2018高中数学竞赛试题 8页

2018年全国高中数学联赛浙江省预赛1．已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.2．设数列满足，(n=1，2，…），则________.3．已知，，，则________.4．在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有________个既约分数.5．已知虚数z满足，则________.6．设.若平面上点P满足，对于任意,有，则的最小值为________，此时________.7．在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.8．设，则有________个不同的解.9．设满足，则x的取值范围为________.10．四面体P-ABC，,，,则该四面体外接球的半径为________.11．已知动直线l与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.12．设，且对任意实数b均有，求a的取值范围.13．设实数x1，x2，…，x2018满足(n=1，2，…，2016)和，证明：.14．将2n()个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：\n15．如图所示将同心圆环均匀分成n()格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？\n参考答案1．【解析】由为奇函数可知，解得a=2，即，由此得的值域为.2．【解析】由，所以.3．【解析】【详解】由，，得，，所以.故答案为：4．36【解析】在7，11，13中任取一个整数与在2，4，6，8，12中任取一个整数构成既约分数，共有种；在7，11，13中任取两个整数也构成既约分数，共有中.合计有36种不同的既约分数.5．\n【解析】，所以.6．6【解析】由可知点P到直线AB的距离为3.设AB的中点为O.由极化恒等式得：.此时.7．【解析】由,又,时取等号.8．3【解析】因为由得到，或.由，得一个解；由得两个解，，共3个解.9．【解析】由.令，\n，所以.10．【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，所以四面体外接球的半径为.11．【解析】依題意可设l：.因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为1，即这样的直线必与椭圆交于不同的两点，，联立，得,得到.所以AB的中点坐标为AB的中垂线方程为，化简得，O到直线中垂线的距离.将代入得，由均值不等式，，故，当且仅当时取等号.\n所以，当，时，原点到AB的中垂线的最大距离为.12．【解析】解1：，对于，所以只要考虑.（1）当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意有，所以，解得（2）当时，即，此时函数的最值在拋物线的顶点和右端点取得，而对b=0有，.（3）当时，即时，此时函数的最值在拋物线的顶点和左端点取得，而对b=0有，.（4）当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意有，所以,解得.综上或.解2：设，则有，依题意，，或.13．【解析】证明：由条件同号.反证法，假设.\n（1）若同为正数，由同号可知x1，x2，…，x2018同号.由同理.类似可证明：，，…，.因此，矛盾.（2）若同为负数，由同号可知x1，x2，…，x2018均为负数，仍然有,类似（1）可证得.14．【解析】证明：令下面用归纳法证明.当n=2时，不妨设a1