清北学堂高中数学竞赛试题 29页

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羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁清北学堂高中7+1课程09暑假数学特训班测试一试题解答一、选择题（满分36分，每一题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{bn}(C)(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数2．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是(D)(A)0(B)1(C)2(D)33．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是(B)(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)答案不确定4．二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为（）解析：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函数图象知，同号，而由中一次函数图象知异号，相矛盾,故舍去.又由知，当时，，此时与中图形不符，与中图形相符.故选5．直线与抛物线中至少有一条相交，则m的取值范围是（B）A、B、\nC、D、以上均不正确解析：原命题可变为，求方程：，，中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，使得所求.即变为解不等式组得，故符合条件的取值范围是或，应选.6．有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（C）A、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；B、至少有两条过同一个点；C、至少有三条过同一个点；D、至少有四条过同一个点；提示：如图，设为满足要求的直线，将平行四边形分成两个梯形，易知，要使这两个梯形面积之比为2：3，只要其中位线比为2：3，即:=2：3，象这样的点有四个（图中），且适合条件的九条直线必过这四点中的一个点.根据抽屉原理知，其中必有3条直线过同一个点.故选C二．填空题1．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是__6__．2．已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是．3.已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_43．4.如果,那么的最大值是.5.已知是满足,的实数解,试求最大值.\n6.若表示不超过的最大整数（如等等）则＝2003．提示：====1三．解答题(满分20分)二次函数，，，，，求：取最大时解析式解：将其带入，取“=”，，，（由确定），，，此时总结：未知和已知建立联系，四.解答题(满分20分)设二次函数的图象以y轴为对称轴，已知，而且若点在的图象上，则点在函数的图象上。分析由已知条件的解析式不难求得，欲求，可按定义分别求出内分别是减函数，增函数的的范围，求出它们的交即可。解（1）因的对称轴为y轴，故，从而。设在的图象上，即，则点在的图象上，即。故，因此，。（2）由（1）可得。\n设，则要使在内为减函数，只需，但，故只要，所以。然而当时，，因此，我们只要，在，内是减函数。同理，当时，内是增函数。综上讨论，存在唯一的实数，使得对应的满足要求。五.解答题(满分20分)已知曲线，，为正常数．直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、、、4个点，为坐标原点．（1）若，求证：的面积为定值；（2）若的面积等于面积的，求证：．BACQPyOCxDBA解：（1）设直线：代入得：，得：，设，，则有，，设，，易得：，，由得，故，代入得\n，整理得：，又，，，=为定值.（2）设中点为，中点为则，，所以，、重合，从而，从而，又的面积等于面积的，所以，从而.试卷分析本试卷包括五道大题。第一大题为选择题，包括6个小题。第1小题为简单的数列问题。第2小题主要考查排列组合问题。第3小题为解析几何与平面几何的一个简单的综合问题。主要考查第4小题为简单的二次函数与一次函数解析式中系数关系判断位置关系的问题。第5小题为解析几何中根据相互关系确定求知参数的问题。第6小题为组合问题。主要考查了平面几何中关于梯形的基础知识及组合中抽屉原理的运用能力。第二大题为填空题，包括6个小题。第1小题为数论中的整数问题。第2小题为解析几何中双曲线基础知识问题，主要考查了基本概念及其运用。第3小题为一个简单综合题，属于解析几何与集合及排列组合的综合。主要考查直线与集合的基本概念和排列组合的基本运用。第4小题为条件限制下关于含有多元的二次根式极值问题。第5小题为简单的极值问题。第6小题为高斯函数的简单应用。主要考查了高斯函数基本概念的理解、数列通项的确定及二次根式化简变形能力。第三大题为二次函数确定解析式问题。本质上仍是确定各项系数，但方法是通过绝对值不等式及极值办法解决。第四大题为二次函数的综合运用。主要考查了函数解析式的确定、函数的增减性问题。第五大题为解析几何与平面几何三角形面积的综合问题。主要考查的韦达定理的运用、三角形等底等高面积关系。综合来看，整个试卷作为特训试卷因为针对性测试而知识点覆盖面不大，技巧方面考查不是太多，总体难度不大，大多属于中等偏下程度题目。个别题目如第一大题中的第6小题技巧上有一定难度，方法上不易联想，第三——第五大题在方法上属于常规方法，但是第三大题与待定系数法等普通方法确定解析式有所不同，但还是比较容易想到的。\n清北学堂高中7+1课程09暑假数学特训班测试二一．填空题1、若非零复数满足,则的值是1.解析：,得或.(1)当时,原式===;(2)当时,同理可得:原式=1.评注：本题涉及单位根的应用。主要考查学生利用单位根的性质进行化简求值能力。难度不是很大。2.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数和为1987，对于所有的m与n，求3m+4n的最大值221评注：本题涉及利用不等式求解最大值。主要考察学生利用奇偶数的特点进行代换求值。3.8位乘客，随意踏上6节车厢，使得恰有两节车厢空着的上法有612360.解答：（1）哪4节车厢上有客？（2）4节车厢必有客，从反面想，。为上无客的任意上车方法。则4节车厢每车均有客是，且。[容斥原理解题]上车方法为\n评注：本题考查概率中容斥原理的理解和应用，关键在把问题化简，分步完成。4.设为常数，函数为一次函数，若＝，＝1，且关于x的方程＝的根是x1=1，x2=3，x3=-2，则的值为-5．解析：由＝，＝1求得a=2，b=2，又因为方程＝的根是x1=1，x2=3，x3=-2，∴直线与抛物线交于（1，1）和（3，5）两点，故=，∴另一交点为（-2，-5），∴c=-5．评注：本题考查分段函数以及一次函数的特点。主要关键在待定系数的确定，以及抛物线和直线的交点的确定。5.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是。评注：本题考查数形结合的应用。关键在利用函数知识求出交点，以及切线方程，利用几何原理求解所围面积。6.设，数x的个位数字9解析：令，由二项式定理知，对任意正整数n.为整数，且个位数字为零.因此，x+y是个位数字为零的整数.再对y估值，因为，且，所以故x的个位数字为9.评注：本题考查对二项式定理以及不等式的应用。关键在二项式的构建，以及分数有理化的应用。7.已知a>0,a≠1，试求方程loga(x－ak)=(x2－a2)有解时,k的取值范围(－∞,－1)∪(0,1)评注：本题涉及对数的定义域的考察，关键在对数的变换，求值。8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，PÎBC1，QÎBC，则D1P+PQ的最小值是2评注：本题涉及立体几何动点求值的问题。关键在取得最小值点。二、解答题：1．（14分）设A，B，C分别是复数Z0=ai,Z1=+bi,Z2=1+ci(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(tÎR)与△ABC中平行于AC的中位线只有一外公共点，并求出此点\n解析：设,则实虚部分离,可得,即①又因为A,B,C三点不共线,故,可知所给曲线是抛物线段(如图)OABCDE1xy0.5AB,BC的中点分别是,,所以直线DE的方程为②由①,②联立得由于,得,注意到,所以,抛物线与平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点,此点的坐标为,其对应的复数为.评注：本题考查对复数的理解应用。关键在利用数形结合，利用复数公式求出中点，以及平行的特点。2．（15分）设数列{}满足满足+对成立（1）求证：{}为整数列并求通项公式（2）求证：是一个完全平方数\n评注：考察数列的相关知识。关键在巧妙的应用代数替换化简求值，需要一定的代换技巧。3、（15分）设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.分析与证明：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有：BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一点两心.\n评注：本题考查正多边形性质。关键在对三角形内心（重心/角平分线交点）以及垂心的应用。二试1、给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。解析：(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,…,ak，且1≤a1≤a2≤…≤ak，ai∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为xiai,xi∈｛-1，0，1｝．若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，…,n的物品，则上述表示式中含有1，2，…，n，由对称性易知也含有0，-1，-2，…，-n，即　　｛xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±n｝．　　所以，2n+1=|｛0，±1，…，±n｝|≤|｛xiai|xi∈｛-1，0，1｝｝|≤3k，　　即n≤　　设