高中数学联合竞赛模拟试题二 3页

高中数学联合竞赛模拟试题二第一试一、选择题（每小题6分，共计36分）1.若a＞1，且a－x＋logay＜a－y＋logax，则正实数x，y之间的关系适合A.x＞yB.x＝yC.x＜yD.大小关系与a有关2.若f(x)＝ax2＋bx(a，b为非零常数)存在两个不相等的虚数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)＝c∈R，则b2＋4ac与零的关系适合A.b2＋4ac＞0B.b2＋4ac＝0C.b2＋4ac＜0D.不确定，与x1，x2有关ABCDD'C'B'A'3.长方体ABCD－A’B’C’D’中，AB’＝2，AD’＝，则AC的取值范围是A.(－2，5)B.(3，＋2)C.(3，5)D.(－2，＋2)4.在平面直角坐标系中，若方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是A.(0，1)B.(1，＋∞)C.(0，5)D.(5，＋∞)5.等比数列{an}中，q为公比，(0＜|q|＜1)，Sn为前n项和，S＝，则下列命题中正确的是A.Sn＝S(1－qn)B.an＝S(1－qn)C.an单调减少趋于零D.Sn单调减少趋于S6.若m，n是不大于6的非负整数，则C＝1表示不同的椭圆个数为A.PB.CC.CD.P二、填空题(每小题9分，共计54分)1.已知集合N＝{x|a＋1≤x＜2a－1}是集合N＝{x|－2≤x≤5}的子集，则a的值域为___________.ABCP2..P1P5..P4..P6P32.在△ABC的三边上分别取点P1、P2、P3、P4、P5、……，使得P1、P4、P7、……在AC上，P2、P5、P8、……在AB上，P3、P6、P9、……在BC上，且AP1＝AP2，BP2＝BP3，CP3＝CP4，AP4＝AP5，BP5＝BP6，……（如图），则P2与P的距离为___________.3.通过点M(1，1)的直线与坐标轴所围成的三角形面积等于3，这样的直线有_____________条.4.若自然数n与k之间的函数关系k＝f(n)由等式2(1＋9＋92＋…＋9n－1)＝k(k＋1)确定，则f(n)的表达式为___________________.5.三位数大于400，小于500，且满足＝a3＋b3＋c3，则这样的三位数为_____________.6.使得关于x的方程＝1999有正整数解的最小自然数n＝____________.三、(若双曲线y2－x2＝1与＝k有唯一的公共点，求k的所有可取值。\n四、(批零兼营的文具店规定：凡购买铅笔51只以上（包括51只）按批发价结算，而购买铅笔50只以下（包括50只）按零售价结算，批发价每购60只比零售价购60只降价1元。现有班长消亡同学来购买铅笔，若给全班每人买一只，则必须批发价结算，需用m元（m为整数）；但若多购买10只，则可按批发价结算，恰好也需用m元，问小王班上共有多少学生？五、(定义在x＞0上的函数f(x)满足：⑴存在a＞1，使f(a)≠0⑵对任意的实数b，有f(xb)＝bf(x)，求证，对于x＞2，有不等式f(x－1)f(x＋1)＜[f(x)]2第二试一、（50分）在△ABC中，AD、BE、CF分别是边BC、AC、AB上的高，若AE＋AF＝BC，BD＋BF＝AC，CD＋CE＝AB，求证：△ABC是正三角形。二、（50分）给出70个数集，每个集合中都有60个元素：A1＝{1，2，3，……，59，60}A2＝{2，3，4，……，60，61}……A10＝{10，11，12，……，68，69}A11＝{11，12，13，……，69，70}A12＝{12，13，14，……，70，1}A13＝{13，14，15，……，1，2}……A69＝{69，70，1……，57，58}A70＝{70，1，2，……，58，59}若从中取出k个，满足任意7个的交集非空，求k的最大值。三、（50分）已知函数f(x)＝sin(\n)的周期大于1，并且当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个最大值和一个最小值，求证：k为无理数。