湖南高中数学竞赛试题 4页

2004年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若，则()A．B．C．D．2.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=④其中在上为单调增函数的是()A．①B．②C．①和③D．②和④3.方程的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于()A．0B．1C．2D．44.已知点P(x,y)满足，则点P(x,y)所在区域的面积为A．36πB．32πC．20πD．16π()5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为()A．9B．12C．15D．186.已知数列{}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于()A．80B．40C．24D．-487.已知曲线C：与直线有两个交点，则m的取值范围是()A．B．C．D．8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为()A．B．C．D．9.设，则x、y、z的大小关系为()A．x3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.因为又，所以，由题意得.此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).所以C点的轨迹方程为(2)不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简，得\n显然有△≥0，所以而由椭圆第二定义可得只要考虑的最小值，即考虑取最小值，显然.当k=0时，取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得但，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.19.证明：由题意可得，且α、β、所以因为，所以当时，.当时，，同样有故另一方面，不妨设，则令，则因为，所以所以所以如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使增大.所以，当α=β==时，α+β+取最大值3.综上可知，