2006浙江高中数学竞赛试题 9页

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题1、下列三数的大小关系正确的是　（）A、　B、　C、　D、2、已知两点A（1,2），B（3,1）到直线L距离分别是，，则满足条件的直线L共有（）A、1条B、2条C、3条D、4条3、设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，，，则（）A、20B、4C、42D、1454、设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为（）A、B、C、D、5、在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（）。A、2006B、C、D、6、函数在时的最小值为（）。A、2B、4C、6D、8二、填空题7、手表的表面在一平面上。整点这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点到整点的向量记作，则＝。8、设且，则对任意。-9-\n9、在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。10、设是非零实数，，若，则。11、已知，。若为单元素集，则。12、。三、解答题13、在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切，且动圆与轴相切，求（1）动圆的圆心轨迹方程；（2）若直线与曲线有且仅有一个公共点，求之值。14、已知数列满足，满足，，证明：。15、六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问1）共有多少种不同的骰子；2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差。在所有的骰子中，求的最大值和最小值。-9-\n2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准一.选择题1.C2.C3.D4.B5.C6.B二.填空题7.8.n9.10.11.12.详细解答如下：一.选择题1.下列三数的大小关系正确的是（C）（A）（B）（C）（D）解：因为，。令，则。又因为，所以。再令，则，而，所以。综上所述，有。因此选（C）。2.已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（C）条。（A）1（B）2（C）3（D）4解:由分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。3.设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，，则＝（D）-9-\n(A)20(B)4(C)42(D)145.解：将记做，于是有从16开始，是周期为8的周期数列。故正确答案为D。4.设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为（B）。(A)(B)(C)(B).解：在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象限的面积为A＝。因此的图形面积为。所以选（B）。5.在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）。(A)2006(B)(C)(D).解：正2n边形，对角线共有条。计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。因此正确选项是C。6.函数在时的最小值为（B）。(A)2(B)4(C)6(D)8解：（由调和平均值不等式）-9-\n要使上式等号成立，当且仅当（1）－（2）得到，即得。因为，所以当时，。所以因此应选（B）。二.填空题7.手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作，则＝。解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为。则。共有12个相等项。所以求得数量积之和为。8.设且则对任意，n。解：，-9-\n所以，9在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。解：三个数成递增等差数列，设为，按题意必须满足。对于给定的d，a可以取1，2，……，2006-2d。故三数成递增等差数列的个数为三数成递增等差数列的概率为。10.设是非零实数，，若则。解：已知………………（1）将（1）改写成。而。所以有。即,也即将该值记为C。则由（1）知，。于是有，.而。11.已知,。若为单元素集，则。-9-\n解由为单元素集，即直线与相切，则.12.=。解：设，则，,，即有，，。所以有.于是可得，且当时，.因此.解答题13.在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求（1）动圆的圆心轨迹方程L;（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。解：（1）由可得由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为,则有整理得到动圆圆心轨迹方程。……………………（5分）-9-\n另解由已知可得，动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程，即…………………（5分）（2）联立方程组①②消去得，由整理得③从③可知。故令，代入③可得再令，代入上式得…………………（10分）同理可得，。可令代入③可得④对④进行配方，得对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以。令，则。所以…………………………………（15分）仅当时，为完全平方数。于是解得。…………………（20分）-9-\n14.已知数列满足，满足，证明：。证明：记，则。而。…………………（5分）因为，所以。…………………（10分）从而有。（1）又因为，所以，即。从而有。（2）…（15分）由（1）和（2）即得。综合得到。左边不等式的等号成立当且仅当n=1时成立。………（20分）15.六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问1）共有多少种不同的骰子；2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V。在所有的骰子中，求V的最大值和最小值。解：1）设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共6×4种。所以不同的骰子共有种。…………………（5分）2）由1－6的六个数字所能产生的变差共有15个，其总和为1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋（1＋2＋3＋4）＋（1＋2＋3+4+5）=35（10分）与之相比，每个骰子的全变差中，所缺的是三个相对面上数字之间的变差，记其总和为v，则vmax＝（6+5+4）－(1+2+3)＝9vmin＝1+1+1＝3…………………（15分）因此Vmax＝35－vmin＝32Vmin＝35－vmax＝26.…………………（20分）-9-