全国高中数学联合竞赛试题 4页

全国高中数学联合竞赛试题一、选择题1.已知△ABC，若对任意，，则△ABC一定为A．锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定2.设，则的取值范围为A．B．C．　D．3.已知集合，,，且，则整数对的个数为A.20B.25C.30D.424.在直三棱柱中，，.已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为A.B.C.D.5.设，则对任意实数，是的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．棱长为的正八面体的外接球的体积是()A,B,C,D,二、填空题7.设，则的值域是8．若对一切R，向量的模不超过2，则实数的取值范围为9.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.10．方程的正实数解的个数为.11．等比数列，，的公比是_________。三.解答题12.在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。证明：∠MDC≤45°。13．设∠A，∠B，∠C是ΔABC的三个内角。若向量，且m•n=.(1)求证：tanA•tanB=；(2)求的最大值。14．如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ\n答案：1.已知△ABC，若对任意，，则△ABC一定为A．锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定【答】（C）【解】令，过A作于D。由，推出　,令，代入上式，得，即,也即。从而有。由此可得。2.设，则的取值范围为A．B．C．　D．【答】（B）【解】因为，解得.由解得；或解得，所以的取值范围为.3.已知集合，,，且，则整数对的个数为A.20B.25C.30D.42【答】（C）【解】　；。要使，则，即。所以数对共有。4.在直三棱柱中，，.已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为A.B.C.D.【答】（A）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）。所以，。因为，所以，由此推出。又，，从而有。5.设，则对任意实数，是的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答】（A）【解】显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出，即。6．棱长为的正八面体的外接球的体积是()A,B,C,D,【解】可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,外接球的体积,选D.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.设，则的值域是。\n【解】　。令，则。因此。即得。　　　　　　　　　　　　　　　　8.若对一切R，向量的模不超过2，则实数的取值范围为.【解】依题意，得（）（对任意实数成立）.故的取值范围为。9.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.【解】设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水＝。　　　　　10.方程的实数解的个数为1.【解】要使等号成立，必须　，即。但是时，不满足原方程。所以是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为1。11．等比数列，，的公比是_________。设公比为q，由已知条件知，，由比例性质，12．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。证明：∠MDC≤45°。证明：设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，　　∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又　　2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，　　∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。13．设∠A，∠B，∠C是ΔABC的三个内角。若向量，且m•n=.(1)求证：tanA•tanB=；(2)求的最大值。（1）由m•n=,得，即亦即4cos(A-B)=5cos(A+B).所以tanA•tanB=（2）因，而\n所以tan(A+B)有最小值。当且仅当tanA=tanB=时，取得最小值。又tanC=-tan(A+B)，则tanC有最大值故的最大值为14．如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则Q,P(0,0,1),D得,由,有,得①若方程①有解,必为正数解,且小于.由,,得.(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;(ii)当时,BC上不存在点Q,使PQQD.(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,这时,,得,有.又平面APD的法向量,设平面PQD的法向量为而,,由,得,解得有,则,则所以二面角的正切为.