2013全国高中数学竞赛加试题 4页

2013全国高数学竞赛加试题2. 设m和n是正整数，a1，a2，…，am是集合{1，2，…，n}中的不同元素，每当ai+aj≤n，1≤i≤j≤m，就有某个k，1≤k≤m，使得ai+aj=ak，求证：3.在木板上写有若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替(代替0和1的是2，代替1和2的是0，代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法，最后在木板上只留下一个数字，那么与它们操作的次序无关．4. 求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x，y）．-4-\n2. 设m和n-4-\n是正整数，a1，a2，…，am是集合{1，2，…，n}中的不同元素，每当ai+aj≤n，1≤i≤j≤m，就有某个k，1≤k≤m，使得ai+aj=ak，求证：【题说】第三十五届（1994年）国际数学奥林匹克题1．本题由法国提供．【证】不妨设a1＞a2＞…＞am，若存在某个i，l≤i≤m，使ai+am+1-i≤n．则ai＜ai+am＜ai+am-1＜…＜ai+am+1-i≤n由已知，得i元集这不可能，于是对1≤i≤m，恒有ai+am+1-i≥n+1．从而2（a1+a2+…+am）=（a1+am）+（a2+am-1）+…+（am+a1）≥m（n+1）3.在木板上写有若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替(代替0和1的是2，代替1和2的是0，代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法，最后在木板上只留下一个数字，那么与它们操作的次序无关．【题说】第九届(1975年)全苏数学奥林匹克八年级题6，十年级题5．【证】假设0的个数是p，1的个数是q，2的个数是r．在每次操作后，p、q和r分别增加或减少1，即p、q、r改变一次奇偶性．当木板上只留下一个数字时，p、q、r三个数中，一个为1，另两个为0．由此可见，p、q、r三数中，必有一个的奇偶性与另外两个奇偶性不同；与它对应的数字最后留在木板上．4. 求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x，y）．【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题8．【解】由条件得（2x2+1）（y2－13）=1188=22×33×11-4-\n从而2x2+1与y2－13均为22×32×11的因数．又2x2+1是奇数，故2x2+1为33×11=297的因数．由下表可知，所求的正整数解为（4，7）和（7，5）．-4-