[高考]【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题04 数列 文 44页

1．(2012·西安质检)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝(　　)A．－11　　　　　　　　B．11C．10D．－10解析：选A.∵{an}为等差数列，∴{}为等差数列，∴＝，∴＝－1，∴S11＝－11，故选A.2．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝M，a4＋a5＋a6＝N，则a7＋a8＋a9＝(　　)A．MNB．M＋NC.D.解析：选C.不妨设等比数列{an}的公比为q，则：＝q3，所以q3＝，∵q3＝，∴a7＋a8＋a9＝q3(a4＋a5＋a6)＝q3×N＝，故选C.3．若a≠c，三数a,1，c成等差数列，a2,1，c2成等比数列，则＝________.解析：∵a,1，c成等差数列，∴a＋c＝2，又∵a2,1，c2成等比数列，∴a2c2＝1，∴ac＝1或ac＝－1.当ac＝1时，由a＋c＝2得，a＝1，c＝1，与a≠c矛盾，∴ac＝－1，a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝4－2×(－1)＝6.∴＝.答案：4．已知等差数列{an}的公差d大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N＋)．求数列{an}，{bn}的通项公式．解：∵a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d>0，∴a3＝5，a5＝9，公差d＝＝2.∴an＝a5＋(n－5)d＝2n－1.又当n＝1时，有b1＝S1＝，∴b1＝.当n≥2时，有bn＝Sn－Sn－1＝(bn－1－bn)，∴＝(n≥2)．44\n∴数列{bn}是首项b1＝，公比q＝的等比数列．∴bn＝b1qn－1＝.【备战2013】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题04数列文【2012高考试题】1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{}的各项都是正数，且=16，则=（A）1（B）2（C）4（D）82.【2012高考全国文6】已知数列的前项和为，，，,则（A）（B）（C）（D）3.【2012高考新课标文12】数列{an}满足an+1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为（A）3690（B）3660（C）1845（D）183044\n于是4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=(A)12(B)16(C)20(D)24【答案】B【解析】，故选B5.【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x|。则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为A.①②B.③④C.①③D.②④44\n6.【2012高考四川文12】设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（）A、0B、7C、14D、21【答案】D.【解析】7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于A.1006B.2012C.503D.044\n8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a29.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和【答案】15【解析】因为数列是等比数列，所以。11.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______44\n【答案】【解析】显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即，所以，解得.12.【2012高考江西文13】等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。【答案】11【解析】由条件得，即，解得或（舍去），所以.13.【2012高考上海文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则【答案】。【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，∴++…+==，∴。14.【2012高考上海文14】已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是【答案】。44\n【解析】由题意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=。15.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（an+an+2）=5an+1,则数列｛an｝的公比q=_____________________.【答案】2【解析】因为数列为递增数列，且16.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______。【答案】，【解析】因为，所以，。17.【2012高考广东文12】若等比数列满足，则.【答案】【解析】因为，所以。18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=44\n，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.，n∈N﹡.19.【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（1）设，，求证：数列是等差数列；（2）设，，且是等比数列，求和的值．44\n∴综上所述，。∴，∴。44\n20.【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥44\n3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.21.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列44\n的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。【解析】（Ⅰ）设数列的公差为d,由题意知解得所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可得因成等比数列，所以从而，即解得或（舍去），因此。22.【2012高考山东文20】(本小题满分12分)已知等差数列的前5项和为105，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.【答案】(I)由已知得：解得,所以通项公式为.(II)由，得，即.∵，∴是公比为49的等比数列，∴.23.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分）44\n设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求。44\n当时，。24.【2012高考广东文19】（本小题满分14分）设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.25.【2012高考江西文17】（本小题满分12分）已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3（1）求an；（2）求数列{nan}的前n项和Tn。44\n【2011年高考试题】1.（2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n ≥1),则a6=（A）3×44（B）3×  44+1(C)44（D）44+1答案：A解析：由题意，得a2=3a1=3.当n ≥1时，an+1=3Sn(n ≥1)①，所以an+2=3Sn+1②，②-①得an+2=4an+1，故从第二项起数列等比数列，则a6=3×44.2.（2011年高考全国卷文科6)设为等差数列的前项和，若，公差，，则（A）8（B）7（C）6（D）5【答案】D44\n【解析】故选D。3.(2011年高考江苏卷13)设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________【答案】【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。由题意：，，而的最小值分别为1，2，3；。4.（2011年高考辽宁卷文科15)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________。答案：-1解析：设等差数列的公差为d，解方程组得d=-2，a5=a4+d=-1.5．（2011年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．（I）求第n年初M的价值的表达式；（II）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．44\n解析：（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以因此，第年初，M的价值的表达式为(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又所以须在第9年初对M更新．6.（2011年高考湖北卷文科17)（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.本小题主要考查等差数列、等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力.解析：（1）设成等差数列的三个正数分别为a-d，a,a+d.44\n依题意，得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以中的依次为7-d，10，18+d.依题意，有（7-d）（18+d）=100，解得d=2或d=-13（舍去）.故的第3项为5，公比为2.由，即，解得所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为.（2）数列的前n项和即所以因此是以为首项，公比为2的等比数列.7.（2011年高考山东卷文科20)（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.8．(2011年高考广东卷文科20)（本小题满分14分）设b>0,数列满足,．44\n（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数,．【解析】9.（2011年高考全国新课标卷文科17)（本小题满分12分）已知等比数列中，，（1）为数列前项的和，证明：（2）设，求数列的通项公式；44\n解析：（1）直接用等比数列通项公式与求和公式；（2）代人化简得到等差数列在求其和。解：（1）10．（2011年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为(),且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）对，试比较与的大小.11.(2011年高考天津卷文科20)（本小题满分14分）已知数列与满足,,且.（Ⅰ）求的值;(Ⅱ)设,,证明是等比数列;44\n(Ⅲ)设为的前n项和,证明.【解析】（Ⅰ）由,可得,,当n=1时,由,得;当n=2时,可得.(Ⅱ)证明:对任意,--------①---------------②②-①得:,即,于是,所以是等比数列.(Ⅲ)证明:,由(Ⅱ)知,当且时,=2+3(2+)=2+,故对任意,,由①得所以,,因此,,于是,故=,所以.44\n12.（2011年高考全国卷文科17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)设数列的前N项和为,已知求和【2010年高考试题】1.（2010辽宁文数）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比（A）3（B）4（C）5（D）6答案：B.解析：两式相减得，，.44\n2.（2010全国卷2文数）(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=（A）14(B)21(C)28(D)35【答案】C【解析】∵，∴3.（2010安徽文数）(5)设数列的前n项和，则的值为（A）15(B)16(C)49（D）64【答案】A【解析】.4.（2010重庆文数）（2）在等差数列中，，则的值为（A）5（B）6（C）8（D）10解析：由角标性质得，所以=55.（2010浙江文数）(5)设为等比数列的前n项和，则(A)-11(B)-8(C)5(D)11解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式。6.（2010全国卷1文数）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=44\n(A)(B)7(C)6(D)【答案】A【解析】由等比数列的性质知，10,所以,所以7.（2010陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为。解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.8.（2010辽宁文数）（14）设为等差数列的前项和，若，则。解析：填15.,解得，K^S*5U.C#9.（2010天津文数）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则=。【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。10.44\n（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1)当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；(2)由(1)知：，得，从而(nÎN*)；由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．11.（2010陕西文数）16.（本小题满分12分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.12.（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列，且，44\n（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出bn的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。13.（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记，证明.44\n以下分两种情况进行讨论：（1）当n为偶数时，设n=2m若，则，若，则44\n.所以，从而（1）当n为奇数时，设。所以，从而综合（1）和（2）可知，对任意有【2009年高考试题】1.(2009·广东，文5)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A.B.C.D.2答案：B解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B2.(2009·安徽，文5)已知为等差数列，，则等于A.-1B.1C.3D.744\n解析：∵即∴同理可得∴公差∴.选B。答案：B3.(2009·辽宁，文3)已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差d＝A．－2B．－C．D．2解析：a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1Þd＝－答案：B4.(2009·宁夏海南，文8)等差数列的前n项和为，已知，,则A．38B．20C．10D．9.答案：C解析：因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选.C。5.(2009·宁夏海南，文15)等比数列{}的公比,已知=1，，则{}的前4项和=答案：解析：由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。6.(2009·浙江，文11)设等比数列的公比，前项和为，则44\n．答案：解析：对于.7.(2009·浙江，文16)设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．答案：解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．8.(2009·山东，文13)在等差数列中,,则.解析：:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以.答案:13.【2008年高考试题】1.(2008·广东卷文4)记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差()A、2B、3C、6D、7解析：,选B.44\n2．(2008·海南宁夏理4文8)设等比数列的公比，前n项和为，则()分析：本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的简单应用，是一道容易题，只要熟悉等比数列的两个基本公式，解答本题困难不大，但也要注意运算的准确性。A.2B.4C.D.答案：C解析：。3.(2008·海南宁夏卷文13)已知{an}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=____________答案：１５解析：由于为等差数列，故∴4.(2008·广东卷文21)设数列满足，，。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。(1)求数列和的通项公式；(2)记，求数列的前项和。解析：(1)由得又，数列是首项为1公比为的等比数列，44\n，由得，由得，…同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此(2)当n为奇数时，当n为偶数时令……①①×得:……②①-②得:44\n当n为奇数时当n为偶数时因此【最新模拟】1.已知等比数列的公比为正数，且，则的值为A.3B.C.D.【答案】D.【解析】由，得，解得，所以或（舍），所以.2．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且仅有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如表格所示，则下列座位号码符合要求的是A．48，49B．62，63C．84，85D．75，76【答案】C【解析】根据座位排法可知，做在右窗口的座位号码应为的倍数，所以C符合要求。选C.3.等差数列中，，则它的前9项和A．9B．18C．36D．7244\n4、已知等差数列{}中，，则tan()等于(A)(B)(C)-1(D)15.记…时，观察下列，，观察上述等式，由的结果推测_______.6．等比数列，，前项和为.【答案】【解析】在等比数列中，，所以。7．在等比数列{an}中，·且前n项和44\n，则项数n等于（）A．4B．5C．6D．78.某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数是A.48B.24C.36D.649.设数列的前项和为，点在直线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和.44\n……………………………………11分44\n……………………………………12分10、正项等比数列的前项和为，，且的等差中项为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.11．(本小题满分l2分)设数列{}满足：a1=5，an+1+4an=5，(nN*)(I)是否存在实数t，使{an+t}是等比数列?(Ⅱ)设数列bn=|an|，求{bn}的前2013项和S2013．44\n12.（本小题满分13分）已知数列（）是首项为，公比为的等比数列，是数列的前项和，已知成等比数列．（Ⅰ）当公比取何值时，使得成等差数列；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求．【解析】（Ⅰ）由题意可知,①当时，则，此时不满足条件成等比数列；…………………………………………1分②当时，则44\n②①－②得：44\n所以．……………………13分13．（本小题满分12分）已知,数列满足,数列满足；数列为公比大于的等比数列，且为方程的两个不相等的实根.（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；（Ⅱ）将数列中的第项，第项，第项，……，第项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.14.（本小题满分12分）44\n若数列：对于，都有（常数），则称数列是公差为d的准等差数列.如数列：若是公差为8的准等差数列.设数列满足：，对于，都有.（I）求证：为准等差数列；（II）求证：的通项公式及前20项和【解析】解：（Ⅰ）（）①∴②②-①，得（）．所以，为公差为2的准等差数列．…………………4分（Ⅱ）又已知，(),∴,即.所以,由（Ⅰ）成以为首项,2为公差的等差数列,成以为首项,2为公差的等差数列,所以当为偶数时，，当为奇数时，.…………………9分()19=.…………………12分44\n15．（本小题满分12分）已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数构成等差数列,是的前n项和，且(I)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；(Ⅱ)设，求．【解析】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）为等差数列，设公差为…………………………………………………………………………2分设从第3行起，每行的公比都是，且，……………………4分1+2+3+…+9=45，故是数阵中第10行第5个数，而……………………………………………………………………7分（Ⅱ）……………………………………………………………8分……44\n………………………………………………………………12分16．（本题满分12分）已知数列为公差不为的等差数列，为前项和，和的等差中项为，且．令数列的前项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）是否存在正整数成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．44\n，。。。。。（1）44