高考数学大一轮复习 高考专题突破三 高考中的数列问题 文 新人教版 13页

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2018版高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题文新人教版1．(2017·广州质检)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为(　　)A.B．4C．2D.答案　C解析　设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴＝＝－，∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则S2016等于(　　)A．22016－1B．3×21008－3C．3×21008－1D．3×22016－2答案　B解析　依题意得an·an＋1＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，于是有＝2，政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线即＝2，数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2n，…是以a2＝2为首项，2为公比的等比数列，于是有S2016＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2016)＝＋＝3×21008－3，故选B.4．(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.答案　－解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.5．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若10，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.解　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝2，解得q＝，所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．思维升华　等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．　在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，证明：数列{bn}为等比数列；(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.(1)解　设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由a10＝30，a20＝50，得方程组政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线解得所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)证明　由(1)，得bn＝＝22n＋10－10＝22n＝4n，所以＝＝4.所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列．(3)解　由nbn＝n×4n，得Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，①4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，②①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1.所以Tn＝.题型二　数列的通项与求和例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)证明　∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)解　由(1)可知cn＝(－)·()n－1＝－()n，∴an＝cn＋1＝1－()n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－()n－[1－()n－1]政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线＝()n－1－()n＝()n.又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝()n.思维升华　(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等．　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.(1)证明：数列{}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.(1)证明　∵a1＝，an＋1＝an，当n∈N*时，≠0.又＝，∶＝(n∈N*)为常数，∴{}是以为首项，为公比的等比数列．(2)解　由{}是以为首项，为公比的等比数列，得＝·()n－1，∴an＝n·()n.∴Sn＝1·＋2·()2＋3·()3＋…＋n·()n，Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋(n－1)()n＋n·()n＋1，∴Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n·()n＋1＝－n·()n＋1，∴Sn＝2－()n－1－n·()n＝2－(n＋2)·()n.政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n.题型三　数列与其他知识的交汇命题点1　数列与函数的交汇例3　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，∴a＝，则f(x)＝x2＋2nx，n∈N*.数列{an}满足＝f′，又f′(x)＝x＋2n，∴＝＋2n，∴－＝2n，由叠加法可得－＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，化简可得an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝4也符合，∴an＝(n∈N*)．(2)∵bn＝＝＝2，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝2＝2＝.政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线命题点2　数列与不等式的交汇例4　数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.(1)解　由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝a1·2n－1＝2n－1.∴Sn＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)证明　∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，∴cn＝＝＝(－)，∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.∵n∈N*，∴Tn＝(1－)<，当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝>0，∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.综上所述，≤Tn<.命题点3　数列应用题例5　(2016·长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线的值(用m表示)．解　(1)由题意，得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d，…an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.(2)由(1)，得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d＝()2an－2－d－d＝…＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－2]整理，得an＝()n－1(3000－d)－2d[()n－1－1]＝()n－1(3000－3d)＋2d.由题意，得am＝4000，即()m－1(3000－3d)＋2d＝4000.解得d＝＝.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．思维升华　数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较．(3)数列应用题①根据题意，确定数列模型；②准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义．　设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝.(2)证明　由题设和(1)中的计算结果知Tn＝xx…x＝()2()2…()2.当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝()2＝>＝＝，所以Tn>()2×××…×＝.综上可得，对任意n∈N*，均有Tn≥.1．(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．解　(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线由得∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋＝2×－n＋＝n2＋.即数列{cn}的前n项和为n2＋.2．(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意有解得所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1.政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线(1)证明：数列{}是等差数列；(2)若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对∀n∈N*恒成立，求λ的取值范围．(1)证明　当n＝1时，S1＝2a1－22，得a1＝4.Sn＝2an－2n＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减，得an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n，所以－＝－＝＋1－＝1.又＝2，所以数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)解　由(1)，知＝n＋1，即an＝(n＋1)·2n.因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an等价于5－λ>，记bn＝，当n≥2时，＝＝，当n＝2时，>1，即b3>b2，又b1＝－<0，所以b3>b2>b1；当n≥3时，<1，所以b3>b4>b5>…>bn，所以(bn)max＝b3＝，所以λ<.4．已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.解　(1)∵点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列．政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，两式相减，得bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，∴bn＝()n－1.(2)log2bn＋1＝log2()n＝－n，∴cn＝＝－，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.5．(2015·山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)设数列{an}的公差为d，令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.①令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.②由①②解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.经检验，符合题意．(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。\n“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线所以Tn＝×4n＋1＋＝.政德才能立得稳、立得牢。要深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想特别是习近平总书记关于“立政德”的重要论述，深刻认识新时代立政德的重要性和紧迫性。