全国物理竞赛高中复赛试题及答案 27页

全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题，满分160分?计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤？只写出最后结果的不能得分？有数字计算的题？答案中必须明确写出数值和单位？填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程.一、（15分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）？若干个摆球位于同一高度弁等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小.设重力加速度g=9.80m/s2,1?试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足：（a）每个摆的摆长不小于0?450m,不大于1.00m;（b）初始时将所有摆球由平衡点沿x轴正方向移动相同的一个小位移xo（xo<<0.45m），然后同时释放，经过40s后，所有的摆能够同时回到初始状态.2?在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为?二、（20分）距离我们为L处有一恒星，其质量为M,观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T,摆动范围的最大张角为△0?假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程.若L二10光年，T=10年，=3毫角秒，M=Ms（Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量Ms和国际单位AU（平均日地距11离）作为单位，只保留一位有效数字.已知1毫角秒二匚五角秒，1角秒二3五度，1AU=1.5x108km，光速c=3.0x105km/s.三、（22分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m,半径为R，螺距H=nR,可绕竖直的对称轴00',无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计^一质量也为m的小球穿在螺旋环上弁可沿螺旋环无摩擦地滑动，首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A,这时螺旋环也处于静止状态？然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴OO',转动.求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小^\n\n四、12分）如图所示，一质量为m电荷量为q（q>0）的粒子作角速度为3、半\n径为R的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d（d>R）在导线上通有随时间变化的电流I,t=0时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为d+R.若粒子做圆周运动的向心力等于电流i，的磁场对粒子的作用力，试求出电流i随时间的变化规律？不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响？长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数k已知.五、（20分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q（Q>0）,半径分别为R和R/2,小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和0'的连线MN沿竖直方在MN与两球面的交点B、0和C处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m,带电荷为q（q>0的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛。设静电力常量为k,重力加度为g.1要使质点从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少？2?要使质点从A点上抛后能够到达。点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？六、（20分）由单位长度电阻为络系r的导线组成如图所示的正方形网列.n=1时，正方形网络边长为L/3;n=3L,n=2时，小正方形网络的边长为L/9.当n=1、2、3时，各网时，最小正方形网络的边长为络上A、B两点间的电阻分别为多少？Irr-3七、（15分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收？被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）？热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃―玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率J与表面的热力学温\n度T的四次方成正比，即J=oT4淇中b是一个常量.已知太阳表面温度Ts=5.78X103K,太阳半径Rs=6.69X105km,地球到太阳的平均距离d=1.50X108km?假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，弁设它对热辐射能量的反射率为p=0.38.1.如果地球表面对太阳辐射的平均反射率a=0.30,试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？\na1=0.85,其余部分273K.1.如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为的反射率处a2=0.25.间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为八、（20分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角0=450.有一座房子朝南的墙上有一个直径W=10cm的圆窗，窗口中心距地面的高度为H.试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口，弁要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前2倍的平行光？可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为80%,透镜的透射率为70%,忽略透镜表面对光的反射.要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置？试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，弁求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件九、（16分）已知粒子1和粒子2的静止质量都是m。，粒子1静止，粒子2以速度V。与粒子1发生弹性碰撞.1.若碰撞是斜碰，考虑相对论效？试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角？若不考虑相对论效应结果又如何？2.若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度\n解答(I)一.参考解答：I.以么表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一.即T=2r=—（N为正整数），\gN.[⑴式以及下面的有关各式都是在采用JS给单位条件下的数值关系？）由⑴可得，各单摆的摆长400g1依0.450m(4)电电流的iE方向与y轴的正向一致，设时刻f长直导线上的电流为刊)，它产生的磁场在粒子所在处磁感应弓负度大小为d+x⑴方向所在的平而？由(4)、(5)式，可得i(0=k—(d+ftcosox)q评分标准：本题12分.⑶式4分.(4)式2分，(5)式4分，(6)式2分.9\n(6)由此可得iii?质点住BTOZ间存在一平衡点D（参看图2）.在BTD质点作廉速运动，在DtO质点作加速运动，对应条件为（8）设D到0点的距离为X,则五.参考解答：1.J1点在AAB应作减速运动（参看图1）.设质点在人点的最小初动能为£巾，则根据能言主守恒，可得质点刚好能到达B点的条件为警怨等鹑⑴由此可得（2）2.质点在8TO的运动有三种可能情况：i.质点在BTO作加速运动（参看图1）,对应条件为松S警外9R1⑶此时只耍质点能过B点，也必然能到达0点，因此质点能到达0点所需的最小初动能由（2）式给出，即若（3）式中取等号.则最小初动能应比（4）式给出的略犬一点ii.质点在BTO作减速运动（参看图1）,对应条件为此时质点刚好能到达0点的条件为10\n(10)艮据能就寸恒，质点利好能到达D点的条件为(11)型■理_+嘲2"讥+型■地R（R/2）+x“*2R5RI1h（10）、（11）两式可得质点能到达D点的最小初动能为E*口mgR*卷||八JjkgmqQ(12)2要质总能过D点也必然能到达0点？所以，质点能到达0点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）成给出内略大一点?）评分标准：本题20分.第I小阿5分.求得⑵式给5分.第2小何15分.算出第i种情况下的初动能给2分；算出第ii种悄况下的初动能给5分；算出第iii种情况下的9J动能给8分.其中（10）式占3分.\n六、参考烟rLrL时，儿B间等效电路如图1所示.A.B间的电阻片冷(2必)*Z4昔溟！未找到引用源⑴rLrL图1刀=2时，A.B间等效电路如图2所示.A.B间的电阻R：2133)由⑴.(2)两式得i-ii--rL=R占L9-rL2?-rL9用=3时.A.B间等效电路如图3所示.A.B间的电阻p1(2+-+3+3+-+2)A+1A(4)329144)32由(3)、⑷式得⑸评分标准：本题20分.-rL92r-rL\-rL-rL9I1]-rL-rL-R2-rL933?3-rLA-rL9■CZH=H=?L-rL9图3(1)式4分,(3)式6分,(5)式10分.12\n七、参考解答:1.根据题意，太阳辐射的总功率&=4吠错误！未找到引用源？太阳辐射各向同性地向外传播.设地球半径为沧，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的？故地球接收太用辐射的总功率为/PY亍"错误！未找到引用源’地球&面反射太阳辐射的总功翠为aPr攻地球表面的温度为：，则地球的热辐射总功聿为&=4猊CT'错误！未找到引用源?考虎和迥2弋P?uu样枚的热辐射.则输入地球表面的总功率为人+0&错误！未找到引用源？？当达钊热平街时，输入的能蜀与输出的能*相等.有错误！未找到引用源./;+0&=a/;+&曲以上备式豺1414耳二287K2.当地球表面一部分被冰雪厦盖后，以刃表示地球表面对太阳辐射的平均反射率.根据熟意这时地球表而的平均温度为7i=273K.利用(4)式，可求得ar=0.43(6)设冰雪覆盖的地表而积与总面积之比为X,即a9(l?x)⑺山(6)、(7)两式并代入数据得14\nx=30%(8)14\n评分标准：本题15分.第1小问11分.⑴式3分,⑵式I分,⑶式4分，（4）武2分，（5）式1分.第2小I可4分.（6）式2分.（8）式2分.八.参考解答：方案一：采光装置由平面镜M和两个凸透镜sa组成.透镜^置于平面镜M后面，装置中各元件的相对方位及光路图如图1所示.LrLj的直径分别用表示，其焦距的大小分别为/；、R两透镜的距离H径与焦距应满足关系1=AD、D2C2)设射入透镜b的光强为透过透镜L|的光强为/;拷虑到透镜L】对光的吸收有/>0.70/,；从透镜4透出的光通徽等于进入a的光通披？对应的光强与透镜的贡径平方成反比，讲入-的光强用山表示.即I;D：匕J故有3日勺透过a的光强/;=0.70/m,考虑到（3）式，得日？49谄\J2由于进入透镜Li的光强是平面镜M的反财光的光强，反射光是入射光的80%.设射入装置的太阳光光强\n代入（5）式有按题设要求代入＜6）式得从而可求御两透镜的焦距比为Z;o=0.80Z01*21。2/o=0.39/0(6)£=2.26Ak的K径应等丁圆形迩户的直径必即P2=10cm.由（2）式得D、=D£二22.6cm（8）1A2山图可知.平而镜M参与有效反光的部分为一椭圆，其半短轴K度为6=Dt/2=11.3cm（9）半怏轴K度为，a=q/（2sin22.5?）=29?5cm（10）根据装置图的结构，町知透镜组的光轴离地应与平面镜M的中心等高，高度为〃？评分标准：本题20分.作图8分（含元件及其相对方位，光路）？求得（7X（8）两式共方案二：采光装震由平面镜M和两个凸透镜LhL2组成，透镜纽翌于平而镜M前面，装置中各元件的相对方位及光路图如图2所示.16\n10分,(9)>(10)式共2分.Blr对透诜的参数要求与方案一相同.16\n但反射镜M的半短轴、半长轴的长度分别为b=D2/2=5.0cma=D2/(2sin22.5e)=13.1cm评分标准：参照方案一方案三、采光装置由平面镜M和一个凸透镜L］、一个凹透镜L?组成，透镜组垃于平镜M后面（也可在M前面），装雪中各元件相对方位及光路图如图3所示.有关参数与方聚一相同，但两透镜的距离a如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺和方案一相同；如果平面镜放在透镜组Z民平面镜的尺寸和方案二相同评分标准：参照方案一.\n九、参考解冬1.假设碰搦后球1和球2的速度方向之间的夹角为a（见图）能诙恒和动量守恒可得加0『+叫内0=vVl+叫”（1）（呻MJ=（mM）12+（口U也『+2（口U蛰）（叫也）ssa则%二〒L，Xi"*r====,h=fJl-u;/cJl-v,/c2Jl_u:/dIII(1)、(2)式得in1717才+1=#+於+(即2/d)/i/2COSa1717111（3）、（4）式得WJ22VIW21(6)a<-2即为锐角.祖非相对论情况下，根据能守恒和动量守恒可得121212尹皿二尹0耳巧叫耳(叫弘丫=(Vi)2+(叫订+2(wJ(“23sa对斜戢，5的方向与。2的方向不同，要同时满足（1）和（2）式，则两者方向的(8)1717夹轴17\n(10)2.根据能鱼守恒和动量守恒可得跟Jl-k/c,JK"Jl-vj/?(ID叫％一叫5.叫％>RA1818则有1818%=cjl-l/舟？％=cjl-1/1u严Jl-1/才1818代入(10)、(11)式得1+n=n+h(12)解(12)、(13)两式得7A=7/H+7rH/i=ir2=rori=/orj=1q=0?v2=vo(或V,=vo.U2=0.不合题意)评分标准：本(13)(14)(15)(16)1818题16分.第1小问10分.(IX(2)式各2分,(6)式4分,(9)式2分.第2小问6分.(10X(11)式各1分,(16)式4分.18