2012年全国各地高考高考数学解答题总汇 44页

2012年全国各地高考数学解答题汇编2012年北京卷三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题共13分）已知函数念）=如二竺业竺sinx（1）求/（劝的定义域及最小正周期;（2）求/（无）的单调递增区间。16.（本小题共14分）如图1,在RtAABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE//BC,DE=2,将厶ADE沿DE折起到△AQE的位置，使A]C丄CD,如图2.（I）求证：A]C丄平而BCDE；（II）若M是A】D的中点，求CM与平面A|BE所成角的大小；（III）线段BC±是否存在点P,使平面AQP与平面A|BE垂直？说明理由\n17.（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽収了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（I）试估计厨余垃圾投放正确的概率;（II）试估计生活垃圾投放错误额概率;（III）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中q>0,o+b+c=600。当数据a,b,c的方差/最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时疋的值。（注：S2=一[（X）—X）*"+（X,—X）2H{xn—X）2],其中兀为数据西,兀2,…，暫的平均数）n18.（本小题共13分）已知函数/（x）=ox24-1（6Z>0）,g（x）=x3+bx.（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（l,c）处具有公共切线，求°,Z?的值;（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（—,-1]±的最大值.\n19.（本小题共14分）己知曲线C:(5-w)x2+(w-2)/=8(mGR).(1)若曲线C是焦点在兀轴上的椭圆，求加的取值范围；(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方)，直线y=kx-\-4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=l与直线交于点G,求证：A,G,N三点共线.20.(本小题共13分)设A是由mxn个实数组成的加行〃列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记S(772,/l)为所有这样的数表组成的集合.对于AwS(〃m)，记c(A)为A的第i行各数之和(1tJzm),c'A)为A的第丿•列各数之和(1劉/斤)；记k(A)为%(A)|，忆(4)|'…’|g(A)|‘|q(A)|，上2(4)|,…，|c“(4)冲的最小值.(1)对如下数表A,求饥A)的值;11-0.80.1-0.3-1(2)设数表Ag5(2,3)形如11cab-I求k(A)的最大值；(3)给定正整数/,对于所有的AwS(2,2/+l),求k(A)的最大值.2012年江苏卷\n二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在管题卡扌目雀匡域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在AABC屮，已知ABA£=3BABC（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=—,求A的值.516.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—中，A/严AC】，D,E分别是棱BC,Cq上的点（点D不（笫16题）同于点C）,且AD丄DE,F为的中点.求证：（1）平ffi]ADE丄平面BCC}B}；（2）直线AF〃平面4DE.17.（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=尬-丄（1+k2）x2（k>0）表示的曲线上,其屮£与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标。不超过多少时，炮弹可以击屮它？请说明理由.\n18.(本小题满分16分)己知a,/?是实数，1和-1是函数/(x)=x3+ax1+bx的两个极值点.(1)求a和方的值；(2)设函数g(无)的导函数g\x)=f(X)+2,求g(x)的极值点；(3)设h(x)=/(/(x))-c,其中cg[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.19.(木小题满分16分)如图，在平面直角坐标系冲，椭圆匚+==l(a>b>0)的左、右焦点分别为人(-c,0),arhrE(c,0).己知(1,e)和(°、都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.与直线B朽平行，AF?与BF、交于点、P.Bx(第19题)A()(1)求椭圆的离心率;(2)设A,B是椭圆上位于兀轴上方的两点，且直线人片(i)若AF\—B%=世,求直线人斥的斜率;2(ii)求证：PF｝+PF2是定值.20.(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列｛。“｝和｛$｝满足：%=,+町，Z石(1)设仇+产1+如，皿2,求证：数列如是等差数列；J\an\n(2)设如二血•俎,neN*,且｛%｝是等比数列,求q和勺的值.2012年高考试题山东卷三、解答题：本大题共6小题，共74分.(17)(本小题满分12分)苍4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(I)求证：a,b,c成等比数列；(II)若c==2,求△ABC的面积S.(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标•号分别为1,2.(I)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(II)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，•求这两张卡片颜色不同且标号Z和小于4的概率.(19)(本小题满分12分)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，'ABD为正三角形,CB=CD,EC丄BD.(I)求证：BE=DE；(II)若ZBCD=120。，M为线段AE的中点，求证：DW〃平面BEC.(20)(本小题满分12分)已知等差数列｛an｝的前5项和为105,且血=2鸟•\n(I)求数列｛%｝的通项公式；\n(II)对任意meN*,将数列｛%｝中不大于72"的项的个数记为休.求数列｛船｝的前加项和Sg•(21)(本小题满分13分)如图，椭圆M:=1(<7>/?>0)的离心率为』直线x=±a和y=±b所围成的矩a~b~2形ABCD的面积为&1)C厂•AB(I)求椭圆M的标准方程；(II)设直线/:y=x4-m(mwR)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,7\求些^的IST最大值及取得最大值时m的值.(22)(本小题满分13分)已知函数f(x)=伙为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点e(1,/(1))处的切线与兀轴平行.(I)求R的值；(II)求/⑴的单调区间；(III)设g(x)=xf\x),其中/'(兀)为/(兀)的导函数.证明:对任意x>0,^(x)成立？若存在，求如的取值范围；若不存在，请说明理由.2012年高考上海卷二解答题19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄ABCD,E是PC的中点、.已知AB=2,AD=2近,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.\n19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数/(%)=lg(+lx_).(1)若0v/(1-2兀)一/(尢)v1,求x的取值范围；(2)若g(0是以2为周期的偶函数，且当02,且{-1,1,2,%}具有性质P,求兀的值;(2)若X具有性质P,求证：lwX,且当兀>1时，%!=1；(3)若X具有性质P,且兀］=1、x2=q(g为常数)，求有穷数列xl9x2,••-9xn的通项公式.\n北京卷答案15解(1)：sinxH0o兀Hk7r(keZ)得：函数/(%)的定义域为{xxkn,keZ}”、(sinx-cosx)sin2x,・、sinxj(X)=；=(sinx一cosx)x2cosx=sin2兀一(1+cos2x)=>/2sin(2x-—)-14得：/（兀）的最小正周期为T=^=7T;(2)函数y=sinx的单调递增区间为［2^--,2^+-］伙wZ)TTTTTTTTiTC则2k/r--<2x一一W2k"—0k7i一一'-2x/3z=0-2x-y=0An=(-l,2,>/3)又•・•M(-l,0,V3)cos8=CM•n\CM\'\n\1+3V1+4+3-V1+3z=Tyy42-2^2-2c(0,0,0)A】(0,0,2#)o9ociAE(22,0)yB(0,3,0)・•・CM与平面所成角的大小45。。(3)设线段BC上存在点P,设P点坐标为(()，a,0),则底[0,3]贝IJ乔=(0,a,-2的)，PP=(2,a,0)设平面A|£)P法向量为q=(召，廿，zj则|^,-2V3zI=0[2x{+ay\=0假设平面A.DP与平面A&E垂直,贝I」q・n=0,•：3a+12+3a=0,6a=-12,a=-2V0<^/<3,•••不存在线段BC上存在点儿使平面\DP与平面4/E垂直。17解：(1)rh题意可知:400_2600_3O(2)rh题意可知:200+60+40_3—1666ioQ\n(2)由题意可知：?=|(tz①若*冷即虑2时，最大值为“⑴刊气+/>2+c2-120000),因此有当g=600,Z?=0,c=0吋，有“=80000・18解：(1)由(1,c)为公共切点可得：f(x)=ax2+1(°>0),则fXx)=2cix,k、贝ijf\x)=3x2+Z?,k2=3+/?t2a=3^h又/(1)=g+1，g(l)=l+/儿\n即心“代入①式可得：(2)*.*a2=4b,・••设/心)=/'(x)+g(兀)=+ox?+丄/兀+]4则h\x)=3x2+lax+»令//(x)=0,解得：西=一彳•••原函数在—OO9G、2>单调递增，在冷专单调递减，在,/\,+OO16丿上单调递增②若拧<一1<_彳，即256时,最大值为力1③若-1>--吋，即吋，最大值为力6a~2综上所述:圧(=1•g(0,2］时，最大值为/?(1)=a；当g(2,+oo)时，最大值为力-省4\‘兀2v219解：(1)原曲线方程可化简得：三_+£—=1OO5-/nin-288>5-mm-2由题意可得：」一>0,解得：--2由韦达定理得：心+心=2；：i①,兀小=2；：i，②设Ng,kxN+4),M(xm,kxM+4),G(xg,1)MB方程为：)=竺±兀一23r则G亠1gw+6欲证A,G,N三点共线，只需证AG,共线3Y即—T~^(兀亦+2)=一心成立，化简得：(3k+k)xMxN=-6(xw+xN)xMR+6将①②代入易知等式成立，则A,G,N三点共线得证。(IbyIfx)20解：(1)由题意可知z;(A)=1.2,込(A)=—1.2,c,(A)=l.l,c2(A)=0.7,q(A)=-1.8・•・紅A)=0.7(2)先用反证法证明k(A)Wl：若R(A)>1贝!||q(A)冃a+11=a+1>1,・*•a>0同理可知b>0,•*.a+b>0由题目所有数和为0即a+b+c=-1・：c=-\-a-b<-\与题目条件矛盾・•・紅A)W1.易知当a=b=0时，代(A)=l存在・•・£(A)的最大值为1(3)P(A)的最大值为2/+1t+22f+1首先构造满足心)“7+2的A={A.y}(z=l,2,j=l,2,...,2r+l)：\nr+r+l々+2)经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且2/+1W(A)冃以A)匸忌，>1+1±1>2£±1f+2f+22121(A)1=1C2(A)|=...=\ct(A)\=1+：：号*V十/丿IG+i(A)|=|%(A)l=-=k2/+i(A)|=1+t-l7+22r+l/+2下面证明笔是最大值•若不然，则存在-个数表牡S(2,2小)，使得心)二2/+1二兀〉./+2由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x,而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2,故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间［兀,2］中.由于兀>1,故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x-1.设A中有g列的列和为正，有力列的列和为负，由对称性不妨设g<力，则gr+l.另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A的第一行，由前面结论知A的笫一行有不超过f个正数和不少于/+1个负数，每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于x-1(即每个负数均不超过1-兀).因此|斤(A)|=斤(A)Sr•1+(7+1)(1—兀)=2(+1—(r+l)x=兀+(2r+1—(r+2)兀)s/九由正弦定理知』^二半厂sinHsinA从jTljsinftcosA=3sinAcosB,乂因为0<4+B0,cosB>0,所以tan/?=3tanA.(2)因为cosC=^-900,故tan.4=1,所以A=-^-.\n16.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)因为ABC-A.H.C.是直三棱柱，所以CG丄平面伽C,又/1DU平面ABC,所以CC、丄"・乂因为/1D丄必:，CCt,以;U平面BCC\B、，CC\CDE=E,所以AD1平面〃CC|d•乂"U平面所以平面/IDE丄平面BCC、B\・(2)因为/!厶"C为B、C\的中点，所以人F丄EG因为CC,丄平面儿伤G，且A.FC平面儿仏G，所以CC、丄Af.乂因为cc,,bgu平面bcch,cc、ewe二G,所以人/丄平面BCC\B\・由(1)知/ID丄平面BCC",所以A.F//AD.乂ADC平面ADE,面ADE,所以儿F〃平面初広c,EC17.本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力•满分14分.證=10,当且仅当A-1时取等号.解：(1)令y二0,得1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知兀>0,力>0,所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标O存在*>0.使3.2-ka-^A1+A*2)a2成立O关于k的方程(/叹2-2(皿+『+64二0有正根o判别式△二(-20°)2-4/(°2+64)M0<=>dW6.\n所以当a不超过6(千米)时,可击中目标.16.本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题的能力•满分16分.解：(1)由题设知/'(兀)二3x2+2ax+6,且厂(-1)二3-2"+厶二0,/'(1)二3+2a+6=0,解得a=0,6=-3・(2)由(1)知/(x)=x3-3x.因为/(%)+2=(%-1)2(x+2),所以g'(x)=()的根为x1=x2=1,^=-2,于是函数g(兀)的极值点只可能是1或-2.当x-2时，g©)<0；当-20,故-2是g(e)的极值点.当-2】时，g'(x)>0,故1不是g(兀)的极值点.所以g(小的极值点为-2.(3)令/(%)=£,则/?(x)=/(/)-0,/(1)-0,于是/(尤)是单调增函数，从而/(x)V(2)=2,此时/(x)=(I无女根.同理./(咒)二d在(-8,-2)_L无实根.②当算丘(1,2)时，厂(化)>0,于是/(兀)是单调增函数,乂/(1)-(),/(1)-6/<0,的图象不间断，所以/(%)=d在(-1,1)内有唯一实根•由上可知:当1/1=2时,/(x)=J有两个不同的根xl,x2满足IxjI=1,lx21=2；当\d\<2时,/(%)=d有三个不同的根衍，兀°,%5满足lx.I<2,i=3,4,5.现考虑函数y=//(x)的零点.⑴当Icl二2时，/(/)’有两个根巧,.满足匕丨二1,1(二2,而/(兀)"有三个不同的根,/(兀)二t2有两个不同的兹,故y=h(x)有5个零点.(ii)当lcl<2时，/(t)=c有三个不同的根⑺心,S满足叩<2,23,4,5,而/(兀)二―(心3,4,5)有三个不同的根,故尸/心)有9个零点.综上可知，当lcl=2时，函数y=/r(x)有5个宏点；当lcl<2时，函数y=h(x)有9个零点.19.本小题主要考查椭的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力•满分16分.解：(丨)由题设知a2=b2+c2,e=—.由点(1,e)在椭圆上,a得-yH—yry=1,解得i2=1,于是c2=a2-\,aab'又点}，孕)在椭圆上，所以务诘i，即呼+寺=1，解得宀2・a4因此，所求椭圆的方程是¥+)41・(2)由⑴知儿(-1,0),尸2(1,0),又宜线們与亦2平行,所以可设直线A儿的方程为x+1=my,直线BF2的方程为x-1=my.设,彳3,y{),B(x2,y2)，)'\>()，旳>°・\n由|2+，一J得（赤+2）了]2_2砒]-1=0,解得）•]="+?乌+",]〃广+2v%i+1=my）故丿农+i产G=o尸二丿面了+尹二旦凹2嘻互】・zr?*+2同理，Hb\=匹（〃/+1）-mJ〃r+1亦+2*⑴由①②得儿二也&李，解如窖I二瘵得〃42,注意到〃A0,m+2nr+2ZHim=a/2.所以宜线力儿的斜率为丄二苹.m2（ii）因为直线竹与处；平行，所以開二帶，于是寫巴二竺晋故P儿二“二昭・由B点在椭圆上知〃儿+〃佗=2厲，Ar|+orr/IFHF从而Ph=4^k（2^）-同理朋=而討2尿昭）.AFBE因此、少"伦二疋缶严一昵）+疋盘（2佢7）=2d纱匸叫\n乂由①②知af.・〃几二氓，・nr+2・曲+2所以P儿+〃产2后各二攀・因此，PF严PF?是定值.20.本小题主要考查等差数列和等比啧列聽本性质、基本不等式等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力.满分16分.5+亿5解：(1)由题设知"卄|=-="+172他丫七丿是以1为公差的等差数列.(2)因为«„>(),bpO,所以(%；»)Wa/+仇2<(叫+亿)2,从而1<5“二卡參(所以丛所以数列ijy=l(neNe),设等比数列|aj的公比为q,由J>0知q〉0・下证q二1・若q>l,则J二丄SrW迈$故当〃>(1cos3=/+X一戻2acsinc=Vr-1。环⑫时，(nq">迈,与(*)矛盾;°|若Ovgvl,则«)=—>a2>l,故当n>Iogf/—时，。小二⑷g"<1,与(*)矛盾.(la\综上，Jb2=ac=2,\n(18)(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2,红1红3,红1蓝1，红】蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝I，红3蓝2，蓝1蓝2•其屮两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为P嗚.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红］绿0,红2绿0,红3绿0,蓝I绿0,蓝2绿0,即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为户二(17)(1)设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知，COA.BD,又已知CE丄BD,所以BD丄平面OCE所以BD丄OE,即OE是的垂直平分线,所以BE=DE.(II)取AB中点N,连接MW,£W,TM是AE的中点，:・MN〃BE,VAABD是等边三角形，DN丄AB.由ZBCD=\20°知，ZCBD=30°,所以ZABC=60Q+30°=90°,即丄AB,所以ND//BC,所以平面MAQ〃平面BEC,故DM〃平面BEC.(20)(1)由已知得:5q+10d=105,纠+9〃=2(q+4d),解得q=7,6/=7,所以通项公式为aw=7+(n-l)-7=7n.(II)由atl=ln5x2+Smx+4m2-4=0,设P(召』|)卫(兀2』2)'8贝9x}+x2=__m,x}x2=54/n2一45-l+|J=64加$一20（4/w2一4）>0得一亦o,从而f\x)>0,当兀>1时k(x)<0,从而f\x)<0.综上可知，/(兀)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(l,+oo).(III)由(II)可知，当兀时,g(兀)=屮(兀)WOVl+r,故只需证明g(x)1,且g(x)>0,・*.^(x)=-一也上一<1-xlnx一兀.el设F(x)=l-xinx-x,xe(0,1),则F\x)=-(Inx+2),当xe(0,c~2)时，F\x)>0,当兀w(c-2,l)时，F\x)<0,所以当x=e"2时，F(x)取得最大值F(e~2)=1+/.所以g(x)0,^(x)CDPB=PA~PBCDPBPA~PB,即由(I)知，CD=(-4,2,Q\AP=(0,0,-/?),由PB=(4,0,—〃),故-16+0+02丿5・J16+X0+0+/12/2-V16+/22又梯形ABCD的面积为S==-x(5+3)x4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为2解得h8a/5"T"v4x5xpa4x16x¥=128^515\n【点评】木题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及儿何体体积计算.第一问只要证明P4丄CD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由V=1xSxP4算得体3积，或者建立空I'可直角坐标系，求得高几体积.19解(1)对任意个数A(n)?B(n),C(n)是等差数列,所以B(n)-A(n)=C(n)-B(n),即an+X-ai=色+2，亦即色+2一%=勺_绍=4.故数列｛色｝是首项为1，公差为4的等差数列.于是色=1+(z2-1)x4=4h-3・(II)(1)必要性：若数列｛色｝是公比为g的等比数列，则对任意hgN\有an-\=anq-由Q“>0知，A(ri),B(n),C(n)均大于0,于是B(〃)_a。+・・・+色+1_q©+勺+•••+%)_===4A(n)aA+E+・・・+色q+色+・・・+色C(”)_羽+心+…+匕"_9(為+偽+・・・+色+1)_=——g,B(n)a2+他+…+色+1a2+°3+・・・+°卄]所以三个数A(n),B(n\C(n)组成公比为q的等比数列.A(n)B(n)(2)充分性：若对于任意hgN\三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)=gA(〃),C(n)=qB(n),于是C(n)一B(n)=q[B(n)-A(n)],得an+2-a2=q(aH+｝-坷),即色+2一*“+i一吗・由n=1有5(1)=处⑴,即a2=qa｝,从而an+2-qan+x=0.因为色>0,所以监=「q,故数列｛色｝是首项为q,公比为g的等比数列，色+】4综上所述，数列｛色｝是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n^N*,三个数A(n),C(n)组成公比为q的等比数列.\n［点评］木题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等羌数列泄义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的左义及性质易得证.20解：(I)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为7；(兀)，筠(兀)，写(兀)，由题设有6xxkx200-(1+£)兀期中兀心200—(1+Qr均为1到200之间的正整数.(II)完成订单任务的时间为/⑴二max{7；(x)込(x),7；(x)},其定义域为x02时，T^x)>T2(x\由于k为正整数，故k>3,375T(X)=,0(兀)=max{T}(x),T(x)}易知7\x)为增函数，则50-x/(x)=max{7；(x),7；(x)}>max{7j(xXr(x)}(p(x)=max1000375x550-x•由于由函数7；(x),T(x)的单调性知，当地二竺-吋仅兀)取得最小值，解得x=—x50—兀11\n“400“亠“250250口“、37525036<<37,血°(36)=£(36)=>,69(37)=7(37)=>,1119111311250此时完成订单任务的最短时间大于」.11(3)当k<2时，T}(x)0,所以J(x_5)~+)/=x+5.化简得曲线G的方程为/=20"解法2：由题设知，曲线G上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线尢=-5的距离，因此，曲线G是以(5,0)为焦点，直线兀=-5为准线的抛物线，故其方程为/=20%.(II)当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为(-4,%),又y°H±3,则过P且与圆C?相切得直线的斜率£存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y-y0=k(x+4),即kx-y+y°+4k二0.于是|5£+北+4£|蔬+1一•整理得\n72疋+1计+£-9=0.设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为人,匕,则/，心是方程①的两个实根，故得_20y+20（%+4RJ=0.k}x-y^yQ+4代=0,y2=20%,设四点A,B,C,D的纵坐标分别为必，旳,为，儿，则是方程③的两个实根，所以20（儿+4匕）k\冋理可得20（九+4心）ki于是由②，④，⑤三式得)'』2力儿=40000+4/）00+4^）kxk2400+4(占+/：2)yo+16R&2-k、k]_400锐-泌+16铁]§伽汗2所以，当P在直线x=-4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到a,b,c,dpq点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22【解析】(I)若ovO,则对一切x>0,f\x)=eax-x<\,这与题设矛盾，又。工0,故a〉0.而fXx)=a严_1,令f\x)=0,得兀=丄In丄.aa当x<-ln丄时，/(x)<0,/(x)单调递减；当x>-ln丄时，单调递增,ciaaa故当x=-ln丄时,/(兀)取最小值/(-In-)=---ln-.aaaaaaa\n于是对一切XET?,/W>1恒成立，当且仅当In—>1.aaa令g(r)=r—/Inr,则g'(r)=-ln/.当Ov/vl时，g'(/)>O,g⑴单调递增；当r>l时，g'(/)vO,g(/)单调递减.故当『=1时，g⑴取最大值g(l)=l.因此，当且仅当丄=1即q=1时，①式成立.a综上所述，d的取值集合为{1}.(II)由题意知，k=/(Q-/(和严-严x2-X]令(p(x)=f\x)-k-aeax,则勺一坷0(西)=;7w"s丫"一ci{x2_兀])_1],0(兀2)=ea(X]~X2)-a(x}-x2)-l兀2-再匚_令F(t)=ef-t-\f则F\t)=ef-l.当/vO时，F\t)<0,F(t)单调递减；当/>0时，Fz(r)>0,F(t)单调递增.故当20,F(r)>F(0)=0,即R—r—1>0.从而严f)—a(x.—坷)—1>0,)_必西_兀2)—1>0,又——>0,——>0,所以(pg)<0,(p(x2)>0.因为函数丿=0(兀)在区间［西,吃］上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在如丘(石卫2)使0(兀°)=0,(p\x)=a2eax>0,(p(x)单调递增，故这样的c是唯一的，且1严_严I1p心2_严c=-ln-.故当且仅当xw(-In-，勺)吋，/'(%())>k.aa(x2_£)aa(x2-%))综上所述，存在兀w(壬,兀2)使f'(x">k成立.且兀0的収值范围为\n1q%-p凹(In,x2).(IbyIfx)aa(x2-x})一【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力,考查分类讨论思想、两数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导两数法求出/(兀)取最小值/(lln-)=---ln-.对一切xWR,f(x)»1恒成立转化为aaaaa/(x)inin>1,从而得出a的収值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.2012年上海卷答案\n2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的構神进行评分.2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半.如果有较严霍的槪念性错i吴，就不给分.解答4.arctan25.-160一、（第1题至第14题）1.l-2i6*7911.二D舄考（2012）数学（理）答案第顷（共6页）3二、（第15题至第18题）题号15161718代号BCAD三、（第19题至第23题）19.［解］⑴因为P4丄底面ABCD.所以PH丄CD,又/ID丄CD,所以CD丄平面PAD,从而C刀丄PD.……3分因为PD=,CD=2、所以三角形PCD的面积＞j-x2x2^=2V3・2\n上海市教育考试院保留版权\n(2)［解法一］如图所示，建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2>/2,0).£(1,V2,1)・J£=(1,V2,1),BC=(0,272,0)设疋与歹芒的夹角为&，则AEBC4\AE\\BC^2x2^1心.4由此知，异面盲线BC^jAE所成的角的大小是(解法二］取PB中点F,连接EF、AF,则EFHBC.从而乙4EF(或其补角)是异面肖•线BC与£E所成的角.……8分在ZL4EF中，由EF=近、AF二近、AE=2知2EF是等腰直角三角形，所以M专.D因此，异面胃•线BC^iAE所成的矩的人小是匹.412分20.［解］⑴由2-2x>0,x+1>09_2r2-2x由0vlg(2-2x)-lg(x+l)ig=~=~<1得1<_<10.XT1X+l因为x+l>0.所以x+1<2-2xvl0x+10.2121得一-<^•=—x,得P的纵坐标yp=3.由\Ap\=^l・得救援船速度的人小为J莎海里/时.77arctan—弧度.…30（2）设救援船的时速为卩海里，经过/小时追上失事船，此时位置为（7/,12/2）.由M=J⑺尸+（12八+12）2,10分整理得八144（八+*）+337.••…因为r2+4>2，当且仅当z=l时等号成立,所以v2>144x2^337=25\即山25・因此，救援船的时速至少是25海里才能追上匸！••…2（逅\22.［解］（1）双曲线C|:—y2=1»左顶点,4—,0j»渐近线方程：y=±V2x,\n所以所求三角形的面积为S=^\OA||y=$2o48'（2）设直线PQ的方程姥y二x+b・因肖线PQLj己知圆相切,故詈=1，即b2=2・y=x+b,、.,7,.得『-2bx-，-l=0・2x2-/=1\n设P（xi，yj、0（勺,乃），则X]+X]=2b、x}x2=-1-bl又y必二匕+卩也+厂，所以OPOQ=x}x2+yty2=2x}x2+&(x,+x2)+d2=2（-1-夕）+262+决=，一2=0・故OP丄00.（3）当直线ON垂W.T-X轴时，[0NH1,|0M|=斗，则0到直线MN的距离为干当貝线ON不垂賀丁r轴时.10分设宜线ON的方稈为y^kx（显然|切＞甞），则直线OM的方程为y=-丄X.k,x1=],由鳥气I得:广所以1°吩苦4x-+v=12k'4+kIV=.I千k'同理IMF】3分设0到頁线MV的距离为d.因为（|OM：2+1ON卩）沪=|OM|2|ONI2,所以=+d2|OMI2ION$3以+3TTT综上，O到直\（X的距离是定值.23.[解]⑴选战7=（x,2）,丫中与兀链直的元素必有形式（-!».所以x=2d,从而x=4.(2)证明:取N=(X],xJwY.设石=($,f)wY满足q・a2=0.16分2分4分由（$+/）X]=0得s+/=0,所以sj异号.因为~1是X叩唯一的负数.所以sjZ中一为-1，另一为1，故lwX.假设X,=1,其中1vk。，则0vX]<1v百.\n选取兀=(X|,x”)gF,并设a^=(5,z)er満足ax-a2=0,即5x,+rxn=0.则s,r异号，从而s,/之中恰有一个为-1.若s=-l,则x}=txn>t>x,,才盾：若『二一1,则Xn=5Xjl.因为&.I具有性质P，所以有瓦=（$/）•使得£・£=0,从而八和人中有一个是-1，不妨设S［=-l・假设皿心且则r,=・田（sj）・（一l,兀.J=0,得s=ixk^>x^,与seAk矛盾.所以f}eAk.从而心也具有性质P・……】5分现用数学归纳法证明：x;=<*./=l,2,---,n.当n=2时，结论显然成立；假设时，Ak={-l,l,x2,--,xA}有性质P,则x严q»…、k；当xE+1时，若二{-】,1,比，・・・，％汕}有性质P，则«={-1,1,勺,…內}也有性质P,所以&•严卜1,1,9,…,厂」“}・取N=（X2,Q），并设02=（叩）满足由此可得s=T或/二T・若r=-l,则%=1£q，不可能；s所以5=-1.=qt=qJ厂，所以兀屛二孑・综上所述，x,=7_，»i=1,2,•••,«.18分［解法二］设勾=（£/）,$=（$2山）・则可遇二。等价于九♦仝・hS2\n记八wX,忖>|小・则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.14分注意到-1是/中的唯一负数，80(-8,0)={-心，-xv…，-兀}共有—1个数，所以BA(0,+00)也只有巾-1个数.XXXX由于亠V亠v・・・v』V」，己有77-1个数，对以下三角数阵和兀.2^2召Xn二X”二：£二X”X“|百・2勺召X/»・iux”・i严亡£.|‘‘■<・「v•••<・■—£.2£.3人>x2从而数列的通项为……18分注意到玉＞电＞・・・＞丑，所以△-二玉±=…二巴X]石州X”“£.2斗(、上-Ixk=Xj—-qk'\k=1,2,-・・，n\x\)