.SB上的点，且DC=2BD,CE=2EA^AF=2FB,则AD+BE+CF与BC反向平行5.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=迈,b==6，则d等于—6.若过两点P\(-1,2),A(5,6)的直线与丸轴相交于点化则点P分有向线段P}P2所成的比2=\n2.在△ABC屮,角肋C的对边分别为日、b、°若(/+d-〃)tan毕岳C,则角〃的值为3&在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段0D的中点，AE的延长线与21CD交于点F.若ACW血仏则J9.已知d,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)•(/?-c)=0,则|d的最大值是—V2_10.将函数y=2x+l的图象按向量a平移得到函数y=2'v+】的图象，则a=(-l,-l)11•如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为血12.若向量a,b满足a=\,b=2且a与b的夹角为兰，则a+b=_J7.13.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量2a+方与向量c=(-4,-7)共线，则A=_2.14.已知向量a与b的夹角为120,且\a\=\b\=4,那么b(2a+b)的值为_0・15.已知平面向量a=(2,4),b=(—1,2).若c=a—(a")Z?，则|c|=8“.16.a,b的夹角为120°,<7=1,b=3贝ij5a-b=_7.17.若AB=2,AC=V2BC,则S^BC的最大值_2迈.1&直角坐标平面上三点A(l,2)、B(3,—2)、C(9,7),若E、F为线段BC的三等分点，则AEAF=2219.在△ABC中，三个角4,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则ifccosA+cacosB+abcosC的值为—.220.已知d>0,若平面内三点A(l,-d),B(2,a2),C(3,/)共线，则1+血。24.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为d、b、c,若茁b—c)cosA二acosC，则\ncosA=3-1-p（如上图）十二算法【知识点1】基本概念1・算法：广义的算法——某一工作的方法和步骤。数学屮的“算法”是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序。2•算法三要素：明确性，可行性，有限性。例题•给出求1+2+34-+100的一个算法。解：第一步：使5=1；第二步：使/=2；第三步：=5+第四步：使1=1+1；第五步：如果/<100,则返回第三步，否则输出S。【知识点】流程图1•顺序结构例题.已知两个单元分别存放变量兀和y的值，试交换这两个变量的值。2•选择结构例题.铁路客运部门规泄旅客托运行李的费用为（英中Q为行李的重量）J0.53X6969<50C^50x0.53+（69-50）x0.8569>50请画出计算费用C流程图。（如右图）3•循环结构例题.写出求Ix2x3x4x5值的一个算法，并画出流程图。解：S1TiS2112；S3TjTxI；S4/<-/+l；S5如果Z<5,转S3,否则输tBTo【必会题型】1.设计一个求任意数的绝对值的算法,并画出流程图。（流程图为右上图）算法：S1输入任意实数X;S2若x>0,则yj兀；否则y——x；\n2.判断右边的流程图的作用是什么？算法：S152535455S12；/<-4；SjS+八/<-1+2；如果7<100,转S3,否则输出S。3.设计一个计算10个数平均数的算法，并画出流程图。解：S1SJ0；S2心1;S3输入G；S4SjS+G；S5/~/+1；S6如果/<10,转S3；S725:10S8输出A。4•画岀求1+出++1&1005.画出求11-1-14-111x22x399【知识点3】基本算法语句而的流程图。1赋值语句：“兀〜），”表示将y的值赋给兀，其中尢是一个变量，y是一个与兀同类型的变量或表达式。\n\nReadnIfh<3Thenc-5Elsec—5+1.2(,2—3)EndIf直到型循环结构:S1输入a,b；S2若a>b,则输出a,否则输出bo例2.某居民区的物业管理部门每月按以下方法收取卫生费：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元•试设计算法，根据输入的人数计算应收取的卫生费？例3：儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1贝II无需购票；若身高超过1」m到不超过1.4m,可买半票；若超过1.4m,应买全票。试设计一个购票的算法，写出伪代码，并画出流程图。解：算法步骤：SI测量儿童身高S2若则免费乘车;否则，若/?<1.4,则半票乘车；否则，全票乘车。算法伪代码：ReadhIfh<\AThenPrint免费乘车ElseIfh<\AThenPrint半票乘车ElsePrint全票乘车EndIf当型循环结构：4•循环语句例1.写出计算Ix3x5x7xx99的一个算法。SJ1/~3While/<99SjSxI1=1+2\nEndWhilePrintSEndSJl/13doSjSxI1=1+2Until/>99EnddoPrintSEnd\nSWhile/<100SjS+1I=I+\EndWhilePrintSEnd例2.写出计算1+2+3+4+……+99+100的算法。例3.求满足lx3x5x7x•的最小整数的算法。(根S/J-1WhileS<10000I—1+2SjS*/EndWhilePrintIEndSJ1doSjS+II=1+1Until/>100EnddoPrintSEnd据右图填空)【知识点4】秦九韶算法秦九韶(1202—1261)“秦九韶算法”的特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值；对于一个〃次多项式，最多只要做〃次乘法和兀次加法。练习：当x=2时，计算3x3-2x2-4x-5需要次加法，次乘法。【知识点5】辗转相除法【用较大的数除以较小的数，直到余数厂=0为止】例题：求8251和6105的最大公约数。“辗转相除”伪代码：Reada,bWhileMod(a,b)H0r<-Mod(cz,/?)albbJrEndWhilePrinth练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数。(答案：53)【知识点6】更相减损术1•用更相减损术求98与63的最大公约数。2.用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。【知识点7】二分法例题：写11!用二分法求解方程x3-x-l=0在区间［1,1.5］内的一个近似解(误差不超过0.001)的一个算法。算法步骤：S1取［d,b］的中点兀0=出，把区间一分为二;S2若/(xo)=O,则观就是方程的根，否则判断根在无的左侧还是右侧;若/W(xo)>O,则根ex。,/?)内，以兀代替d；\n若/WW<0,则根(a,如)内,以兀°代替矢S3若|。-纠<0.001,计算终.止，此时根的近似值为禺，否则转S1。由(I)可n\ACf=(x[-x2)2+(y[-y2)2一折+16