全国高中数学联合竞赛模拟试题 10页

全国高中数学联合竞赛一试模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.已知A={x|x2—4x+3<0,x?R},B={x|21x+a<0,x2—2(a+7)x+5W0,x?R}若A二B,则实数a的取值范围是^222.已知椭圆^才1的左右焦点分别为Fi与F2，点p在直线1IPF"的值为PF2x-、.3y8八八0上.当.F1PF2取最大值时，比3.设f(x)=sin4x-sinxcosxcos4x,贝Uf(x)的值域是4.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为一.5.函数y=x+Jx2—3x+2的值域为.6.已知正整数n不超过2000,弁且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是.7.用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x—[Igx]—2=0的实根个数是.&各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为Sn，若S0=10,S30=70,贝U9。等于二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)如图，有一列曲线P0,P1,P2,……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。①求数列{Sn}的通项公式；②求limSn。n-JpC10.(本题满分20分)如题10图,P是抛物线y2=2x上的动点，点B,C在y轴上，圆(x-1)2y2\n=1内切于PBC,求PBC面积的最小值［解］设P(x0,y),B(0,b),C(0,c)，不妨设bc.\n直线PB的方程：yx,X0化简得（yo_b）x一+？=0.又圆心（1,0）到PB的距离为1,y-b7y0J)x022故(y-b)-x0=(y-b)易知x02,上式化简得22xDb(y-b)xb,(怡-2)b2?2yb-X。=0,同理有(xo-2)cA2yoc「xo=0.…IO分22X0-2Y所以bC=fS,bc,则(b-c)2"4"(xA-2)2.9因P（x\y。）是抛物线上的点,有y=2x。,则"寺，b-C壬-4X5分、1所以SPBC(b-C)x02x0-2X。xa4，八，/42..4(x0.2)x2一0.4=8.焉一2当（X0-2）2=4时，上式取等号，此时…20分因此SPBC的最小值为8.11.（本题满分20分)设f(x)=x2a.记fl(xHf(x)=2,3,山，M{a?R对所有正整数n,fn(0)玄2}.证明：M1、填空题：本大题共【解】A=（1,3）;8小题,每小题8分，共64分.又,/?1-xa<24<1?(一a<1.1,4),X2+5当x?(1,3)时，a>2x7?(.5-7,4).2、【解】由平面几何知，要使？F1PF2最大，则过F1,F2,直线I相切于PAPFj=/AF2P,即点的圆必定和\n点。设直线I交x轴于A（-8-2、，3,0）,贝U?\nAPFjLAF2P，即PF1AP(1)AF2(1)PF2\n又由圆幕定理，AP=AFiAF2(2),而Fi(-2胎0),F2(2逅0),A(—8-2j3,0),PFiPF2一8I.Vlo3、【解】f(x)=sin4x有AFi=8,AF2=8+4八3。代入(1),4-2、3sinxcosxcos4x=1—4n2x-dn22x。22f(x)=g(t)=1t-一t2281(t「J1因此mning(tHg(1)=--i9。即得03等价于±2£或1Iogx2,一I亨log;x2日「11」17即一一.一一.log;x2logx22此时log1x:0.2272二解为x>4或0