2005江苏省高中数学竞赛试题 6页

江苏省高中数学竞赛预赛试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共36分）一．选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y=f(x)的图像按=(，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x+)+2，那么y=f(x)的解析式为()A．y=sinxB．y=cosxC．y=sinx+2D．y=cosx+4解:y=sin[(x++],即y=cosx.故选B．2．如果二次方程x2－px－q=0(p，q∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有()A．5个B．6个C．7个D．8个解：由D=p2+4q>0，－q<0，知方程的根一正一负．设f(x)=x2－px－q，则f(3)=32－3p－q＞0，即3p+q＜9.由p，q∈N*，所以p=1，q≤5或p=2，q≤2.于是共有7组(p，q)符合题意．故选C．3．设a>b>0，那么a2+的最小值是（）A．2B．3C．4D．5解：由a>b>0，可知00，an－1>0，所以an－an－1=4(n≥2)，a1=2.因此,数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，其通项公式为an=2+4(n－1)，故填an=4n－2(n∈N*)．9．函数y=|cosx|+|cos2x|(x∈R)的最小值是．解：令t=|cosx|∈[0，1]，则y=t+|2t2－1|．当≤t≤1时，y=2t2+t－1=2(t+)2－，得≤y≤2．当0≤t<时，y=－2t2+t+1=－2(t－)2+，得≤y≤．又y可取到．故填．10．在长方体中ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，点E、F、G分别是棱AA1、\nC1D1与BC的中点，那么四面体B1－EFG的体积是．解：在D1A1的延长线上取一点H，使AH=，易证，HE∥B1G，HE∥平面B1FG．故V=V=V=V．而SD=，G到平面B1FH的距离为1．故填V=．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都至少出现1次，这样的5位数共有个．解：在5位数中，若1只出现1次，有C(C+C+C)=70个；若1只出现2次，有C(C+C)=60个；若1只出现3次，有CC=20个．所以这样的五位数共有150个．故填150．12．已知平面上两个点集：M={(x，y)||x+y+1|≥，x，y∈R}，N={(x，y)||x－a|+|y－1|≤1，x，y∈R}，若M∩N≠Æ，则a的取值范围为．解：由题意知M是以原点为焦点，直线x+y+1=0为准线的抛物线及其凹口内侧的点集，N是以(a，1)为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察M∩N=Æ时a的取值范围：令y=1,代入方程|x+y+1|=得x2－4x－2=0，解得x=2±．所以，当a<2－－1=1－时M∩N=Æ．令y=2，代入方程|x+y+1|=得x2－6x－1=0，解得x=3±．所以，当a>3+时，M∩M=Æ．于是，当1－≤a≤3+，即a∈[1－，3+]时，M∩N≠Æ．故填[1－，3+]．三、解答题：13．已知点M是DABC的中线AD上的一点，直线BM交边AC于点N，且AB是DNBC的外接圆的切线，设=λ，试求（用λ表示）．(15分)证明：在DBCN中，由Menelaus定理得··=1．因为BD=DC，所以=．………………………6分由∠ABN=∠ACB，知DABN∽DACB，则\n==．所以，·=，即=．…………………………………………………12分因此，=．又=λ，故=λ2．………………………………………………………………15分14．求所有使得下列命题成立的正整数n(n≥2)：对于任意实数x1，x2，…，xn，当xi=0时，总有xixi+1≤0(其中xn+1=x1)．(15分)解：当n=2时，由x1+x2=0，得x1x2+x2x1=－2x≤0．故n=2时命题成立；……3分当n=3时，由x1+x2+x3=0，得x1x2+x2x3+x3x1==≤0．故n=3时命题成立．……………………………………………………………………………………6分当n=4时，由x1+x2+x3+x4=0，得x1x2+x2x3+x3x4+x4x1=(x1+x3)(x2+x4)=－(x2+x4)2≤0．故n=4时，命题成立．………………………………………………………………9分当n≥5时，令x1=x2=1，x4=－2，x3=x5=…=xn=0，则xi=0，但xixi+1=1>0，故n≥5时命题不成立．综上可知，使命题成立的n=2，3，4．……………………………………………15分15．设椭圆的方程+=1(a>b>0)，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R，使△PQR为正三角形，求离心率e的取值范围，并用e表示直线PQ的斜率．(24分)解：如图，设线段PQ中点M，过点P、M、Q分别作准线的垂线，垂足分别为点P¢，M¢，Q¢，则\n|MM¢|=(|PP¢|+|QQ¢|)=(+)=．…………………………6分假设存在点R，则|RM|=|PQ|，且|MM¢|＜|RM|，即＜|PQ|，所以，e＞．………………………………12分于是，cos∠RMM¢==´，cot∠RMM¢=．在图中，|PF|<|QF|，且有kPQ=tan∠QFx=tan∠FMM¢=cot∠RMM¢=．………………………………………………18分当e>时，过点F作斜率为的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述过程知，|RM|=|PQ|．故DPQR为正三角形．……………………………………………21分根据对称性，当|FP|>|FQ|时，有kPQ=－．所以，椭圆+=1(a>b>0)的离心率e的范围是(，1)，且直线PQ的斜率为±．…………………………………………………………………………………………24分16．⑴若n(n∈N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n的最小值，并说明理由；(12分)⑵若n(n∈N*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于，求n的最小值，并说明理由．(24分)\n解：⑴因为2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，故n=4存在，nmin≤4．………6分103=1000，113=1331，123=1728，133=2169，123<2005<133，则n≠1．若n=2，因103+103<2005，则最大立方体的棱长只能为11或12，2005－113=674，2005－123=277，674与277均不是完全立方数，故n=2不可能；若n=3，设此三个立方体中最大一个的棱长为x，由3x3≥2005＞3×83，知最大立方体的棱长只能为9、10、11或12，而2005<3´93，2005－93－93=547，2005－93－83－83>0，故x≠9．2005－103－103=5，2005－103－93=276，2005－103－83=493，2005－103－73－73>0．故x≠10；2005－113－93<0，2005－113－83=162，2005－113－73=331，2005－113－63－63>0，故x≠11；2005－123－73<0，2005－123－63=61，2005－123－53－53>0，故x≠12．所以n=3不可能．综上所述，nmin=4．…………………………………………………………………………12分⑵设n个立方体的棱长分别是x1，x2，…，xn，则x+x+…+x=．①由2002≡4(mod9)，43≡1(mod9)，得≡42005≡4668´3+1≡(43)668´4≡4(mod9)．②又当x∈N*时，x3≡0，±1(mod9)，所以x4(mod9)，x+x4(mod9)，x+x+x4(mod9)．③①式模9，并由②、③式可知n≥4．…………………………………………………18分而2002=103+103+13+13，则=´(103+103+13+13)=()3´(103+103+13+13)=(´10)3+(´10)3+()3+()3．故n=4为所求的最小值．………………………………………………………………24分