浙江省高中数学竞赛试题 6页

年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题分，共分）.已知[5,3]，则1sin21sin2可化简为（）42．2sin.2sin.2cos.2cos．如果复数a2i1i的模为，则实数的值为（）A..22.2.22.设，为两个互不相同的集合，命题：xAB，命题：xA或xB，则是的（）.充分且必要条件.充分非必要条件.必要非充分条件.非充分且非必要条件.过椭圆x2y21的右焦点F2作倾斜角为45弦，则AB为（）2.264642433...333.15xx0，则该函数为（）函数f(x)5x1x0A.单调增加函数、奇函数.单调递减函数、偶函数.单调增加函数、偶函数.单调递减函数、奇函数.设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）正视图侧视图俯视图（圆和正方形）53....222．某程序框图如右图所示，现将输出（x,y)值依次记为：(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn),;若程序运行中输出的一个数组是(x,10),则数组中的x（）1/6\n．．．．.在平面区域(x,y)|x|1,|y|1上恒有ax2by2，点P(a,b)所形成平面区域的面（）....已知函数f(x)sin(2x6)m在0,上有两个零点，的取范2（）.1,11,1.1,1.1,12222.已知a[1,1]，x2(a4)x42a0的解（）.x3或x2.x2或x1.x3或x1.1x3二、填空（本大共有小，将正确答案填入干后的横上，每空分，共分）.函数f(x)x3cosx的最小正周期。2sin2.已知等差数列an前的和S15，a1a8a15..向量a(1,sin)，b(cos,3)，R，ab的取范。.直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC是正三角形，，分BB1，CC1上的点（含端点）上的中点，且PDPE。直AP,PE的角。．x,y数，2max210x(x2y2)。5x4y.路上有号，，，⋯，的只路灯，用要求关其中的只灯，但不能同关相两只，也不能关两端的路灯，足条件的关灯方法共有种。（用合数符号表示）.设x,y,z整数，且xyz3,x3y3z33，x2y2z2。三、解答（本大共小，每小分，共分）.设a2，求y(x2)x在[a,2]上的最大和最小。.定两个数列xn，yn足x0y01，xnxn1(n1)，ynyn21(n1)。xn112yn122/6\n明对于任意的自然数，都存在自然数jn，使得ynxjn。x2y21，过其左焦点F1作一条直线交椭圆于，两点，(a,0)为F1右侧一点，连、分别.已知椭圆4252交椭圆左准线于。若以为直径的圆恰好过F1，求的值。年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准3/6\n．解答：因为[5,3]，所以1sin21sin2cossincossin422cos。正确答案为。．解答：由题意得2a244a2。正确答案为。．解答：是的充分非必要条件。正确答案为。.解答：椭圆的右焦点为（，），则弦为yx1,代入椭圆方程得3x24x0x10,x24AB2(x1x2)242。正确答案为。33.解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为。.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为52221342。正确答案为。2.答案经计算x32。正确答案为。.解答：平面区域(x,y)|x|1,|y|1的四个边界点（—，—），（—，），（，—），（，）满足ax2by2，即有a2b2,a2b2,a2b2,a2b2,由此计算动点P(a,b)所形成平面区域的面积为。正确答案为。.解答：问题等价于函数f(x)sin(2x)与直线ym在0,上有两个交点，所以的取值范围为621,1。正确答案为。2.解答：不等式的左端看成a的一次函数，f(a)(x2)a(x24x4)由f(1)x25x60,f(1)x23x20x1或x3。正确答案为。.解答：最小正周期为。.解答：由S1530a17d2，而a1a8a153(a17d)6。.解答：ab(1cos)2(sin3)252(cos3sin)54sin()，其最6大值为，最小值为，取值范围为[，]。.解答：因为平面⊥平面BCC1B1，⊥，所以⊥平面BCC1B1，所以⊥，又⊥，⊥平面，所以⊥。即4/6\n夹角为90。.解答：5x24y210x4y210x5x200x24(x2y2)10xx225(5x)22532x2y24.解答：问题等价于在只路灯中插入只暗灯，所以共有C1710300种关灯方法。.解答：将z3xy代入x3y3z33得到xy3(xy)98，因为x,y都是整数，所xyxy1xy4xy2xy8以xy2,,xy1,xy16,前两个方程组无解；后两个方程组解得xy5xyz1;xy4,z5。所以x2y2z2或。.解答：当x0,y(x1)21,当x0,y(x1)21,由此可知ymax0。当1a2,ymina22a；当12a1,ymin；1当a12,ymina22a。.解答：由已知得到：112112(11){11}为等比数列，首项为，公比为，xnxn1xnxn1xn所以112n1xn1。xn2n11又由已知，yn1(yn11)2yn1(yn11211(11)212yn1yn)ynyn1yn1由1121122nyn1，所以取jn2n1即可。y0yn22n1.解答：F(3,0),左准线方程为x25;AB方程为yk(x3)(k为斜率)。135/6\nyk(x3)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2y2(1622224得0002k5x)1k50x2k2525116设M(25,y3),N(25,y4)。由、、共线y3(3a25)y1,同理y4(3a25)y2。333(ax1)3(ax2)又F1M(16,y3),F1N(16,y4),由已知得F1MF1NF1MF1N0，33得y3y4256,而y3y4（2256k2（22563a25)y1y2，即3a25),整理得99(ax1)(ax2)1625k29(ax1)(ax2)9(1k2)(16a2400)0a5,又a3,所以a5。6/6