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- 2022-07-22 发布
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课时作业(六十三)一、选择题1．ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件答案 B解析 当ab≥0，a0的解集是( )A．{x|0≤x<1}B．{x|x<0且x≠－1}C．{x|－13B．－33答案 D解析 解法一 2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m－2)(|m|－3)>0，所以，或解得m>3或0≤m<2或－3|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．答案 (1,3)解析 ∵|x＋|≥2，∴|a－2|＋1<2，即|a－2|<1，解得10时，由基本不等式可知a＋≥4，所以只有a＝2时成立，所以实数a的取值范围为{a∈R|a<0或a＝2}．三、解答题8．设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明 ∵f(x)＝x2－x＋1，∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|，∵|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．9．(09·海南、宁夏理)如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．(Ⅰ)将y表示为x的函数；(Ⅱ)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解析 (Ⅰ)y＝4|x－10|＋6|x－0≤x≤30.(Ⅱ)依题意，x满足解不等式组，其解集为[9,23]．所以x∈[9,23]．10．已知函数f(x)＝，设a，b∈R，且a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.证明 解法一 |f(a)－f(b)|<|a－b|⇐|－|<|a－b|⇐(－)2<(a－b)2⇐2＋a2＋b2－2－1时，式①⇐(1＋ab)2<(1＋a2)(1＋b2)⇐2ab1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.不等式组的解集为[，＋∞)．综上得，f(x)≥3的解集为(－∞，－]∪[，＋∞)．(Ⅱ)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件，若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a.若a>1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.所以∀x∈R，f(x)≥2的充分条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
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