高考数学(文)之导数及部分高考试题 6页

高中数学第十四章导考试内容：导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研允函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景.（2）理解导数的几何意义.（3）掌握函数，y=c（c为常数）、y二xn（nWN+）的导数公式，会求多项式函数的导数.（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.知识要点1.导数（导函数的简称）的定义设心是函数y=/（x）定义域的一点，如果自变量x在心处有增量心，则函数值y也引起相应的增量△尸+心）-/（必）；比值鱼=/（"）+心）7（心）称为函数二f（x）在点勺到勺+心AxAx之间的平均变化率；如果极限lim=lim/（ao+Av）-/（a-（））存在，则称函数）,=兀力在点必处可导，并把这个心一>0AxAvtoAx极限叫做y=/（x）在％处的导数，记作/（兀。）或$\x=xi）即八和=讪冬二怙皿竺上竺2.axt（）AraxtO心注：①Ay是增量，我们也称为“改变量"，因为心可正，可负，但不为零.②以知函数y=/（x）定义域为A,y=f\x）的定义域为B,则A与B关系为ApB.2.函数y=/（x）在点心处连续与点必处可导的关系：⑴函数y=/（x）在点兀（）处连续是y=/（兀）在点兀（）处可导的必要不充分条件.可以证明,如果y=f（x）在点兀°处可导，那么J=/W点兀°处连续.事实上，令x=x04-Ar,则x—>x0相当于Ar—>0.于是lim/（x）=lim/（x0+Ax）=lim［/（x+x0）~/（xo）+/（xo）1x—>x0Ayt（）Axt（）=血［/（勺+37（®•心+心））］=lim/如心）-/（心）Axt（）ArAxt（）Ar・lim+limf(x{})=f(x0)•0+/(x0)=/(x0).⑵如果Axt()Axt()y=/（x）点兀o处连续，那么y=/（x）在点兀°处可导，是不成立的.例：/（x）=|x|在点勺=0处连续，但在点巾=0处不可导，因为0=削，当心>0时，坐=1；当山V0时,AxArAr坐=_1,故lim型不存在.\nAxmtoAx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.1.导数的几何意义：函数y=/(X)在点必处的导数的几何意义就是曲线)=/(兀)在点(X0,/(X))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是/(%0)，切线方程为y-yo=f(x)(x-x0).2.求导数的四则运算法则：(W±v)'=u±v=>y=/](x)+/2(x)+...+/w(x)=>y'=//(x)+f2(x)+...+fn(x)11fIIff(wv)=vu-\-vu^>(cv)=cv+cv=cv(c为常数)注：①必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.22.例如：设/(x)=2sinx+—>^(x)=cosx——,则/(x),g(x)在兀=0处均不可导,但它们和/(x)+g(x)=XXsinx+cosx在x=0处均可导.3.复合函数的求导法则：fx\(p(x))=f'(u)(p\x)或yx=ylt-ux复合函数的求导法则可推广到多个中I、可变量的情形.4.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数y=/(X)在某个区间内可导，如果/(x)>0,则y=f(x)为增函数；如果f(x)V0,则y=/(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)/(x)在区I、可/内恒有/U)=0,贝ljy=/(x)为常数.注：①f(X)>0是/(X)递增的充分条件，但不是必要条件，如在(-co,+oo)上并不是都有/(x)>0,有一个点例外即％=0吋f(x)=0,同样/(x)Y0是f(x)递减的充分非必要条件.②一般地，如果f(X)在某区问内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负),那么/(X)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.5.极值的判别方法：(极值是在必附近所有的点，都有f(x)0,右侧/(x)<0,那么/(必)是极大值；②如果在必附近的左侧f(x)V0,右侧f(x)>0,那么/(勺)是极小值.也就是说勺是极值点的充分条件是勺点两侧导数异号，而不是/«=0®.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).\n注①：若点必是可导函数/(x)的极值点，则f\x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点X。是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数y=f(x)=x\x=()使f\x)=0,但x=()不是极值点.②例如：函数y=f(x)=|x|,在点x=0处不可导，但点兀=0是函数的极小值点.&极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.儿种常见的函数导数：I.C=0(C为常数)(sinx)=cosx(arcsinx)=f-(兀")FIX""(HG/?)I(cosx)=-sinx(arccosx)=——==7T7II.(inx)=—X.1(logn)=-iogaex•i(arctanx)=—L+1("j=e(ax)=axIna(arccolx)=x2+lIII.求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)'=丄.X②形如)‘，=(龙-⑷心-如…仏-乙)或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.(x-b})(x-b2)...(x-bn)③无理函数或形如)，=宀这类函数，如)取自然对数之后可变形为\ny=xinx,对两边求导可得。\n一、选择题：1、函数y=(兀+l)2(x_l)在x=l处的导数等于()A、1B、2C、3D、42、若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0则点P坐标为()A、(1,3)B、(-1,3)C、(1,0)D、(-1,0)1.43、曲线y=在点(1,—)处的切线与坐标轴围成三角形面积为()1212A、一B、一C、一D、一99334、物体运动方程为S=-t4-3则匚5时的瞬时速度为4()A、5B、25C、125D、6255、函数y=x4—2F+5的单调减区间为()A、(-00,-1],[0,1]B、[―l,0],[l,+oo)C^[—1,1]D、(YO,-l),[l,+oo)6、设x=—2与x=4是/(x)=%3+ax2+bx的两个极值点，则系数a、b分别为()A^a=—2,b=4B、a=—3,b=—24C、a=l,b=3D、a=2,b=—47、若函数f(x)=a(x3-3x)的递减区间为(一1,1)则a的取值范围()A、a>0B>—1lD、00,函数/(x)-X"-ax在［l,+8)上是单调增函数则a的最大值是()A、0B、1C、2D、310、方程兀3jc+c=0(c为常数)在区间［0,1］上A、无实根B、有惟一实根C、至多有一实根D、以上都正确11、已知对任意实数x,有=g(x)且兀>0时f\x)>0,g(x)>0则x<0时()A、f(x)>0,g\x)>0B、f(x)>0,g\x)<0C、f(x)<0,g\x)>0D、f\x)<0,g\x)<012、对于R上可导的惭数f(x),若满足(x-2)/V)>0则必有()A、/(l)+/(3)<2/(2)B、/(l)+/(3)>2/(2)C、/(l)+/(3)<2/(2)D、/(l)+/(3)>2/(2)二、填空题：13、抛物线y=x2上的点到直线兀->-2=0的最短距离14、曲线y=3x3+3x的切线中，斜率最小的切线方程为r215、设函数=x32兀+5,若对任意xe［-l,2］,都有/(x)>m则实数2m的取值范围是16、若抛物线y=+c上一点P的横坐标是一2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为17、设/(兀)是实义在R上的函数,/(x+6)=/(X)，且在"(0,3)时广(x)v0,y=/(兀)图象关于直线x=3对称则/(1.5),/(3.5),/(6.5)的大小顺序o三解答题：18、已知函数.f(x)=o?+cx+〃(dH0)是/?上的奇函数，当兀=1时，/(劝取得极值一2・(1)求函数/(兀)的解析式；(2)求/(x)的单调区间;(3)当xg［-3,3］时，/(x)0).32(1)若函数/(对在x二2处的切线方程为y=lx-2Q，求u,b的值.(2)设兀]，兀2是函数/(兀)的两个极值点，且卜」+|兀2〔=2,证明:25•己知/(x)=ax3+3x2一兀+1在R上是减函数，求a的収值范围。