2009全国高中数学联合竞赛试题 7页

2009全国高中数学联合竞赛一试试题（考试时间10月11日8：00－9：40）本试卷共二个大题，满分100分，不能使用计算器一、填空题（本大题共8小题，每题7分，共56分）1、若函数，则；2、已知直线L：和圆M：，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB过圆心M，则点A的横坐标的范围为；3、在坐标平面上有两个区域M，N，M为，N是随t变化的区域，它由不等式所确定，t的取值范围是，设M，N的公共面积是，则＝4、使不等式对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为5、椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|·|OQ|的最小值为6、若方程仅有一个实根，那么k的取值范围是7、一个由若干数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排除的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）。8、某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8：10-9：108：30-9：308：50-9：50概率一旅客8：20到站，则他候车时间的数学期望为（精确到分）二、解答题（本大题共3小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1、（本题14分）设直线（其中k，m为整数）与椭圆交于不同的两点A，B，与双曲线交于不同的两点C，D，问是否存在直线使得向量\n，若存在，指出这样的直线有多少条，若不存在，请说明理由。2、（本题15分）已知是实数，方程有两个实根α，β，数列｛an｝满足.（1）求数列｛an｝的通项公式（用α，β表示）（2）若，求数列｛an｝的前n项的和.3、（本题15分）求函数的最大值和最小值。\n2009全国高中数学联合竞赛二试试题（考试时间10月11日9：40－12：10）本试卷共四个大题，满分200分一、（50分）如图，M,N分别为锐角三角形ABC（∠A＜∠B）的外接圆Γ上弧的中点。过点C作PC∥MN交圆Γ于P点，I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆Γ于T。（Ⅰ）求证MP·MT=NP·NT（Ⅱ）在弧（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记△AQC，△QCB的内心分别为，求证：共圆。二、（50分）设，且均为有理数。求证：存在满足（Ⅰ）（Ⅱ）都是有理数三、（50分）已知无穷数列｛an｝满足，，n＝4，5，…，求证：对任何正常数m，存在某个正整数n，使得m|。四、（50分）设M为整数集Z的一个含0的有限子集，又设为两个单调非增函数（即若则），且满足。求证：在M中存在整数使得\n2009全国高中数学联合竞赛一试参考答案一、填空题1、探究易得2、[3,6]设A(a，9－a)，则圆心M到直线AC的距离d＝AMsin45°，由直线AC与圆M相交，得，解得3≤a≤63、4、设。显然单调递减，则由的最大值，得a＝20095、设P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos(θ±)，|OQ|sin（θ±））由P，Q在椭圆上，有，于是当|OP|＝|OQ|＝时，|OP|·|OQ|达到最大值6、\n由二次方程得，（1）当时，又，所以原方程有一个解。（2）当k＝4时，原方程有一个解（3）当k>4时，且，不合题意，舍去综上所述：7、101×该表共100行；每一行构成一个等差数列，且公差依次为设第n（）行的第一个数为，则，两边同除以，得，得，8、27旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题9、9条由消去y，得\n设，则，且同理由消去y，得设，则，且因为，所以，得，即＝，得当k＝0时，得，m是整数，m＝当m＝0时，得，k是整数，m＝。于是满足条件的直线有9条。10、（Ⅰ）时，；时，(Ⅱ)（Ⅰ）由韦达定理αβ＝q（q≠0），α＋β＝p∴即，设，由得，于是，∴当时，，，，即当时，，化为,所以\n综上所述：时，；时，（Ⅱ），则，此时，利用错位相减法易得11、函数定义域为[0,13]，因为当且仅当x＝0时等号成立。故y最小值为又由柯西不等式所以，当且仅当，x＝9y取得最大值11综上所述