高中数学竞赛模拟试题二 4页

高中数学竞赛模拟试题二一、选择题：1.设、、为实数，，则下列四个结论中正确的是（D）（A）（B）（C）且（D）且提示：若,则,则.若,则对于二次函数,由可得结论.2.在△ABC中，若，则是△ABC只有一解的（A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件3.已知向量,定义函数.若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（A）（A）（B）（C）（D）4.设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，则二面角C—FG—E的大小是（D）（A）（B）（C）（D）5.把数列依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（A）（A）1992（B）1990（C）1873（D）18916.设，满足，，使，，…，一定是的一个排列的最大数是（C）\n（A）4（B）6（C）8（D）9一、填空题：7.若实数、满足条件，则的取值范围是___________________.【答案】.提示:令.8.对于给定的正整数，等式成立，则所有的一定形如_____________.（用的组合数表示）【答案】().提示:由得,从而().9.一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望=_________________.【答案】提示:取值为0,1,2,3，且有，，，..10.设点F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点、以F2为焦点。设P点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E的离心率满足，则的值为_______.【答案】11.已知,关于的方程,则这个方程有相异实根的个数情况是_________________.【答案】0或2或3或4.提示：令，利用数形结合知：当时，方程无实数根；当时，方程有2个实数根；当时，方程有3个实数根；当时，方程有4个实数根。\n12.函数（）的单调递增区间是______________________.【答案】.提示：（），利用典型函数来分析；本题也可直接依函数的单调性定义来分析。一、解答题：13.向量、、满足条件，，试判断△P1P2P3的形状，并加以证明。解:∵，∴，∴.又∵，∴，∴，∴，在△P2OP3中，由余弦定理可求得.同理可求得，.∴△P1P2P3为正三角形.14.设数列满足（），求证：.证明:由题意知当时,,命题成立；当时，由，得，∴，，从而有.15.设函数，其中（1）求的取值范围，使得函数在上是单调递减函数；（2）此单调性能否扩展到整个定义域上？（3）求解不等式\n解：（1）设，则设，则显然.∵,∴,∵,∴只需要,就能使在上是单调递减函数；（2）此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之；（3）构造函数，由（1）知当时，是单调递增函数。∵，∴，∴，∴所求解集为.