高考数学复习点拨 解剖高考对导数的考查要求 3页

解剖高考对导数的考查要求高考对导数的考查要求是：①了解导数的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导数的概念；②熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；③理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．考点1考查导函数与原函数图象间关系例1.已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是(）O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD（）（）（）（）解析：由图象可知：在上小于等于零，故原函数在上为减函数，故选C．评注：函数图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点2考查导数的几何意义例2.曲线在点处的切线方程是．解析：设切线的斜率为，因为，故．所以所求的切线的点斜式方程为：，化简得：．评注：导数的几何意义是曲线数在某点处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到．考点3考查导数的定义的应用例3.已知,为正整数，设，证明．证明：因为：，所以\n．评注：此题考查导数概念性质的直接应用．导数的定义为：设函数在点处及其附近有定义，并且在该点函数增量与自变量增量的比值，当的极限存在，则称此极限为函数在点处的导数，即．考点4考查利用导数判断函数的单调性例4.已知向量，若函数在区间上是增函数，求t的取值范围．解析：依向量数量积的定义：故：，若在上是增函数，则在上可设．的图象是开口向下的抛物线，由根的分布原理可知：当且仅当，且，上满足，即在上是增函数．综上所述的取值范围是．评注：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系和数形结合思想的应用．判断的法则是：设在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数，反之亦然．考点5考查导数在函数极点处的性质例5.已知，讨论函数的极值点的个数．解析：令=0得．（1）当即<0或>4时有两个不同的实根,，不妨设<，则、，易判断在和两侧的符号都相反，即此时有两个极值点．（2）当△=0即=0或=4时，方程有两个相同的实根，于是，故在的两侧均有>0，因此无极值．\n（3）当△<0即0<<4时无实数根，即，故为增函数，此时无极值．综上所述：当无极值点．评注：此题考查的是可导函数在某点取得极值的充要条件，即设在某个区间内可导,函数在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且在该点两侧的导数值异号.考点6考查导数的实际应用例6.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?解析：设容器的高为，容器的体积为，则，．化简得：，∵，令可得：，（舍）．∵当时，，时，．所以当时，有极大值.又，，所以当时，V有最大值．评注：在解决导数与数学建模问题时，首先要注意自变量的取值范围，即考察问题的实际意义．在应用问题的设计上，高考多设置为单峰函数，以降低要求．