全国卷数学高考分析与2018高考预测：全国ⅰ卷理科数学2011-2017年高考分析与2018高考预测 72页

2011-2017年新课标全国Ⅰ卷理科数学高考分析及2018年高考预测话说天下大势，合久必分，分久必合，中国高考也是如此．2000年，教育部决定实施分省命题．十多年后，由分到合．2017年，除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行自主命题外（山东省语文、数学卷最后一年使用），大陆其他省区全部使用全国卷．研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近7年全国高考理科数学Ⅰ卷和高考数学考试说明，精心分类汇总了全国卷近7年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共21类）列于表格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看．一、集合与简易逻辑1.集合：7年5考，都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大．年份题目答案2017年（1）已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则A．B．C．D．A2016年（1）设集合，，则（A）（B）（C）（D）D2014年（1）已知集合A={|}，B=，则=.[-2,-1].[-1,2）.[-1,1].[1,2）A2013年（1）已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|｝，则A、A∩B=ÆB、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B　B　　　　　　　2012年（1）已知集合,则中所含元素的个数为　D2.简易逻辑：\n7年1考（2017年在复数题中涉及真命题这个概念），只有2015年考了一个全称与特称命题的转化．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂．年份题目答案2015年（3）设命题P：nN，>，则P为（A）nN,>（B）nN,≤（C）nN,≤（D）nN,=C二、复数：7年7考，每年1题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．年份题目答案2017年（3）设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A．B．C．D．B2016年（2）设，其中是实数，则（A）1（B）（C）（D）2B2015年(1)设复数z满足，则|z|=（A）1（B）（C）（D）2A2014年2.=....D2013年2、若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为A、－4（B）（C）4（D）D\n2012年（3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为的共轭复数为的虚部为C2011年(1)复数的共轭复数是（A）（B）（C）（D）C三、平面向量：7年7考，每年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较）．我认为这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明．年份题目答案2017年（13）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=________．2016年(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则.-22015年（7）设D为所在平面内一点，，则（A）　B）（C）　（D）A2014年15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为.2013年13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.22012年13、已知向量夹角为，且；则2011年（10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中的真命题是A\n（A）（B）（C）（D）四、线性规划：7年7考，每年1题，全国卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．我觉得这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，我觉得难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，或者利用一些含有几何意义的目标函数（斜率、距离等），如2015年新课标15题．(还有近年线性规划应用题较少考查，是否再考？这是我写5年高考分析时的预测，果然2016年考了线性规划应用题，2017年不会再考了吧？果然没考，考了个最基本的)．年份题目答案2017年（14）设满足约束条件，则的最小值为________．-52016年（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．2160002015年（15）若x,y满足约束条件则的最大值为.32014年9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：：，：,：，：.其中真命题是.，.，.，.，C2012年(14)设满足约束条件：；则的取值范围为\n2011年（13）若变量满足约束条件则的最小值为．-6五、三角函数：7年13考，每年至少1题，当考3个小题时，当年就不再考三角大题了．题目难度较小，主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013年15题对化简要求较高，难度较大．2016年的考法也是比较难的，所以当了压轴题．年份题目答案2017年（9）已知曲线，则下面结论正确的是A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D2016年(12)已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（A）11    （B）9   （C）7     （D）5B2015年（2）（A）（B）（C）（D）D\n2015年（8）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（A）（B）（C）（D）D2015年（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.，2014年6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为B2014年8.设，，且，则....B2014年16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为.\n2013年15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______2012年（9）已知，函数在上单调递减．则的取值范围是（）A2011年（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A）（B）（C）（D）B2011年1.设函数的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减（B）在单调递减 （C）在单调递增（D）在单调递增A2011年（16）在中，，则的最大值为．六、立体几何:7年13考，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型？有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．但是异面直线所成的角是否可以考（对2016年预测）年年考三视图，是否也太稳定了吧？球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点．（果然2016年11题考了线线角，虽然没有提到异面直线，但是在发展空间想象能力和解题思路上与异面直线完全相同）年份题目答案2017年（7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16B\n2017年（16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______．2016年（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28πA2016年(11)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)A2015年（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A.14斛B.22斛C.36斛　D.66斛B2015年（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=(A)　　1(B)　2(C)　4(D)　8B2014年12.如图，网格纸上小正方形的边长为1C\n，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为...6.42013年6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A、cm3B、cm3C、cm3D、cm3A2013年8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为....A2012年（7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）B2012年（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）A\n2011年（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为D2011年（15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为.七、推理证明：7年1考，实在是个冷点，而且这1考也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号，虽然这个信号在2015年并没有连续出现．2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市是最喜欢考类比推理的，上海市2000年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题．这类题目不会考察“理论概念”问题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不大．适当出一道“类比推理”的小题是值得期待的．另外，2017年在全国2卷数学理科出了推理题，也列在下表中．年份题目答案2017全国2理科（7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D2014年（13）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．A八、概率：7年6考，2013年没考小题，但是在大题中考了．主要考古典概型和相互独立事件的概率．条件概率、几何概型没有考过．是不是该考了？（当时写5年分析时的预测）果然在2016年考了几何概型，而且在全国II中考了条件概率.年份题目答案2017年（2）如图，正方形ABCDB\n内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．B．C．D．2016年（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）B2015年（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312A2014年(5).4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率....D2012年（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2011年（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）（B）（C）（D）A九、统计：7年1考，只在2013年考了一个抽样方法小题．这个考点内容实在太多：频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验、正态分布（文科不学）等．统计知识理科考的不多，文科较多．2013年3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A、简单随机抽样　　B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样　　D、系统抽样C十、数列：全国\nⅠ理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题，不考解答题时，就考两个小题，下表中列出了2013年和2012年的数列小题，其它三年没有考小题，而是考的大题．交错考法不一定分奇数年或偶数年．难度上看，一般会有一个比较难的的小题，如2013年的12题，2012年16题，2017年12题，它们都是压轴题．年份题目答案2017年4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．8C2017年12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A．440B．330C．220D．110A2016年（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100（B）99（C）98（D）97C2016年（15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．642013年（7）设等差数列{an}的前n项和为Sn，＝－2，＝0，＝3，则＝A、3B、4C、5D、6C2013年（12）设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则()A、{Sn}为递减数列　　　　　　B、B、{Sn}为递增数列C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列B2013年14、若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______.2012年（5）已知为等比数列，，，则（）D2012年（16）数列满足，则的前项和为1830\n十一、框图：7年7考,每年1题!考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多，难度不大.2017年（8）右面程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．和B．和C．和D．和D2016年C2015年（9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（A）5（B）6（C）7（D）8C\n2014年7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=....D2013年5、运行如下程序框图，如果输入的，则输出s属于.[-3,4].[-5,2].[-4,3].[-2,5]A2012年（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（）为的和为的算术平均数和分别是中最大的数和最小的数和分别是中最小的数和最大的数C2011年（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（A）120（B）720（C）1440B　\n（D）5040十二、圆锥曲线：7年14考，每年2题！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一．年份题目答案2017年（10）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于A、B两点，直线与交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．10A2017年（15）已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若，则的离心率为________．2016年（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3)（B）(–1,)（C）(0,3)（D）(0,)A2016年(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知，，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8BB2015年（5）已知是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若，则y0的取值范围是（A）（B）（C）（D）A2015年（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴上，则该圆的标准方程为\n2014年4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为..3..A2014年10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=...3.2C2013年4、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为....C2013年10、已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A、B、C、D、D2012年（4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为C2012年（8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）C2011年（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A）（B）（C）2（D）3B\n2011年（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为．十三、函数：7年15考，可见其重要性！主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得学生“恐惧”的了吧？年份题目答案2017年5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是A．B．C．D．D2017年11．设为正数，且，则A．B．C．D．D2016年D2016年（8）若，，则（A）（B）（C）（D）C2015年12.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（A）　　　（B）（C）　　　（D）D\n2015年（13）若函数为偶函数，则.12014年3.设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是.是偶函数.||是奇函数.||是奇函数.||是奇函数C2014年11.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为.（2，+∞）.（-∞，-2）.（1，+∞）.（-∞，-1）B2013年11、已知函数=，若||≥，则的取值范围是...[-2,1].[-2,0]D2013年16、若函数=的图象关于直线=－2对称，则的最大值是______.162012年（10）已知函数；则的图象大致为B2012年（12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为B2011年（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是B\n（A）(B)（C）(D)2011年（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A）（B）4（C）（D）6C2011年(12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （A）2(B)4(C)6(D)8B十四、排列组合二项式定理：7年7考，二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查．排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多.年份题目答案2017年（6）展开式中的系数为A．15B．20C．30D．35C2016年(14)的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）102015年（10）（的展开式中，的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60C2014年13.的展开式中的系数为.(用数字填写答案)-202013年9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则A、5B、6C、7D、8B2012年（2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有种种种种A\n2011年（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A）-40（B）-20（C）20（D）40D十五、三角函数大题和数列大题：在全国Ⅰ卷中每年只考一个，不考的那一个一般用两道或三道小题代替．三角函数大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．年份题目及答案2017年（17）（本题满分为12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.解：（1）由题意可得，化简可得，根据正弦定理化简可得：．（2）由，又，所以由余弦定理得所以\n故而三角形的周长为2016年（17）（本题满分为12分）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知（I）求；（II）若的面积为，求的周长．解：(I)由正弦定理得：，…………1分，…………2分∵，，∴，…………3分∴，，…………4分∵，…………5分∴.…………6分（II）由余弦定理得：，，，…………8分又，∴，…………10分∴，，∴周长为.…………12分2015年（17）（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式；\n（Ⅱ）设,求数列的前项和．2014年17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.解：(Ⅰ)由题设，，两式相减，由于，所以……6分（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；证明时，{}为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，∴\n数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，∴∴（），因此，存在存在，使得{}为等差数列.………12分2013年17、（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA解：（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得==，∴PA=；（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，化简得，，∴=，∴=.2012年（17）（本小题满分12分）已知分别为三个内角的对边，（1）求（2）若，的面积为；求．解：（1）由正弦定理得：\n（2）解得：2011年（17）（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式.设求数列的前项和.解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．有条件可知a>0,故．由得，所以．故数列{an}的通项式为an=．（Ⅱ ）故所以数列的前n项和为.十六、立体几何大题：7年7考，每年1题．第1问多为证明垂直问题，第2问多为求三种角的某种三角函数值.特点：证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理．\n年份题目及答案2017年18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.（1）证明：,又,PA、PD都在平面PAD内，故而可得．又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD．（2）解：不妨设，以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系．故而可得各点坐标：，因此可得，假设平面的法向量，平面的法向量，故而可得，即，同理可得，即．因此法向量的夹角余弦值：．\n所以所求二面角的余弦值为．2016年（18）（本题满分为12分）如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．（I）证明平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值.(I)证明:∵为正方形，∴.…………1分∵，∴.…………2分又∵，∴面.…………3分又面，∴平面平面.…………4分（II）由⑴知…………5分∵平面平面∴平面\n平面∵面面∴∴∴四边形为等腰梯形…………6分以为原点，如图建立坐标系，设…………7分，，…………8分设面法向量为.，即…………9分设面法向量为.即…………10分设二面角的大小为.…………11分二面角的余弦值为…………12分2015年（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．\n（1）证明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．2014年19.(本小题满分12分)如图三棱柱中，侧面为菱形，.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）若，，AB=BC求二面角的余弦值.解：(Ⅰ)连结，交于O，连结AO．因为侧面为菱形，所以^，且O为与的中点．又，所以\n平面，故=又 ，故………6分（Ⅱ）因为且O为的中点，所以AO=CO= 又因为AB=BC=，所以，故OA⊥OB^，从而OA，OB，两两互相垂直． 以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-． 因为，所以为等边三角形．又AB=BC=，则，，，，设是平面的法向量，则，即，所以可取设是平面的法向量，则，同理可取，则，所以二面角的余弦值为.2013年18、（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解:（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，\n又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),……9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），∴=，∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.……12分2012年（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小．解:（1）在中，得：同理：得：面（2）面\n取的中点，过点作于点，连接，面面面得：点与点重合且是二面角的平面角设，则，既二面角的大小为.2011年(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．解：（Ⅰ）因为,由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,,,．设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则由得,因此可取设平面PBC的法向量为，\n同理得（0，-1，）,所以故二面角A-PB-C的余弦值为.十七、概率统计大题：7年7考，每年1题．第1问多为统计问题，第2问多为分布列、期望计算问题；特点：实际生活背景在加强．冷点：回归分析，独立性检验．但2015年课标全国Ⅰ已经非常灵活地考了回归分析，独立性检验在2010年课标卷考过，估计近年不会再考回归分析，可能会在求分布列上设计应用情景．有人说，理科的概率分布列应该属于创新行列．我不这么认为，概率与分布列不是追求创新，而是追求与实际的完美结合．概率不是新颖，而是力求联系实际，与实际问题相吻合．但苦于找不到合适的案例，所以有时会事与愿违，但命题人员的初衷却是如此，概率的初衷不是创新，而是应用，目标是贴近生活、背景公平、控制难度．年份题目及答案2017年（19）（本小题满分12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量服从正态分布，则，\n，．解：（1）由题可知尺寸落在之内的概率为，落在之外的概率为．，．由题可知，．（2）（i）尺寸落在之外的概率为，由正态分布知尺寸落在之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．（ii），需对当天的生产过程检查．因此剔除．剔除数据之后的估计值为：剩下样本数据的方差为所以的估计值为为2016年（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：\n以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？19．(I)由题意每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为，，，.…………1分两台机器甲乙需要同时购买的易损零件个数的情况可由下面的表格得到89101181617181991718192010181920211119202122所以…………2分且结合表格容易得…………7分所以的分布列为16171819202122…………8分（II）由分布列知，，所以的最小值为19.…………10分（III）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当时，费用的期望为当时，费用的期望为所以应选用…………12分\n2015年（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．46.65636.8289.81.61469108.8表中，.（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率与的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据，，…，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：\n2014年18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.\n(i)利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.附：≈12.2.若～，则=0.6826，=0.9544.解：(Ⅰ)抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为…………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知～，从而………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知，所以………12分2013年19、（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)\n＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝.(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.所以X的分布列为X400500800PEX＝＝506.25.2012年18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．解：（1）当时，，当时，，得：（2）（i）可取，，的分布列为\n（ii）购进17枝时，当天的利润为得：应购进17枝.2011年（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）解：（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为\n，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列为X-224P0.040.540.42所以X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68十八、函数与导数大题：函数与导数大题6年6考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意义，第2问考查利用导数讨论函数性质．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！（2014年全国Ⅰ卷）．全国Ⅰ卷第2问：2015年讨论函数零点，2014年证明不等式，2013年、2012年、2011年都是不等式恒成立问题．但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且紧紧围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．导数题强调用，用就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性与极值．主要包括：导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值、用导数解决不等式问题、恒成立问题、分离参数以及式子的变形与调整、构造函数等等．在命题的载体上，即使用何种函数上，命题者的\n函数是如何构造出来的？首先确定是多项式函数、还是指对函数、分式函数、根式函数，指对函数是单独的指数函数、对数函数，还是指对函数组合在一起，一个省份往往是指数函数、对数函数交替出现．在很大程度上是先有的导函数，再有是原函数．再把原函数适当调整，这样就出现了式子的调整与变形．调整变形是最难的一个环节！！分离参数是从方法的需要，式子的调整是在原函数的基础上适当变形所致.2016年的函数载体和2013年的函数载体相同，都是一次函数与指数函数的积与一个二次函数的积，它们的导数有相同的结构，我在考前曾经改变了一个导数为的题目，和高考题的导数完全类似.想不到2017年继续延续了2016的考法：两个因式都含有，且都含有参数，2018年是不是要考了？比如编一个导数为或导数数为.值得一提的是2017年（作为山东卷的关门题，还是给下一步的导数命题提供了一个新的思路，留下了一些回忆）山东的考法，学习了2016全国的考法，却比全国卷更上一层，这个导数为.总之，导数题命题关键是如何构造一个导数，使这个导数的讨论层次体现选拔性，达到压轴的目的．年份题目及答案2017年（21）（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．解：（1）由于故当时，，．从而恒成立．在上单调递减当时，令，从而，得．单调减极小值单调增综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增（2）由（1）知，当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件．\n当时，．令．令，则．从而在上单调增，而．故当时，．当时．当时若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件．若，则，故仅有一个实根，不满足条件．若，则，注意到．．故在上有一个实根，而又．且．故在上有一个实根．又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根．又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根．综上，．2016年（21）（本小题满分12分）已知函数有两个零点.(I)求的取值范围；(II)设是的两个零点，证明：.21．(I)解:因为所以\n①若，那么，只有唯一的零点，不合题意；②若，那么，所以当时，，单调递增当时，，单调递减即：极小值故在上至多一个零点，在上至多一个零点由于，，则，根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点，从而在上只有一个零点.而当时，考虑其中，(罗比达法则,高等数学内容)当时，，所以，所以在上只有一个零点.③若，由得或1）当即时，，单调递增，至多一个零点，不合题意.2）当即时，注意到时，总有，只研究时当时，，单调递增，至多一个零点，不合题意.3）当即时，仍然是注意到时，总有，只研究时\n而当时，由负变正，先减后增，至多一个零点，不合题意.综上所述，的取值范围为．（II）证法一：不妨设，由（1）知，，，而在上单调递减，所以，注意到，因此只要证.而，，所以考虑函数，其中，则，所以单调递减，所以，从而，所以.证法二：由已知得：，不难发现，，故可整理得：设，则那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．设，构造代数式：设，\n则，故单调递增，有．因此，对于任意的，．由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有令，则有而，，在上单调递增，因此：整理得：．2015年（21）（本小题满分12分）已知函数．(Ⅰ)当为何值时，轴为曲线的切线；（Ⅱ）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．解：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.……5分（Ⅱ）当时，，从而，∴在（1，+∞）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，\n,故=1不是的零点.当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.……12分2014年21.(本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为.(Ⅰ)求；（Ⅱ）证明：.解：(Ⅰ)函数的定义域为，由题意可得()，故……………6分\n（Ⅱ）由(Ⅰ)知，(，从而等价于设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递减，在()单调递增，从而()在()¥的最小值为(.……………8分设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递增，在()单调递减，从而()在()¥的最小值为(.综上：当时，，即.……………12分2013年（21）（本小题满分共12分）已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线（Ⅰ）求，，，的值（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设函数==（），==，有题设可得≥0，即，\n令=0得，=，=－2，（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(2)若，则=，∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(3)若，则==＜0，∴当≥－2时，≤不可能恒成立，综上所述，的取值范围为[1,].2012年（21）（本小题满分12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值．解：（1）令得：得：在上单调递增得：的解析式为\n且单调递增区间为，单调递减区间为（2）得①当时，在上单调递增时，与矛盾②当时，得：当时，令；则当时，当时，的最大值为2011年（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围．（21）解：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，．\n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．考虑函数，则．(i)设，由知，当时，．而，故当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设00,故h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．（iii）设k1.此时h’（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（-，0]十九、解析几何大题：7年7考，每年1题．特点：全国Ⅰ卷中，载体用过圆、抛物线和椭圆！不侧重两类圆锥曲线的整合，只侧重于直线与圆锥曲线的联系．圆锥曲线一定过方法关、运算关．其实近几年的圆锥曲线题目更侧重于运算．方法还是比较常规的．为什么这样呢？这与命题人的苦衷有关系，因为圆锥曲线是压轴题，压轴题不能简单，简单了肯定不行．但太难、或是思维量太大又怕把很多人拒之门外，所以又不敢出思维量太大的题目，最后就只剩下运算了，谁有能耐谁就能算出来，没有能耐就算不出来，但不能说题目难．年份题目及答案2017年20.（12分）已知椭圆：，四点，，，\n中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．解：（1）根据椭圆对称性，必过、又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点将代入椭圆方程得，解得，∴椭圆的方程为：．（2）当斜率不存在时，设得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意．当斜率存在时，设联立，整理得则，此时，存在使得成立．∴直线的方程为，即当，时，上式恒成立，所以过定点．（2）的解法2：由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，\n不妨设直线P2A为：,P2B为：.联立，假设，此时可得：，此时可求得直线的斜率为：，化简可得，此时满足．当时，AB两点重合，不合题意．当时，直线方程为：，即，当时，，因此直线恒过定点．2016年(20)（本小题满分12分）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.(I)圆A整理为，\nA坐标，…………1分如图，，则，…………2分由，则…………3分所以由椭圆的定义得E的轨迹为方程为，().…………4分（II）由题意，设，……5分因为，设，…………6分联立得，…………7分所以；…8分圆心到距离，…………9分所以，…………10分…………11分因为，所以，所以，所以，所以，所以所以四边形MPNQ面积的取值范围是…………12分\n2015年（20）（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线C：与直线交与两点，（Ⅰ）当时，分别求C在点和处的切线方程；（Ⅱ）轴上是否存在点P，使得当变动时，总有？说明理由．解：（Ⅰ）由题设可得，，或，.∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.……5分（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.∴.∴==.当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.……12分2014年20.(本小题满分12分)已知点（0，-2），椭圆：\n的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.解：(Ⅰ)设()，由条件知，得=又，所以a=2=，,故的方程.……….6分（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设将代入，得，当，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为：或.…………………12分2013年(20)(本小题满分12分)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，\n与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为（，），半径为R.（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.∴当圆P的半径最长时，其方程为，当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，综上，|AB|=或|AB|=.2012年（20）（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；\n（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．解：（1）由对称性知：是等腰直角，斜边点到准线的距离圆的方程为（2）由对称性设，则点关于点对称得：得：，直线切点直线坐标原点到距离的比值为．2011年（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，MA•AB=MB•BA，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由题意得知（+）• =0,\n即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x，因此直线的方程为，即．则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.二十、坐标系与参数方程大题：7年7考，而且是作为2个选做大题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程的简单应用，难度较小．年份题目及答案22.22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参考方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．23.（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到距离的最大值为，求．24.解：（1）时，直线的方程为．曲线的标准方程是，联立方程，解得：或，则与交点坐标是和（2）直线一般式方程是．设曲线上点．则到距离，其中．依题意得：，解得或\n2016年（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：.（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为，其中满足=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求．解:(I)（均为参数）,∴①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为∵,∴即为的极坐标方程（II）两边同乘得即②：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为①—②得：，即为∴,∴2015年（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标为=（ρR）,设C2与C3的交点为M，N,求△C2MN的面积．\n2014年（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线，直线（为参数）（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值．（3）解：(Ⅰ)曲线C的参数方程为：（为参数），直线l的普通方程为：………5分（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为，则+-，其中为锐角．且．当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为．…………10分2013年23．（本小题满分10分）修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0．\n将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0．所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0．(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0．由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，．2012年23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1)求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围．解:（1）曲线的参数方程化为直角坐标方程为，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，因为点A的极坐标为（2，），所以点B的极坐标为（2，），点C的极坐标为（2，），点D的极坐标为（2，），因此点A的直角坐标为（1，），点B的直角坐标为（，1），点C的直角坐标为（－1，－），点D的直角坐标为（，－1）．（2）设P（，），则\n．因为，因此的取值范围为[32，52]．2011年23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．（I）求的方程；（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．解：（I）设P(x，y)，则由条件知M()．由于M点在C1上，所以即从而的参数方程为（为参数）（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为．所以．二十一、不等式大题：7年7考，而且是作为2个选做大题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说考的话，可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数导数综合题中出现．年份题目及答案2017年23.[选修4-5：不等式选讲]已已知函数（1）当时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；\n（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.解：（1）当时，等价于，当时，，无解；当时，，解得；当时，，解得．综上所述，解集为．（2）依题意得：在恒成立．即在恒成立．则只须，解出：．故取值范围是．2016年（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数.（I）画出的图像；（II）求不等式的解集．24．解:(I)如图所示：（II）当，，解得或当，，解得或或当，，解得或\n或综上，或或，解集为2015年（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．2014年（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并说明理由．解：(Ⅰ)由，得，且当时等号成立，故，且当时等号成立，\n∴的最小值为．………5分（Ⅱ）由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，所以不存在，使得成立．……………10分2013年24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3．(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0．设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0．所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a．不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3．所以x≥a－2对x∈都成立．故≥a－2，即a≤．从而a的取值范围是．2012年24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（1)当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含[1，2]，求的取值范围．解:（1）当时，．所以不等式可化为\n，或，或．解得，或．因此不等式的解集为或．（2）由已知即为，也即．若的解集包含[1，2]，则，，也就是，，所以，，从而，2011年24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，其中．（I）当a=1时，求不等式的解集．（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．解：（Ⅰ）当时，可化为．由此可得或．故不等式的解集为或．(Ⅱ)由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得=，故．\n参考资料：不等式恒成立问题中的参数求法已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法.一、直接求导法题目：当时，恒成立，求的取值范围.分析：注意型函数不分离最好,这里是有理函数,它的导数为，这里是有理函数，容易讨论其性质.解：，由可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂，于是可以考虑分离参数，即，注意到当时，，所以当时，，是增函数，所以，当时，可解得，即当时，是减函数，所以，不合题意.综上，的取值范围.二、二次求导法题目：当时，恒成立，求的取值范围.\n分析：型函数一般用到二次求导法.解:，，因为，所以，当即时，，是增函数，所以，所以是增函数，所以；当即时，则当时，，是减函数，所以，所以是减函数，所以.所以的取值范围.三、特值压缩法题目：当时，恒成立，求的取值范围.分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.解：由得得，，当时，由得，当时，显然当时，，为增函数，从而，当时，则，所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以的最小值为\n，所以求的取值范围是.四、分离法题目：当且时，恒成立，求的取值范围.分析：把分离出来可以使导数非常简单.解：（这一步的目的是提取因式，分离出，由于的符号不确定，所以分类讨论如下）令设，于是原题等价于，若是通分，分子是一个关于的二次函数，讨论比较复杂，不如再次提取，分离参数，这样会转化为对号函数，可谓一举两得：于是令，由对号函数的单调性，在单调递减，当时，，从而，所以当，即时，恒成立，从而为增函数，所以恒成立；当时，，所以存在，使得当时，，从而为减函数，所以，不合题意.\n同理可讨论当时，仍然是时，恒成立，从而为增函数，所以恒成立；当时，，所以存在，使得当时，，从而为减函数，所以，不合题意.综上，五、重构函数法题目：恒成立,求的最大值.分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型.解:令,则（1）当时,,在R上单调递增，当时，，不合题意.（2）当时，则当时，，是减函数，当时，，是增函数，所以当时，，所以，所以，其中，令，则，当时，，是增函数，当时，，是减函数，所以当时，，所以的最大值是.六、解不等式法题目：设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式．\n解：（1），，因为，所以在上是增函数，注意到，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）可知，在上的最小值为，的最大值是和，所以的最大值为或，所以只要或，令，则，当时，，是减函数，当时，，是增函数，而，，且，所以存在，使得，所以由即可得，其中①而即，所以，即，其中，②由①、②得.七、设而不求法已知函数，（1）设，当时，，求的最大值，（2）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）分析：设而不求那些不容易求出的极值点.解：（1），，令，则，所以，\n注意到，所以当即时，，为增函数，所以，当时，存在，当时，，为减函数，所以，不合题意，所以的最大值2.（2）考虑，由（1）知道，当时，，所以，那么，下一步如何再取的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的这个分界点满足的条件，可以考虑满足，考虑到满足等号成立的的值，，解得，则由（1）知，当时，，所以，所以，所以.