[学科竞赛]各省高中数学竞赛预赛试题汇编 83页

2012各省数学竞赛汇集72\n目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2.2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3.2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4.2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5.2012年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6.2012年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7.2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8.2012年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9.2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10.2012年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11.2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12.2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13.2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14.2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15.2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页72\n2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为__18___.2、在中，已知则___4____.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为________.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_______.6、已知是正实数，的取值范围是________.7、在四面体中，,,该四面体的体积为____________.8、已知等差数列和等比数列满足：则______.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）72\n（2）12、已知为实数，，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：72\n13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.72\n14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.72\n2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．已知集合N，且N，则1．2．已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则．3．函数的值域为．4．已知，，则．5．已知数列满足：为正整数，如果，则5．72\n6．在△中，角的对边长满足，且，则．7．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．8．设是方程的三个根，则的值为－5．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．解在已知等式两边同时除以，得，所以．------------------------------------------4分令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以.------------------------------------------8分所以,即.------------------------------------------12分于是，当时,，因此,------------------------------------------16分10．已知正实数满足，且，求的最小值．解令，，则72\n．----------------------------------------5分令，则，且．------------------------------10分于是．------------------------------15分因为函数在上单调递减，所以．因此，的最小值为．------------------------------------------20分11．设，其中且．若在区间上恒成立，求的取值范围．解．由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增.------------------------------------------5分（1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为．在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或．结合得．------------------------------------------10分（2）若，则在区间上单调递增，所以在区间72\n上的最大值为.在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得．易知，所以不符合．------------------------------------------15分综上可知：的取值范围为．------------------------------------------20分2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数的值域为________________．2．已知，，则_______________．3．已知数列满足：为正整数，如果，则．4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_______________．6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为_______________．7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，72\n为_______________．8．设表示不超过的最大整数，则．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．10．已知正实数满足，且，求的取值范围．11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为72\n的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．函数的值域为．2．已知，，则．3．已知数列满足：为正整数，72\n如果，则5．4．设集合，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为185．5．过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为．6．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．7．在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为．8．设表示不超过的最大整数，则2012．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列满足且，，求的通项公式．解在已知等式两边同时除以，得，所以．------------------------------------------4分令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以.------------------------------------------8分72\n所以,即.------------------------------------------12分于是，当时,，因此,------------------------------------------16分10．已知正实数满足，且，求的取值范围．解令，，则．----------------------------------------5分令，则，且．------------------------------10分于是．------------------------------15分因为函数在上单调递减，所以．又，所以．--------------------------------------20分11．已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．（1）当且时，求△的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点．解所在直线的方程为，其中，代入中，得72\n，设，则有，从而．则．所在直线的方程为，其中，同理可得．------------------------------------------5分（1）当时，，，，，．又，故，于是△的面积，当且仅当时等号成立．所以，△的面积的最小值为.------------------------------------------10分（2），所在直线的方程为，即．------------------------------------------15分又，即，代入上式，得，即．72\n当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点．------------------------------------------20分72\n72\n72\n72\n72\n72\n72\n2012年上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是.2.已知正整数满足:,则的最小可能值是.3.若，,，则.4．已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是.5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，，则.6．方程的非负整数解.7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是.（用数字作答）8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为.72\n二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为．求的表达式，并写出x的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值．11．（本题满分16分）正实数满足，求证：（1）；（2）．72\n12．（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：（a）；（b）A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求的值；（2）求证：．72\n2012年上海市高中数学竞赛答案1、2、923、114、5、6、7、8、40259．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得．①…………………（2分）在△OBC中，由余弦定理，所以，②由①，②得．③…………………（5分）所以，故，72\n所以．…………………（10分）由③可得，，故．因为，结合②，③可得，解得（结合）．综上所述，，．…………………（14分）10．解．当时，，此时，且当时不等式等号成立，故．…………………（6分）当时，，此时“耐克”函数在内是递减，故此时．综上所述，…………………（14分）11．证（1）记，由平均不等式．…………………（4分）于是，72\n所以，而，所以，即，从而．…………………（10分）（2）又因为，所以，故．…………………（16分）12．解（1）设集合，且A满足（a），（b）．则．由于不满足（b），故．又都不满足（b），故．而集合满足（a），（b），所以．…………………（6分）（2）首先证明．①事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为．令，由于，故．又，所以，集合，且B满足（a），（b）．从而．…………………（10分）其次证明：．②事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为．令72\n，由于，所以，且．而，，从而B满足（a），（b），于是．…………………（14分）由①，②得．③反复利用②，③可得．…………………（16分）2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，，则=（）A、B、C、D、2、正方体中与截面所成的角是（）A、B、C、D、3、已知，，则“”是“在上恒成立”的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为72\n，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设,，则=（）A、B、C、D、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（）A、B、C、D、6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（）A、B、C、D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是．8、的展开式中的常数项是．（用具体数字作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角满足，则的最大值是．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；72\n（II）若实数使得对任意恒成立，求的值．14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值．15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围．72\n16、设函数在上的最大值为（）．（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立．2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、8、9、010、1411、12、72\n三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知，（5分）由知，，于是所以时，有最小值；当时，有最大值．（10分）（II）由条件可知对任意的恒成立，∴∴∴,（15分）由知或。若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），，解得，所以，．（20分）14、解：（I）因为（5分），等号成立的条件是，当时，可取最小值2．（10分）（II）当取最小值时，，从而，即，令，则（15分）从而或者（舍去）故在单减，72\n所以在时，有最大值．（20分）15、解：将直线与双曲线方程联立得化简得①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分）由题设知方程①有两负根，因此，解得．（10分）设，则有，故的中点为，所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）当时，，其取值范围是所以的取值范围是．（20分）16、解：（I），当时，由知或者，（5分）当时，，又，，故；当时，，又，，故；当时，，∵时，；时，；72\n∴在处取得最大值，即综上所述，．（10分）（II）当时，欲证，只需证明∵所以，当时，都有成立．（15分）（III）当时，结论显然成立；当时，由（II）知．所以，对任意正整数，都有成立．（20分）72\n72\n72\n72\n72\n72\n72\n72\n72\n72\n72\n山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案）一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)1.函数的最大值是________________;(王泽阳供题)解:,其等号仅当即时成立,所以,f(x)最大=.2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”,将所有吉祥数从小到大排成一列a1,a2,…,an.若an=2012.则n=_______________.(王继忠供题)解:设为吉祥数,则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得(x1-1)+x2+…+xm=4,所以,为第个吉祥数.为第个吉祥数.由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共个,三位吉祥数共个,因以1为首位的四位吉祥数共个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,.则f(2012)=______;(王林72\n供题)解:当n=0,1,…,2011时,(n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根,设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)…(x-2011).取x=-1,则1=2012!a.故,,.4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点.(龚红戈供题)解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.ABCDOIEF5.如图，设,分别为的外心、内心，且，＞，的外角平分线交⊙于，已知,则_____________.(李耀文供题)解:连接并延长交⊙于,则为弧的中点.连、、、，由，易知、均为正三角形.由内心的性质得知：,所以、、、四点共圆,且圆心为.再延长交⊙于,由题设知、、共线，于是,,72\n又,从而≌,故.二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).(陈永高供题)证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知,所以,p|(n2n-1).取k=pr-1(r∈N*),即n=(p-1)(pr-1),就有即p|(n2n-1).RABCDPEGFQ7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB于F，延长CP交矩形的外接圆于G。求证：GE⊥GF.(叶中豪供题)证法1:设CG交AD于Q,由∠GBA＝∠GDA及∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG。延长DF、CB交于R，由AD∥BR,AD=BC得①又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得②由①,②得,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点,故得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,即GE⊥GF.72\nABCDPEGFQαβ证法2:联结GB,GD,令∠GCB=,∠GCD=,由正弦定理得:,由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900,即GE⊥GF.8.对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2,…,A10满足:(1)|Ai|=36,i=1,2,…,10;(2)A1∪A2∪…∪A10=A;(3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由.(刘裕文供题)解:答案:存在.考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有个,每个作为集合A的一个元素.对每个j=1,2,…,10,第j项为1的0,1数列恰有个,它们是集合Aj的36个元素.对每对i,j∈{1,2,…,10}(i1,v>1.由4v2-3u2≡1(mod8)知u,v为奇数,直接计算得umin=15,vmin=13,k=56,所以,m最小=15×13=195,n最小=337.10.设实系数三次多项式有三个非零实数根.求证:.(李胜宏供题)证明:设为p(x)=0的三个根,由根与系数关系得:.原式①.若,则①成立.若,不妨设,由①的齐次性,不妨设72\n,则,.①.因,所以,.故原式成立.二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012年6月24日上午9:00-11:30)考生注意:1、本试卷共两大题(12道小题),全卷满分120分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题(本题满分56分,每小题7分)1.空间四点A，B，C，D两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则点P与点Q间的最小距离为____________；2.向量为坐标原点，动点满足则点构成的图形的面积为3.设有非空集合且当时，必有，这样的集合A的个数是_____________；4.设其中表示不超过的最大整数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是5.11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次,这样的手机号码有___________个；6.若则的最大值是；7.设函数，满足且对任意都有72\n，则；8.实数满足，则的最大值为；二、解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9.已知数列满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）设为非零常数，若数列是等差数列，记，求10.M是抛物线的准线上任意点，过M作抛物线的切线，切点分别为A、B（A在x轴上方）。（1）证明：直线AB过定点；（2）设AB的中点为P，求｜MP｜的最小值。11.设为正实数，且，求证：12.某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m，n的值．72\n72\n72\n72\n2012年河北省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.已知，则可化简为（D）A．B.C.D.解答：因为，所以=。正确答案为D。2．如果复数的模为4，则实数a的值为（C）A.2B.C.D.解答：由题意得。正确答案为C。3.设A，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则p是q的（B）A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。72\n4.过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（C）A.B.C.D.解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得。正确答案为C。5.函数，则该函数为（A）A.单调增加函数、奇函数B.单调递减函数、偶函数C.单调增加函数、偶函数D.单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6.设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（A）223122122正视图侧视图俯视图（圆和正方形）A.4+B.4+C.4+D.4+解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的（B）A．64B．32C．16D．8答案经计算。正确答案为B。72\n8.在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（A）A.4B.8C.16D.32解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为A。9.已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（C）A.BC.D.解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。10.已知，则的解为（C）A.或B.或C.或D.解答：不等式的左端看成的一次函数，由或。正确答案为C。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.函数的最小正周期为______4____。解答：最小正周期为4。12.已知等差数列前15项的和=30，则=____6_______.解答：由，而。72\n13.向量，，，则的取值范围为[1，3]。解答：=，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。14.直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为__。解答：因为平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为。15．设为实数，则_____4________。解答：16.马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。（用组合数符号表示）解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。17.设为整数，且，则_3或57_。解答：将代入得到，因为都是整数，所以前两个方程组无解；后两个方程组解得。所以3或57。三、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）72\n18.设，求在上的最大值和最小值。解答：当当----------------------------------5分由此可知。----------------------------------10分当；当；当。----------------------------------17分19.给定两个数列，满足，，。证明对于任意的自然数n，都存在自然数，使得。解答：由已知得到：为等比数列，首项为2，公比为2，所以。-----------------5分又由已知，由，所以取即可。-------------------17分72\n20.已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过，求a的值。解答：。设，由得----------------------10分设。由M、A、D共线。又，得=整理得。--------------17分四、附加题（本大题共2小题，每小题25分，共计50分）21.在锐角三角形ABC中，，设在其内部同时满足和的点P的全体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的。证明三角形ABC为等边三角形。解答：做的外接圆O，做A则G为四边形AEOF。又72\nCEFOBMD所以。--------------------------10分，等号成立当且仅当A、O、M共线，即为等边三角形。--------------------------25分21.设，且。求证：，并指明等号成立的条件。证明：由柯西不等式得到（1）--------------------10分（1）式右边的分子==72\n。--------------------------20分等号成立条件是。结论成立。--------------------------25分2012年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、选择题（每题5分，共50分）1．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．82．设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）A．1B．-1C．2+D．-2+4．已知=(cosπ,sinπ),,，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1B．C．2D．5．过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb72\n(4x-4)的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为：若程序运行中输出的一个数组是则数组中的（）A．64B．32C．16D．88.在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（）A.4B.8C.16D.329.已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（）A.BC.D.10.已知，则的解为（）A.或B.或C.或D.二、填空题（每题7分.共49分）11．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.12．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}（2）a≠b,b≠c,c≠d,d≠a（3）a是a,b,c,d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.13．设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于14．若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.15．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.16．对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.17．已知a,b,c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，则k的最小值为__________.。三、解答题（每题17分，共51分）18．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙72\nQ交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。19．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2；（3）当0250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。2．设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。3．xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。故选A。4．设向量=(x,y)，则，即，即.∴或，∴S△AOB==1。72\n5．设P(x1,y1)，Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3,y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=。故选C。6．由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA>0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。7.经计算。正确答案为B8.平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为A9.问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C10.不等式的左端看成的一次函数，由或。正确答案为C。.二、填空题11．。由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。72\n12．46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。13．解考虑M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}．P中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3．将M的元配为n对，Bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n．对M的任一n+3元子集A，必有三对同属于A(i1、i2、i3两两不同)．又将M的元配为n-1对，Ci(i，2n-i)，1≤i≤n-1．对M的任一n+3元子集A，必有一对同属于A，这一对必与中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+314．。①若t2-4>0，即t<-2或t>2，则由>x(|x|≤1)恒成立，得,t+1>t2-4,t2-t-s<0解得，从而-t2+4;t2+t-3>0，解得：t<或t>，从而0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1,f(-4)=1。下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。17．解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2)2+(2+2)2=72\n4ab+8ac+8bc+16c。所以≥。当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。三、解答题18．以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x,0)，点A(k,λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r,0),N(x+r,0),P(2,0),PQ==1+r。所以x=±,∴tan∠MAN=，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0,k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0,0),r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。19．（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)2+，∴f()=≤1，∵a>0,b>0,∴a≤2。（2）证：（必要性），对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b>1，可推出f()≤1。即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。（充分性）：因b>1,a≥b-1，对任意x∈[0,1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1，即：ax-bx2≥-1；因为b>1，a≤2，对任意x∈[0,1]，可推出ax-bx2≤2-bx2≤1，即ax-bx272\n≤1，∴-1≤f(x)≤1。综上，当b>1时，对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2。（3）解：因为a>0,00,0