南昌市高中学竞赛试题3 答案 4页

南昌市高中数学竞赛试题3答案一、填空题（共题，每题分，合计分）、十二个互不相同的正整数之和为，则这些正整数的最大公约数的最大值是．答案：．解：设最大公约数为，个数分别为，其中，记，则，欲使最大，当使取最小，由于互异，则，因，但，其大于的最小正因数是，所以，且可以取到，只需令即可．、函数（），若，则．答案：.解：由，即，所以、设，则．答案：解：因，所以，即，所以．、设.如果非空集合M满足M的各元素加4后成为A的一个子集，M的各元素减4后也成为A的一个子集，则M=．答案：解：取，，\n，因M非空，.、若，则函数的值域是．答案：解：令，则，于是，又，因，则，即，因此．、设函数，且满足对任意的,则_____________________.答案：解：交换得，故为常数.设，由，得，即，上式对任何实数皆成立.故，则.、数列满足：，则．答案：.解:条件可改写为,若令,则,且,所以,,于是,即有．、如果四位数的四个数位中至多含有两个不同的数码，则称为“简单四位数”；例如和等等，那么，简单四位数的个数是．答案：．解：如果四位数的四个数码都相同，则这种四位数有个；如果四位数的四个数码有两个值，首位数有种取法，当首位数\n填好后，再任取，且，选取的方法有种；后三个数位中，每一位置都可填或，但是不能后三位全填，有种填法，即四个数码有两个值的情况有种；因此简单四位数共有个．二、解答题（共题，合计分）、（分）是正三角形的中心，是其所在平面上的任意一点，以为直径的圆分别交直线于，；证明：．证：由五点共圆，，可知，，所以为正三角形；设其边长为，先证引理：是正三角形外接圆上的任一点，则为定值.事实上，设的边长为，，则有，因此，故引理成立.由引理立得，.、（分）设，约定，证明：．证：因，令约定，则，\n所以、（分）一次足球邀请赛共安排了支球队参加，每支球队预定的比赛场数分别是，如果任两支球队之间至多安排了一场比赛，则称是一个有效安排；证明：如果是一个有效安排，且，则可取掉一支球队，并重新调整各队之间的对局情况，使得也是一个有效安排．证：设预定比赛场的队为，；（）、如果的场比赛，其对手恰好就是，那么，直接去掉（当然所参与的所有比赛也就被取消了），则剩下的队之间的比赛，以为有效安排．（）、如果球队中，有些队并未安排与比赛，设在中，自左至右，第一个未安排与比赛的队是，由于要赛场，那么在之外必有一个队安排了与比赛，设为，由于，故必有一个队，它被安排了与比赛而未安排与比赛，如图所示．今对原安排作如下调整：取消两队间、两队间的比赛，改为两队间，两队间进行比赛，其它比赛安排不变；经过这一次调整之后，所有球队的比赛场数不变，且是一个有效安排．而第一个不与比赛的队的序号，至少后移了一个位置；故经有限次这样的调整之后，就化成了情形（），因此结论得证．