高中数学竞赛模拟试题（十） 3页

智浪教育—普惠英才文库高中数学竞赛模拟试题（十）一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是（A）45（B）27（C）15（D）112、已知sin2q=a，cos2q=b，0＜q＜，给出值的五个答案：①；②；③；④；⑤．其中正确的是：（A）①②⑤（B）②③④（C）①④⑤（D）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（A）64（B）66（C）68（D）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为（A）729（B）972（C）243（D）9815、（其中，[x]表示不超过x的最大整数）的值为（A）（B）（C）（D）6、一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A）8568（B）2142（C）2139（D）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得HQ=lPH（l≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是．2、已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角a（0＜a＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是f(a)=．第3页共3页\n智浪教育—普惠英才文库1、不等式的解集为．2、设复数z满足条件|z-i|=1，且z≠0，z≠2i，又复数w使得为实数，则复数w-2的辐角主值的取值范围是．3、设a1,a2,…,a2002均为正实数，且，则a1a2…a2002的最小值是．4、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且前n项和为Sn．（1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然数c和k，使得＞2成立．四、（20分）设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R+上的函数f(x)满足（i）对于任意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)；（ii）当x＞1时，f(x)＜0；（iii）f(3)=-1．现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2＞0，p、q∈R+}，集合B={(p,q)|f()+=0，p、q∈R+}．试问是否存在p、q，使，说明理由．第3页共3页\n智浪教育—普惠英才文库参考答案一、选择题：题号123456答案ACBDDB二、填空题：1、；2、；3、；4、；5、40022002；6、．三、（1）；（2）不存在．四、．五、不存在．第3页共3页