高中数学竞赛模拟试题一汇总 20页

高中数学竞赛模拟试题一试(考试时间：80分钟满分100分)、填空题(共8小题，87=56分)1已知，点(x,y)在直线x2八3上移动,当2x4y取最小值时,点(x,y)与原点的距离是。2、设f(n)为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和，比如f123=122232=14。记fdn)=f(n)，f」n)=ff(n))，k=1,2,3...，贝Uf2010(2010^。3、如图，正方体ABCD-A1BGD1中，二面角A-BD1-A1的度数4、在1,2，…,2010中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率则丄的最大值a+c5、若正数a,b,c满足」bJb+ca+ca+b6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(-1,2)和N(1,4),数学\n点P在X轴上移动，当•MPN取最大值时，点P的横坐标是。7、已知数列a°,a1,a2,…，a.…,满足关系式(3-a.J(6a.)=18且a。=3，则数学\nn-丄的值是i卫a-i&函数f（x）=sinxcosxsinx+tanxtanxcotxcosxtanxsinx+cosx+喻x+cotx在（。二）时cosxcotxsinxcotx‘2的最小值为二、解答题(共3题，14151^44分)9、设数列®｝满足条件：a^1,a^2，且a..2=a.1•a.(n=1,2,3，…)求证：对于任何正整数n，都有：*兀列■■-an\n10D41|AB|=|BC|=|CD|AOD2:BOC1心AOD13O|AB|=|BC|=|CD|\n11已知Ct、0是方程4x?—4tx—1=0("R)的两个不等实根，函数f(x)=器的定义域为[:].x1(I)求g(t)二maxf(x)-minf(x);(H)证明：对于Ui•(0,?)(i=1,2,3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1,则」113g(tanujg(tan匕)g(tan匕)4\n（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图，LOi和L。2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证：直线PA与BC垂直。数学\n50x,y,z数学数学z5-z25—2—2-0zxyx5-x2x5y2z252y-y522yzx数学数学\n三、（本题50分）对每个正整数n,定义函数0（当n为平方数）_If（n）=［」=］（当n不为平方数）{-n}240（其中［X］表示不超过x的最大整数，{X}二x_［x］）。试求：Vf（k）的kT值。数学\n50A1,A2,A3,A4,A5,A6,A790Ai,A2,A3,A4A5,A6,A713\n答案与解析、填空题1、3^。2x4"_2.2^^^=4：2.x=-,y=-时取最小值,此时424-223、.5xy=42、4。解：将f(2010)=5记做2010》5，于是有2010>5>25>29>85>89>14^42>20>4>16>37>58>89从89开始，齢是周期为8的周期数列。故2010(2010)=f2005(89)=f5.2508(89)=f5(89)=4数学数学3、60。A—BD1—A的平面角。连结AC，设AB=1，贝UAC二AD1在Rt：ABD1中，AE二*严=2,BD11_-2,=—•4_2-C222AECE—AC在■AEC中，cos.AEC二2AECE222AE—AC2AE2解：连结DQ,作CE丄BD,垂足为E,延长CE交AB于F,则FE_BD1，连结AE，由对称性知AE_BD—•FEA是二面角数学数学■AEC=120。，而.FEA是.AEC的补角,■FEA=60。。4、O4018解：三个数成递增等差数列，设为a,ad,a2d,按题意必须满足a2d乞2010,d岂1004。对于给定的d,a可以取数学数学1,2j||,2010-2d.数学\n1004、(2010-2d)二1005*1004.d41005*100433=C201040185E—1bca4acabbcab=x,bc=y,ca=zx+z—y,x+y—za,b,c=yz-x222数学数学xyyzzx-1zJ+>—zxyxxy4t,t>—1ztbxy--zt1ac2z22Z1亠1,yxy1.171-.17tt:22.17-1461.M,NMNS(a,3-a)S(x-a)2(y-3a)mpnM,N,PxPSa2(1a2)=(a-3)2,a=1a=—7.y=3-x=2(1a2)S数学数学P(1,0)P(—7,0)M,N,PP(1,0)M,N,PNMPNaNMP'N1.数学\n7、1⑵2八3）・解：设bn—n=0,1,2,…,则(3—)(6丄)"8,anbn卑bn111即3bn1-6bn-1=0..bn1=2bn3,bn13二2(bn-)333故数列｛bn3｝是公比为2的等比数列，3bn1=2n31n111n*1n卑(bo护2(匸3匕2r2-1)。数学数学nzi：oa1Jiz0n10八1(2i1-1)i=03」型1"])亠3|L2-13数学数学f(x)=(sinxcosx)'1\jcosx+tanxsinx+cotx丿&4.解:卜(tanx+cotx)\sinx+tanxcosx+cotxj数学数学丄(sinx亠cosx)sin4x亠tanx亠cosx亠cotx亠(tanxcotx)sin4x亠tanx亠cosx—cotx数学（由调和平均值不等式）二4要使上式等号成立，当且仅当sinx+tanx=cosx+cotx(1).tanx+cosx=cotx+sinx(2)(1)—(2)得至Usinx-cosx=cosx-sinx,即得sinx=cosx。因为x(0,-),所以当x二：时，f(x)二f(?=4。所以minf(x)=4。数学\nao=1,ak1=akak1-ak1d(k=1,2,)ak11_n4比可+n：a。Va2a3an+\a2a1a1H|a2a3a0=a1=1I®10y二kxbA222(1_k2)x2_2bkX_b2-022b2m(1-k2)0B(Xi,yJC(X2,y2)X1X22bk一1-k2x1x22「(bm)1-k2Ag,y3)X3b1-kX4|AB|=|BC|=|CD|-b1k1IBCF3IADI数学\n代入得C|晋整理得：八8"心。，AOD=90,又|OA|=.2|—|，|OD|=.2|1-kSaod[Kr8m为定值.b2(2)设BC中点为P,AD中点为则xpx1x2bkx3x4bk21-k2'«一2一1-k2'所以XpXq，P、Q重合，从而|AP|=|DP|，从而|AB|HCD|，又:BOC的面积等于AOD面积的1，所以|BCR1|AD|，33从而|ABgBC|=|CD|.11解：(I)设a兰X1VX2兰B,则4x；—4tXi-1兰0,4x；—4tX2-1兰0,.4(x2x；)-4t(^屜)-2岂0,.2^x^-t(x1x2^1::02x2-12xi-1则f(dx；1X：1(x2〔t(xix2)_2xix22122(X21)(X11)1又t(%x2)-2x^22t(Mx2)-2x^20f(x2)-f(xj0故f(x)在区间I：-/1上是增函数。■g(t)=maxf(x)-minf(x)=f(J-f(：)二(『■•：£)・J2"'21数学\n_+1T28、厂i(2t25)16t22516(H)证:g(tanUi)=cosui(co?U23)亠24cosuicosui21624169169cos2cosUi2Ui16.6>-—9O169cosui169cosui(i=1,2,3)13(16■9cos5)iig(tanuj16,6y1(1639316一6329)、sinui)3sinq=1,且u「(0—),i=1,2,3i12JI3■3二sinuii吕o-(二sinuj二1,i4而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，1(75-9丄)=3二g(tanudg(tanu?)g(tanu3)16、634、证明：延长PA交EF于D，贝廿PEG和PHF分别是ACD与ABD的截线，由梅涅劳斯定理得:DEfGAPECGA^PDBF|DPAHFDPA"HB丫_。1,_02都是ABC的旁切圆，数学\n.EC=CG=1(BCCAAB)DEGAAHFD丫RtAGOi_RtAHO2DEFDAHGAAO1AO2O1,A,O2O1E_EFQ2F-EF,PA_BC25x-x-522xyzy5z2x2x2-5x2x~5y2亠2yzT~__2zx22xy-5zxxyz_1/52(xyz2)(yzz2)_(x%xyzz2)2-(x2y22)2,x2-5x22yz22y■z+2*2yzy■z~22xyz2.2.2xyz5.匸.__2xyz222xyz522yzx222xyz-522zxyx2y2z22z22xy.2.2zxzx2zxyx2y<_x222z2-xyyzzx2.2.2xyzx5225yzxz2.2.2十y十z22.2xyxyyzzx3x2y2z2_3\n数学三、解：对任意a,k•N*,若k2:::a:::(k1)2,贝廿仁a—k2空2k,设a=kv,0：：：v：：：1,则丄一丄一心£王刊•［丄I王］贝{.a}Da-k「a-k2「a-k2a-k2人［{一a}］"a-k2］.让a跑遍区间(k2,(ki)2)中的所有整数，则'【+］=/【空］,k2::a：(k-1)2{a}iAI于是叮f(a)，'2k［当……①a-1i4i4i2kci下面计算v［空］,画一张2k2k的表，第I行中，凡是I行中的位i吕i数处填写“*”号，则这行的“*”号共［空］个，全表的“*”号共f［空］iyi个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T(j)个正2k2k2k2k、T(j)个，因此v［〒］八T(j).j壬2k2k示例如下:因数，则该列使有T(j)个“*”号，故全表的“*”号个数共Ap234561******2***3**i=1ijA数学\n数学\n4*56*nn2k则'f(a)；二T(j)二n[T(1)T(2)](n-1)[T(3)T(4)「[T(2n-1)T(2n)]i1i-1j-125615由此，'f(k)八(16-k)[T(2k-1)T(k)]③k=1kA记ak=T(2k-1)T(2k),k=1,2',15,易得ak的取值情况如下:k123456789101112131415ak35667869888107101016n15因^匕，'f(k)八(16-k)a“783④k=1k二1据定义f(256)=f(162)=0,又当k{241,242/,255},设k=152r(16岂心30)，■k-15=也52r-15-訥52+r+1531r152r15r30数学数学::31：2，则r=1,k{241,242,,255}301兰—£—i~r{J52r}240256从贝y'f(k)=783-7f(k)=783-15=768.i±i=1四、解：设各人上场时间分别为7t1,7t2,7t3,7t4,13t5,13t6,13t7(ti为正整数).得方程7(t1t2t3t4)13(t5t6^)=903.令t1t2t3t^x,t5t6t7二y.得方程7x13^270.数学\n6y三4(mod7),3y三2(mod7),y三3(mod7)二y=3,10,17,x=33,20,7.t5+t6丹7=3.1t5+t6+t7=10.C92七5+七6+t?=17.C161+t2+t3+t4=33.C323X卄2H3"4=20,C193t1卄2廿3"4=7,C61C；2c；C16C9C19=42244