高考数学经典题汇编及历年高考真题 72页

高考数学经典试题汇编1.下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）…………712（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………………………………………………………………………………………………………其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数．（1）写出的值；（2）写出的计算公式；（３）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．讲解　　学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．（1）按第一行依次可读出：，；按第一行依次可读出：，；最后，按第５列就可读出：．（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是：　而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：　……通过递推易知，第i行是首项为，公差为的等差数列，故有（３）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得．从而　　　　，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得，从而　　　　　　，由此可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.2.求。3.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”72\n中任取一数比37大的概率是。1.函数及其反函数的图象与函数的图象交于A、B两点，若，则实数的值等于_________。2.从装有个球（其中个白球，个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的个球有个白球和个黑球，共有种取法。显然，即有等式：成立。试根据上述思想化简下列式子：。3.某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润（单位：万元）与年数满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用（C）（A）3年（B）4年（C）5年（D）6年4.（14分）已知函数，且（1）求的值；（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为。若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由。解：（1）∵，∴，即，∵，∴（2），；当，即时，；当时，∵，∴这样的不存在。当，即时，，这样的不存在。综上得，。5.（14分）如图，设圆的圆心为C，此圆和72\n抛物线有四个交点，若在轴上方的两个交点为A、B，坐标原点为O，的面积为S。（1）求P的取值范围；（2）求S关于P的函数的表达式及S的取值范围；（3）求当S取最大值时，向量的夹角。解：（1）把代入得由，得，即（2）设，的方程：，即即，即点O到AB的距离，又∴，即（3）取最大值时，，解方程，得，∴向量的夹角的大小为。1.（16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为亿美元。同时美国战后每月还要投入约亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？解：设个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则即，，即个月后，美国才能收回在伊的“投资”。72\n1.数列的第2004项是____________。632.在等比数列中，，公比，若，则达到最大时，的值为____________。83.设函数，且①；②有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序数对为______________。满足的任一组解均可4.已知两条曲线（不同时为0）.则“”是“与有且仅有两个不同交点”的A(A)充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件5.已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组值，使，，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列{}、{}的通项公式（不必证明）；（3）若函数中，，（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（1）∵有最大值，∴。配方得，由。∴，。（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素。则。②中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则。③中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素。则。。（3）（理），得。，∵，当且仅当时等号成立。∴在上单调递增。。又，故没有最小值。（文）∵单调递增，∴，又，∴没有最大值。6.把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表：第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则。72\n1.我边防局接到情报，在海礁AB所在直线的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在的另一侧码头处，公里，公里，。（1）（10分）是否存在点M，使快艇沿航线或的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。（2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线比路线的路程短，请说明理由。解：（1）建立直角坐标系（如图），，点M的轨迹为双曲线的一部分，，即点M的轨迹方程为（2）走私船如在直线的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线的路程较短。理由：设的延长线与（1）中曲线交于点，则2.已知函数对任意的整数均有，且。（1）（3分）当，用的代数式表示；（2）（理）（10分）当，求的解析式；（文）（6分）当，求的解析式；（3）如果，且恒成立，求的取值范围。（理5分；文9分）解：（1）令（2）（理）当时，，上述各式相加，得当时，72\n上述各式相加，得，即综上，得。（文），（3）恒成立令，是减函数∴1.设A（x1，y1），B（x2，y2）是两个互异的点，点P的坐标由公式确定，当R时，则（C）A．P是直线AB上的所有的点B．P是直线AB上除去A的所有的点C．P是直线AB上除去B的所有点D．P是直线AB上除去A、B的所有点2.设（n∈N）的整数部分和小数部分分别为In和Fn，则Fn(Fn+In)的值为（A）A．1B．2C．4D．与n有关的数3.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001，0002，0003，…1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为．07954.设x、y、z中有两条直线和一个平面，已知命题为真命题，则x、y、z中一定为直线的是　　．z5.秋收要到了，粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a、b的矩形木板，在屋内的一个墙角搭一个急需用的粮仓，这个农户在犹豫，是将长为a的边放在地上，还是将边长为b的边放在地上，木板又该放在什么位置的时候，才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案，使粮仓所能储放的粮食最多（即粮仓的容积最大）设墙角的两个半平面形成的二面角为定值α。将b边放在地上，如图所示，则粮仓的容积等于以△ABC为底面，高为a的直三棱柱的体积。由于该三棱柱的高为定值a，于是体积取最大值时必须△ABC的面积S取最大值。设AB=x，AC=y，则由余弦定理有72\nABCxyabα第22题答图≥，于是，≤，从而，S=≤。当且仅当x=y时，S取最大值。故当AB=AC时，(Vb)max=。同理，当a边放在地上时，(Va)max=。显然，当a＞b时，(Va)max＞(Vb)max；当a＜b时，(Va)max＜(Vb)max；当a=b时，(Va)max=(Vb)max。故当a＞b时，将a边放地上，且使底面三角形成以a为底边的等腰三角形；当b＞a时，将b边放地上，且使底面三角形成以b为底边的等腰三角形；当a=b时，无论将a边还是b边放在地上均可，只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。1.已知一个数列{an}的各项是1或3．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n项的和为Sn．（Ⅰ）试问第2004个1为该数列的第几项？（Ⅱ）求a2004；（Ⅲ）S2004；（Ⅳ）是否存在正整数m，使得Sm=2004？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；为第k对，共1+（2k-1）=2k项；…．故前k对共有项数为2+4+6+…+2k=k(k+1)．（Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013（项）．（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a2004=3．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S2004=45+3×1959=5922．（Ⅳ）前k对所在全部项的和为Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k．易得，S25(25+1)=3×252+25=1900，S26(26+1)=3×262+26=2054，S651=1901，且自第652项到第702项均为72\n3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使Sm=2004．1.（Ⅰ）设A为动椭圆的中心，BD为过焦点F的弦，M为BD的中点，连接AM并延长交椭圆于点C．求证：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是为定值且值为（其中a为椭圆的半长轴）．（Ⅱ）命题（Ⅰ）的结论能推广到双曲线吗？为什么？（Ⅰ）不妨设椭圆方程为(a＞b＞0)，F(c，0)为右焦点，B(x1，y1)，D(x2，y2)，M(x0，y0)，弦BD的方程为x=my+c．联立两方程得，于是，x0=my0+c．由椭圆第二定义得，于是．首先，若四边形ABCD为平行四边形，则C的坐标为(2x0，2y0)，将其代入椭圆方程并化简得，由此可得．其次，若，则，于是x0，，从而，，也就是点(2x0，2y0)在椭圆上，且M平分AC，故ABCD为平行四边形．（Ⅱ）命题（Ⅰ）的结论在双曲线中不成立，因四边形ABCD不可能为平行四边形2.用“斜二测画法”作正三角形ABC的水平放置的直观图得，则与的面积之比为（B）A．B．C．D．3.（理科）设抛物线为常数）的焦点为F，准线为l.过F任作一条直线与抛物线相交于A、B两点，O为原点，给出下列四个结论：①|AB|的最小值为2p；②△AOB的面积为定值；③OA⊥OB；④以线段AB为直径的圆与l相切，其中正确结论的序号是（注：把你认为正确的结论的序号都填上）①④（文科）长为4的线段AB的两端点在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到y轴的距离的最小值为72\n1.如图所示的正方体中，E、F分别是AA1、D1C1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AGFE在该正方体面上的射影不可能是D1C1FA1CB1GEADABCDB2.设A、B两点到平面α的距离分别为2与6，则线段AB的中点到平面α的距离为4或23.（理）设函数f(x)是二次函数，已知，且f(x)=0有两个相等实根，问是否存在一个常数t（O＜t＜1，使得直线x=－t将函数y=f(x)的图象与坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，若存在，求出此常数t，若不存在，请说明理由.（文）已知.（1）求a、k之值；（2）x为何值时f（log2x）有最小值，并求其最小值解：（理）设f(x)=ax2+bx+C，则（1分）由(x)=2x+2及f(x)=0可得a=1，b=2，c=1（2分）即f(x)=x2+2x+1（3分）假设存在常数t（0＜t＜1满足条件，则（6分）即（8分）化简得：2t3－6t2+6t=1（10分）即2(t－1)3=－1解得（12分）①②（文）（1）由题设知（3分）由②得log2a=0或log2a=1（4分）又a≠1，故a=2代入①log2（2+k）=2得k=2（5分）∴a=2，k=2（6分）（2）（8分）（10分）当（12分）4.三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524、746等都是凹数.那么，各个数位上无重复数字的三位凹数共有个2405.在容量为10的一个样本中，已知S=9，那么（D）A、S*的值不可能求出B、S*=10C、S*=90D、S*=372\n1.在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是（Ｂ）A、0.8B、0.6C、0.4D、0.22.有一台坏天平，两臂长不相等，其余均精确，现用它称物体的重量，将物体放在左右托盘各称一次，重量分别为a、b，则该物体的真实重量为（Ｂ）A、B、C、D、3.设曲线上的点为过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于，然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…Pn，Qn+1…，已知，设（1）求出过点P0的切线方程；（2）设求的表达式；（3）设求解：（1）∴过点P0的切线段为即（4分）（2）∴过点Pn的切线方程为（6分）将的坐标代入方程得：（8分）故数列是首项为的等比数列（10分）（3）（12分）（14分）4.已知图①中的图象对应的函数，则图②中的图象对应的函数72\n在下列给出的四式中，只可能是（Ｃ）A．B．C．D．1.如图，已知多面体ABC—DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC//平面DEFG，平面BEF//平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为（Ｂ）A．2B．4C．6D．82.（如图）正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（A）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段3.（理）已知双曲线的离心率，一条准线方程为，直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示.（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）求证：|AB|=|CD|；（Ⅲ）如果|AB|=|BC|=|CD|，求证：△OBC的面积为定值.（文）已知函数是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1).（Ⅰ）试求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）问函数f(x)72\n图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说明理由.（理）解（Ⅰ）由已知∴所求双曲线的方程x2－y2=1………………………………………………2分（Ⅱ）解法一设l:x=my+b,(m≠±1)由由………………………………………………4分………………………………………………6分∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，∴|AB|=|CD|.……7分解法二：当l倾斜角为90°时，设l:x=m,(m>1).……3分当l倾斜角不是90°时，设l:y=kx+b,(k≠±1).由…………4分由…………………………………………………6分∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，∴|AB|=|CD|.……7分（Ⅲ）设A(a,a)D(b,－b)a>0,b>0∵|AB|=|BC|=|CD|即…………………………………………………………………9分∴点C在双曲线上……………11分……………13分∴△OBC的面积为定值.（文）（Ⅰ）∵f(x)是奇函数∴f(―x)=―f(x)72\n即……………………2分，……………………4分当且仅当，时，等号成立.于是…………………6分解得…………………………………………………………………………8分（Ⅱ）设存在一点(x0,y0)在y=f(x)图象上,并且关于(1,0)的对称点(、y0)也在y=f(x)图象上，…………………………………………………9分则…………………………………………11分（1，0）对称…………………………………………………………………………13分1.对于函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）作代换x=g（t），则不改变函数f(x)的值域的代换是ＤA．g（t）=2tB．g(t)=|t|C．g(t)=sintD．g(t)=log2t2.若将离心率为的椭圆绕着它的左焦点按逆时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程是3y+14=0，则新椭圆的另一条准线方程是ＣA．B．C．D．3.数列满足条件：①任意连续二项的和大于零；②任意连续三项的和小于零.则这样的数列最多有项.34.设数列的首项a1=1,前n项和Sn满足关系.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；72\n（Ⅱ）设数列的公比是f（t）作数列，使求bn及（Ⅲ）求和：（I）证明：由已知得减去已知式，化得.当n=2时，由已知式及a=1得数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列.（4分）（II）解：是以1为首项，为公差的等差数列（III）解：当k为偶数时，当n为偶数时，将相邻两项配对，则当n为奇数时，（14分）1.设，若有且仅有两解，则实数的取值范围是：2.A72\n十年真题汇编2003年高考数学试题（新课程卷、江苏卷、辽宁卷）新课程卷·理工农医类●试题部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（）A.B.C.D.2.已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于（）A.B.－C.D.－3.设函数f（x）=若f（x0）>1，则x0的取值范围是（）A.（－1，1）B.（－1，+∞）C.（－∞，－2）∪（0，+∞）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）72\n4.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈［0，+∞，则P的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心5.函数y=ln，x∈（1，+∞）的反函数为（）A.y=，x∈（0，+∞）B.y=，x∈（0，+∞）C.y=，x（－∞，0）D.y=，x∈（－∞，0）6.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A.B.C.D.7.设a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A.［0，］B.［0，］C.［0，||］D.［0，||］8.已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于（）A.1B.C.D.9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（）A.B.C.D.10.已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P472\n（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若10，求函数f（x）=－ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间.20.（本小题满分12分）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η.（Ⅰ）求ξ、η的概率分布；（Ⅱ）求Eξ，Eη.21.（本小题满分12分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）设a0为常数，且an=3n－1－2an－1（n∈N+）.（Ⅰ）证明对任意n≥1，an=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2na0；（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围.●答案解析1.答案：B解析：.2.答案：D解法一：∵x∈（－，0），cosx=，∴sinx=－，tanx=－，∴tan2x=72\n.解法二：在单位圆中，用余弦线作出cosx=，x∈（－，0），判断出2x∈Ⅳ且tan2x=AT<－1.3.答案：D解法一：因为f（x0）>1，当x≤0时，，∴x0<－1，当x0>0时，>1，∴x0>1.综上，所以x0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）.解法二：首先画出函数y=f（x）与y=1的图象.由图中易得f（x）>1时，所对应的x的取值范围.4.答案：B解析:设为上的单位向量,为上的单位向量,则的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈［0，+∞］，∴λ（）的方向与的方向相同.而，∴点P在上移动，∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.5.答案：B解法一：y=ln=ly，∴x=，又而x>1，∴>1，∴ln>0，因此y=ln的反函数为y=（x>0）解法二：因原函数的定义为（1，+∞），而y=.因此排除A、C，又原函数的值域为（0，+∞），排除D.6.答案：C解析：如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥，而AB2=（）2+（）2=a2，∴V八面体=.7.答案：B解析：f（x）的导数为f′（x）=2ax+b，由已知y=f（x）在点P（x0，f（x072\n））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］.因此有0≤2ax0+b≤1.而P到曲线y=f（x）的对称轴的距离为.8.答案：C解析：设a1=，a2=+d，a3=+2d，a4=+3d，而方程x2－2x+m=0中的两根之和为2，x2－2x+n=0中的两根之和也是2.∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4，∴d=，∴a1=，a4=是一个方程的两个根，a2=，a3=是一个方程的两个根，∴为m或n.∴|m－n|=.9.答案：D解法一：设所求双曲线方程为由得，（7－a2）x2－a2（x－1）2=a2（7－a2）整理得：（7－2a2）x2+2a2x－8a2+a4=0.又MN中点横坐标为－，∴x0=即3a2=2（7－2a2），∴a2=2.故所求双曲线方程为.解法二：因所求双曲线与直线y=x－1的交点的中点横坐标为－<0，故双曲线的渐近线的斜率（k>0）时，为k>1，因此，排除B、C.经检验的交点的中点横坐标为－.解法三：由已知MN中点横坐标x0=－，可得中点纵坐标y0=x0－1=－，设MN与双曲线交点分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），则有=1①，=1②72\n则②－①得：，∴，∴.10.答案：C解析：设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，所以tanθ==x，又tanθ==x，∴CP2=－1，而tanθ=，∴DP3=x（3－）=3x－1，又tanθ==x，∴AP4=－3，依题设10）.当a>0，x>0时，f′（x）>0x2+（2a－4）x+a2>0，f′（x）<0x2+（2a－4）x+a2<0.（i）当a>1时，对所有x>0，有x2+（2a－4）x+a2>0，即f′（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增.（ii）当a=1时，对x≠1，有x2+（2a－4）x+a2>0，即f′（x）>0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增.又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增.（iii）当00，即x2+（2a－4）x+a2>0，解得x<2－a－2，或x>2－a+2.因此，函数f（x）在区间（0，2－a－2）内单调递增，在区间（2－a+2，+∞）内也单调递增.令f′（x）<0，即x2+（2a－4）x+a2<0，解得2－a－2an－1（n∈N+）等价于（－1）n－1（5a0－1）<（）n－2（n∈N+）.①（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－2（5a0－1）<（）2k－3，即为a0<（）2k－3+.②②式对k=1，2，…都成立，有a0<×（）－1+=.（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－1（5a0－1）<（）2k－2，即为a0>－×（）2k－2+.③③式对k=1，2，…都成立，有72\na0>－×（）2×1－2+=0.综上，①式对任意n∈N+成立，有0an－1（n∈N+）成立，特别取n=1，2有a1－a0=1－3a0>0，a2－a1=6a0>0，因此00.由an通项公式5（an－an－1）=2×3n－1+（－1）n－13×2n－1+（－1）n5×3×2n－1a0.（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，5（an－an－1）=2×3n－1+3×2n－1－5×3×2n－1a0>2×2n－1+3×2n－1－5×2n－1=0.（ii）当n=2k，k=1，2，…时，5（an－an－1）=2×3n－1－3×2n－1+5×3×2n－1a0>2×3n－1－3×2n－1≥0.故a0的取值范围为（0，）.新课程卷·文史类（与理工农医类不同的部分）●试题部分1.不等式0，0≤≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间［0，］上是单调函数，求和ω的值.22.已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.●答案解析1.答案：C解法一：解法二：由于5不满足4x－x2≥0排除B、D.1不满足0，n为正整数.（Ⅰ）设y=（x－a）n，证明y′=n（x－a）n－1；（Ⅱ）设fn（x）=xn－（x－a）n，对任意n≥a，证明fn+1′（n+1）>（n+1）fn′（n）.22.设a>0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（00.即|b|>2|a|.对a、b的符号分情况讨论.①②③④可得到C选项.21.证明：（Ⅰ）因为（x－a）n=，所以y′=.（Ⅱ）对函数fn（x）=xn－（x－a）n求导数：fn′（x）=nxn－1－n（x－a）n－1，所以fn′（n）=n［nn－1－（n－a）n－1］.当x≥a>0时，fn′（x）>0.∴当x≥a时，fn（x）=xn－（x－a）n是关于x的增函数.因此，当n≥a时，（n+1）n－（n+1－a）n>nn－（n－a）n.72\n∴fn+1′（n+1）=（n+1）［（n+1）n－（n+1－a）n］>（n+1）（nn－（n－a）n）>（n+1）（nn－n（n－a）n－1）=（n+1）fn′（n），即对任意n≥a，fn+1′（n+1）>（n+1）fn′（n）.22.（Ⅰ）解：∵Qn（an，an2），Pn+1（·an2，an2），Qn+1（·an2，an4），∴an+1=·an2，∴an=·an－12=（·an－22）2=（）1+2an－2=（）1+2（·an－32）=（）an－3=……=（）∴an=a（）.（Ⅱ）证明：由a=1知an+1=an2.∵a1≤，∴a2≤，a3≤.∵当k≥1时，ak+2≤a3≤，∴.（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，an=.因此辽宁卷（与新课程卷不同的部分）●试题部分1.与曲线y=关于原点对称的曲线为（）A.y=B.y=－72\nC.y=D.y=－4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（）A.λ（），λ∈（0，1）B.λ（），λ∈（0，）C.λ（），λ∈（0，1）D.λ（），λ∈（0，）16.对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD其中真命题的序号是_____.（写出所有真命题的序号）●答案解析1.答案：A解法一：首先画出y=，利用特殊点的对称性，可以“找”到正确选项.令x=0，则y=－1，点（0，－1）在原曲线，其关于原点的对称点（0，1）只满足y=.解法二：已知曲线y=f（x）=，其关于原点对称的曲线为y=－f（－x）=－.4.答案：A解析：由向量的运算法则.而点P在对角线AC上，所以与同向，且||<||，∴=λ（）λ∈（0，1）.16.答案：①④解析：对于命题①，取BC的中点E.连接AE、DE.则BC⊥AE，BC⊥DE.∴BC⊥AD.对于命题④过A向平面BCD做垂线AO.连接BO与CD交于E.则CD⊥BE.同理CF⊥BD.∴O为△BCD垂心.连接DO，则BC⊥DO，BC⊥AO.∴BC⊥AD.72\n72\n2003年高考数学试题（全国卷、河南卷）全国卷·理工农医类（与新课程卷不同的部分）●试题部分2.圆锥曲线ρ=的准线方程是（）A.ρcosθ=－2B.ρcosθ=2C.ρsinθ=－2D.ρsinθ=24.函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A.1+B.－1C.D.25.已知圆C：（x－a）2+（y－2）2=4（a>0）及直线l：x－y+3=0，当直线l被C截得的弦长为2时，则a等于（）A.B.2－C.－1D.+16.已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A.2πR2B.πR2C.πR2D.πR29.函数f（x）=sinx，x∈［］的反函数f－1（x）等于（）A.－arcsinx，x∈［－1，1］B.－π－arcsinx，x∈［－1，1］C.π+arcsinx，x∈［－1，1］D.π－arcsinx，x∈［－1，1］14.使log2（－x）0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x－2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.20.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O72\n（如图）的东偏南θ（θ=arccos）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21.已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为CE与OF的交点（如图）.问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.22.（Ⅰ）设{an}是集合{2t+2s|0≤s0，∴a=－－1（舍去）.6.答案：B解析：设内接圆柱的半径为r，高为h，则有h=3（R－r）.∴S全=2S底+S侧=2πr2+2πrh=－4π（r－）2+R2∴其最大值为R2.9.答案：D72\n解法一：∵f－1（1）=，∴将x=1代入A、B、C、D各式中，只有D等于，因此D正确.解法二：利用函数f（x）的值域为［］，∵arcsinx∈［－，］，∴只有D中式子范围是［］.14.答案：（－1，0）解析：由图可知，x的取值范围是（－1，0）.15.答案：72解析：先排1区，有4种方法，再排2区，有3种方法，如果3、5两区同色，则4区有2种方法，否则4区只剩一种方法.另外3、5两区本身还有两种选择，故共有4·3（2+1）·2=72.17.解法一：设z=r（cos60°+isin60°），则复数z的实部为.∴z+=r，z=r2.由题设|z－1|2=|z|·|z－2|，即（z－1）（－1）=|z|，∴r2－r+1=r，整理得r2+2r－1=0.解得r=－1，r=－－1（舍去）.即|z|=－1.解法二：设z=a+bi，a>0，∵tan60°=，∴b=a.∴z=a+ai（a>0），∵|z－1|=，|z|==2a，|z－2|=，又∵|z－1|2=|z|·|z－2|，∴（a－1）2+3a2=2a4a2－2a+1=2a16a4+4a2+1－16a3+8a2－4a=16a2（a2－a+1）化简得4a2=－4a+14a2+4a－1=0（2a+1）2=22a+1=，∴a=.∴|z|=－1解法三：设z=r（cos60°+isin60°）=ri72\n则z－1=（－1）+ri，z－2=（－2）+ri由题设：|z－1|2=|z|·|z－2|，∴（－1）2+r2=r∴r2－r+1=r·，整理得：r2+2r－1=0解得r=－1，r=－－1（舍去）.∴|z|=－1.19.解：函数y=cx在R上单调递减01的解集为R函数y=x+|x－2c|在R上恒大于1.∵x+|x－2c|=∴函数y=x+|x－2c|在R上的最小值为2c.∴不等式x+|x－2c|>1的解集为R2c>1c>.如果P正确，且Q不正确，则0时，点P到椭圆两个焦点（0，a－），（0，a+）的距离之和为定值2a.22.（Ⅰ）解：（i）第四行17182024第五行3334364048（ii）解法一：设a100=.只须确定正整数t0，s0.数列{an}中小于的项构成的子集为{2t+2s|0≤s0）到直线l：x－y+3=0的距离为1，则a等于（）A.B.2－C.－1D.+110.已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，该圆柱的全面积为（）A.2πR2B.πR2C.πR2D.πR2●答案解析1.答案：C解析：直线y=2x经过原点且斜率为2，它关于x轴对称的直线也应经过原点且斜率为－2，故方程为y=－2x.7.答案：D解析：令x5=2，∴x=2，∴f（2）=lg2=lg2.8.答案：C解析：把函数图象向左平移个单位即可.9.答案：C解析：=1，解得a=－1，a=－－1（舍去）.10.答案：B解析：设圆柱半径为r，高为h，已知r=.由，∴h=R.∴S圆柱=2πr2+2πrh=2π（R）2+2π（R）2=πR2.72\n河南卷（与全国卷不同的部分）●试题部分1.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）19.已知a>0，a≠1，设P：函数y=loga（x+1）在x∈（0，+∞）内单调递减；Q：曲线y=x2+（2a－3）x+1与x轴交于不同的两点.如果P与Q有且只有一个正确，求a的取值范围.●答案解析1.答案：C解析：当a>0时，A、B、C、D均不成立.当a<0时，只有C成立.19.解：当01时，y=loga（x+1）在（0，+∞）内不是单调递减；曲线y=x2+（2a－3）x+1与x轴交于两点等价于（2a－3）2－4>0.即a<或a>.情形（i）P正确，且Q不正确，即函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内单调递减，曲线y=x2+（2a－3）x+1与x轴不交于两点.因此a∈（0，1）∩［［，1］∪（1，，即a∈［，1］.情形（ii）P不正确，且Q正确，即函数y=loga（x+1）在（0，+∞）内不是单调递减，曲线y=x2+（2a－3）x+1与x轴交于两点，因此a∈（1，+∞）∩［（0，）∪（，+∞）］.即a∈（，+∞）.综上，a取值范围为［，1］∪（，+∞）.72\n2003年高考数学试题（北京卷）理工农医类●试题部分第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2－1＞0}，B={x|log2x＞0}，则A∩B等于（）A.{x|x＞1}B.{x|x＞0}C.{x|x<－1}D.{x|x＜－1或x＞1}2.设y1=40.9，y2=80.48，y3=（）－1.5，则（）A.y3＞y1＞y2B.y2＞y1＞y3C.y1＞y2＞y3D.y1＞y3＞y23.“cos2α=－”是“α=kπ+，k∈Z”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4.已知α，β是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是（）A.若m∥n，m⊥α，则n⊥αB.若m∥α，α∩β=n，则m∥nC.若m⊥α，m⊥β，则α∥βD.若m⊥α，mβ，则α⊥β5.极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ=1表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若z∈C且|z+2－2i|=1，则|z－2－2i|的最小值是（）A.2B.3C.4D.57.如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A.2πB.πC.πD.π8.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种值.不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种9.若数列{an}的通项公式是an=，n=1，2，…，则（a1+a2+…+an）等于（）72\nA.B.C.D.10.某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k.规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”.令aij=其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A.a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2kB.a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2C.a11a12+a21a22+…+ak1ak2D.a11a21+a12a22+…+a1ka2k第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.11.函数f（x）=lg（1+x2），g（x）=h（x）=tan2x中，____是偶函数.12.以双曲线=1的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是.13.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.14.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x.（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈［0，］，求f（x）的最大值、最小值.16.（本小题满分13分）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式.17.（本小题满分13分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.18.（本小题满分13分）如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）.（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1，y1），D（x2，72\ny2）（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）.求证：；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）19.（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20.（本小题满分14分）设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：（ⅰ）f（－1）=f（1）=0；（ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤1；（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x），且使得若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.●答案解析1.答案：A解法一：∵x2>1，∴x>1或x<－1，又∵log2x>0，∴log2x>log21得x>1，∴得x>1.解法二：排除法，B、C、D不满足log2x>0排除.2.答案：D解析：∵y1=40.9=21.8，y2=80.48=（23）0.48=21.44，y3=21.5，∵函数y=2x是单调递增函数.又1.8>1.5>1.44，∴y1>y3>y2.3.答案：A解析：∵cos2α=－，∴2α=2kπ+π或2α=2kπ+π，∴α=kπ+π或α=kπ+π.∴cos2α=－α=kπ+π，而α=kπ+πcos2α=－.4.答案：B解析：A、C、D由判定定理较容易判断是正确的.下面举例说明命题B是错误的.5.答案：D解析：由原式可得ρ2（cos2θ－sin2θ）－2ρcosθ=1，设x=ρcosθ，y=ρsinθ得72\nx2－y2－2x=1，∴（x－1）2－y2=2为双曲线.6.答案：B解法一：属几何法，即数形结合.关键是把相关的量几何化.|z+2－2i|=1表示圆心在（－2，2），半径为1的圆，而|z－2－2i|表示圆上的点到点（2，2）的距离，其最小值为3.解法二：是代数法，关键是把条件最值问题转化为函数的最值.设z=x+yi，因此有|x+2+（y－2）i|=1,即：（x+2）2+（y－2）2=1，又|z－2－2i|=.而|x+2|≤1即－3≤x≤－1.∴在x=－1时，|z－2－2i|取最小值3.解法三：|z－2－2i|=|z+2－2i－4|≥||z+2－2i|－4|=3.7.答案：C解析：设圆台上底半径为r，下底半径为R，母线长为l，则有S轴截面=·h，S侧=·l.又母线与下底面成60°角，则l=2·BA′，h=BA′.∴.8.答案：B解析：因为黄瓜必须种植，在余下的3种蔬菜品种中再选两种，进行排列，共有种，即有18种.9.答案：C解析：当n为奇数时：an=2－n=（）n，a1=，当n为偶数时，an=3－n=（）n.a2=.将a1+a2+…+an分为两组，分别求得首项和公比计算.即a1+a2+…+an=（a1+a3+a5+…）+（a2+a4+a6）+…+an.而每组和的极限都存在，因此有：（a1+a2+…+an）=（a1+a3+…+a2n－1）+（a2+a4+…+a2n）=.10.答案：C解析：同意第1号同学当选有如下同学a11，a21，a31，…，ak1，同意第2号同学当选有如下同学a12，a22，a32，…ak2，而同时同意1、2号同学当选应为a11a12，a21a22，…ak1·ak2，而其他值均为0，故同时同意第1、2号同学当选的人数为a11·a12+a21a22+…+ak1ak2.11.答案：f（x）g（x）72\n解析：显然f（x）=lg（1+x2）为偶函数，h（x）=tan2x为奇函数，对于g（x）的研究，可以用画函数图象的方法观察；因此g（x）为偶函数.也可用定义来判断：设x<－1，g（x）=x+2，则－x>1，∴g（－x）=－（－x）+2=x+2；设x>1，g（x）=－x+2，则－x<－1，∴g（－x）=－x+2.而－1≤x≤1时g（－x）=g（x）=0.综上，有g（－x）=g（x），∴g（x）为偶函数.12.答案：y2=－36（x－4）解析：如图，抛物线的顶点在（4，0），焦点在（－5，0），因此，所求抛物线方程为y2=－36（x－4）.13.答案：πr2解析：如下图，所求几何体的体积为+πr2b=πr2（+b）=πr2.14.答案：解析：设正方形周长为x，则边长为，圆周长为1－x，圆的半径为.（05=OC，∠ACB>，如图（b）.所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为（0，），且AM=BM=CM.当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2.这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以，点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.72\n答：点P的坐标为（0，）.20.（Ⅱ）答：函数g（x）满足题设条件.验证如下：g（－1）=0=g（1）.对任意u，v∈［－1，1］，当u，v∈［0，1］时，有|g（u）－g（v）|=|（1－u）－（1－v）|=|u－v|；当u，v∈［－1，0］时，同理有|g（u）－g（v）|=|u－v|；当u·v<0时，不妨设u∈［－1，0），v∈（0，1］，有|g（u）－g（v）|=|（1+u）－（1－v）|=|u+v|≤|v－u|.所以，函数g（x）满足题设条件.（Ⅲ）答：这样的函数不存在.理由如下：假设存在f（x）满足条件，则由f（－1）=f（1）=0，得|f（1）－f（－1）|=0.①由于对任意u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|，所以，|f（1）－f（－1）|=|1－（－1）|=2.②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.72\n2003年高考数学试题（上海卷）理工农医类●试题部分一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数y=sinxcos（x+）+cosxsin（x+）的最小正周期T=_____.2.若x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_____.3.在等差数列{an}中，a5=3，a6=－2，则a4+a5+…+a10=_____.4.在极坐标系中，定点A（1，），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_____.5.在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_____.（结果用反三角函数值表示）6.设集合A={x||x|<4}，B={x|x2－4x+3>0}，则集合{x|x∈A且xA∩B}=_____.7.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则∠ABC=____.（结果用反三角函数值表示）8.若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）=_____.9.某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为.（结果用分数表示）10.方程x3+lgx=18的根x≈_____.（结果精确到0.1）11.已知点A（0，），B（0，－），C（4+，0），其中n为正整数，设Sn表示△ABC外接圆的面积，则Sn=.12.给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确结果填在下面空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13.下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）72\nA.y=tg|x|B.y=cos（－x）C.y=sin（x－）D.y=|ctg|14.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A.α、β都垂直于平面γB.α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD.l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β15.设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.f（x）是定义在区间［－c，c］上的奇函数，其图象如图所示.令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（）A.若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a=－1，－20且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围.●答案解析1.答案：π解析：∵y=sin［x+（x+）］=sin（2x+）.∴周期T=π.2.答案：解析：将x=代入方程，得cos（α+）=，∴α+=+2kπ或2π－+2kπ，k∈Z.3.答案：－49解析：∵d=a6－a5=－2－3=－5，∴a4+a5+…+a10==7（a5+2d）=7（3－10）=－49.4.答案：（π）解析：将直线的极坐标方程化为普通方程为：x+y=0，点A（1，）化为直角坐标为（0，1），而点A（0，1）到直线x+y=0的最短距离为.如图知OB=，∠xOB=.∴B点的极坐标为（，）.5.答案：arctan272\n解析：如图，∠PAD即为异面直线PA与BC所成的角.∵△PAD≌△PBC，∴∠PBE=∠PAD.设OE=a.则PE=2a，BE=a，∴tanPBE=2.6.答案：［1，3］解析：A={x|－43}，∴A∩B={x|－40，00，∴a1>0且00，则“M=N”，如果<0，则“M≠N”.∴“”“M=N”；反之若M=N=，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零.因此，“M=N”“”.因此，既非充分又非必要条件.16.答案：B解析：由已知可设f（x）=mx（x－2）（x+2）（m<0），x∈［－c，c］.又g（x）=amx（x－2）（x+2）+b，将原图向上平移b个单位.因此g（x）图象不可能关于原点对称.当a=－1，－20），可能大于2，此时与x轴只有一个交点，即只有一个实根.当a≥1，b<2时，g（x）=amx（x－2）（x+2）+b=a［mx（x－2）（x+2）+］.的范围不确定，即与x轴的交点个数不确定.17.解法一：|z1·z2|=|1+sinθcosθ+（cosθ－sinθ）i|=.故|z1·z2|的最大值为，最小值为.解法二：|z1·z2|=|z1|·|z2|=|cosθ－i|·|sinθ+i|=.故|z1z2|的最大值为，最小值为.18.解：连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B1DB=30°，于是BB1=BD=2.故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=8.19.解：（1）=a1－2a1q+a1q2=a1（1－q）2，72\n=a1－3a1q+3a1q2－a1q3=a1（1－q）3.（2）归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则+…+（－1）nan+1·=a1（1－q）n，n为正整数.证明：+…+（－1）nan+1=+…+（－1）na1qn=a1［+…+（－1）nqn］=a1（1－q）n.20.（1）解：如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），椭圆方程为=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=≈33.3.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）解法一：由椭圆方程=1，得=1.因为≥，即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=.当S取最小值时，有，得a=11，b=此时l=2a=22≈31.1，h=b≈6.4.故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.解法二：由椭圆方程=1，得=1.于是b2=.a2b2=（a2－121++242）≥（2+242）=81×121，72\n即ab≥99，当S取最小值时，有a2－121=.得a=11，b=，以下同解法一.21.解：（1）设={u，v}，则由，即，得，或.因为={u+4，v－3}，所以v－3>0，得v=8，故={6，8}.（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y=x.由条件可知圆的标准方程为：（x－3）2+（y+1）2=10，得圆心（3，－1），半径为.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x，y），则，故所求圆的方程为（x－1）2+（y－3）2=10.（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则.即x1、x2为方程0的两个相异实根，于是由Δ=－4·>0，得a>.故当a>时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.22.解：（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx.因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=xM.（2）因为函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，72\n所以方程组：有解，消去y得ax=x，显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.于是对于f（x）=ax，有f（x+T）=ax+T=aT·ax=T·ax=Tf（x），故f（x）=ax∈M.（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M.当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx.因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，于是sinkx∈［－1，1］，sin（kx+kT）∈［－1，1］，故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，只有T=±1.当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈Z.当T=－1时，sin（kx－k）=－sinkx成立，即sin（kx－k+π）=sinkx成立，则－k+π=2mπ，m∈Z，即k=－（2m－1）π，m∈Z.综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}.文史类（与理工类不同的部分）●试题部分4.已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_____.15.点P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N（）四点中，函数y=ax的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（）A.PB.QC.MD.N19.（本题满分14分）已知函数f（x）=－log2，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.22.（3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：.●答案解析4.答案：（－）解析：由A点向直线做垂线，垂线段AB是最短距离.△ABO为等腰直角三角形，∠AOB=45°.因此B点坐标为（－）.15.答案：D解析：点P、Q显然是不可能的.因为：loga1=0，不可能得到1、2.下面验证N点正确：设N（）在y=ax图象上72\n∴，∴即，说明（）在y=logax的图象上.所以N为公共点.19.解：x须满足，由>0得－10，即f（x）在（0，1）内单调递减，由于f（x）是奇函数，所以f（x）在（－1，0）内单调递减.22.解：（3）因为Sn=.所以72