竞赛→高中竞赛→专项训练→[全国通用][竞赛相关][试题（卷）试题（卷）]高中数学竞赛专题讲座——集合和函数 11页

WORP文档下载可编辑竞赛试题选讲——集合与函数一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．（2006陕西赛区预赛）a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于（）A．-1B．0C．1D．2．（2006天津）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）A．　　B．C．D．3．（2006陕西赛区预赛）若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．4．（2006陕西赛区预赛）若函数满足，则的解析式是（）A．B．C．D．5．（2006年江苏）函数的图象是（）ABCD6．（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程的两个实根为且则的取值范围是（）A．B．C．D．专业技术资料\nWORP文档下载可编辑7．（2006年江苏）设是定义在上单调递减的奇函数．若，，则（）A．B．C．D．8．（2006吉林预赛）如果集合A={y|y=－x2+1，x∈R+}，B={y|y=－x+1，x∈R}，则A与B的交集是（）A．(0，1)或(1，1)B．{(0，1)，(1，1)}C．{0，1}D．(－∞，1)9．（2006安徽初赛）已知的小数部分为a，则的小数部分为（）A．的小数部分B．的小数部分C．的小数部分D．以上都不正确10．（2006吉林预赛）若函数f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．(0，1)B．(－∞，1)C．(0，+∞)D．(0，0.5)11．（2006年南昌市）设集合,若,则中元素个数为（）A．0B．1C．2D．至少3个12．（2006年南昌市）设,记,若则（）A．B．-C．D．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．（2006安徽初赛）已知实数x、y满足，则．2．（2006天津）已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有500种．3．（2006年南昌市）设＝{1,2,…,100},是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个数是____________.4．（2006年江苏）集合，，则集合的所有元素之和为．5．（2006年南昌市）若曲线与直线恰有三个公共点,则的值为___6．（2006年上海）已知函数R→R满足：对任意R，都有专业技术资料\nWORP文档下载可编辑，则所有满足条件的函数f为．7．（2006年上海）对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是．（注：表示x，y，z中的最大者．）8．（2006年上海）设，，则满足条件的所有实数a，b的值分别为．1,3,5三、解答题（每小题20分，共60分）1．（2006年江苏）设集合，．若，求实数的取值范围．1,3,52．(集训试题)已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2；（3）当00,b>0,∴a≤2。（2）证：（必要性），对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b>1，可推出f()≤1。即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。（充分性）：因b>1,a≥b-1，对任意x∈[0,1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1，即：ax-bx2≥-1；因为b>1，a≤2，对任意x∈[0,1]，可推出ax-bx2≤2-bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。综上，当b>1时，对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2。（3）解：因为a>0,00,01且3－a>0，解得11时，若在区间上是增函数，为增函数，令，t∈[,]，要求对称轴，矛盾；当01，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴≤0，矛盾；若0－x－1；当－1£x<时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－1<0，x＋1<2－x；当£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1>x－2；专业技术资料\nWORP文档下载可编辑故据此求得最小值为。选C8。-311．1或-2;解：令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1,y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1,f(-4)=1。下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。12．解：考虑M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}．P中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3．将M的元配为n对，Bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n．对M的任一n+3元子集A，必有三对同属于A(i1、i2、i3两两不同)．又将M的元配为n-1对，Ci(i，2n-i)，1≤i≤n-1．对M的任一n+3元子集A，必有一对同属于A，这一对必与中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+310．13．解：由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。14．解析：设，函数有最大值，∵有最小值，∴0