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2017福建省高中数学竞赛预赛试题 16页

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2017福建省高中数学竞赛预赛试题

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2017年全国高中数学联赛（福建省赛区〉预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00-11：30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上〉1.已知集合A={x|log2（x-l）5o・・・时，a的取值范围为（-1,5）o2・已知/（兀）是定义在/?上的奇函数，且函数y=/（%+!）为偶函数,当-lx2+l>2,当x=l,a=-\,b=3时，等号成立。・・・/+@_4)2的最小值为2。9.函数f(x)=\/2x—7+Vl2—x+yj44—x的最大值为<：【答案】11【解答】由柯西不等式知，(V2x-7+>/12-x+a/44-x)2=(^3•+近•+V6•zoc/兀—712—x44—x2<(3+2+6)(——+——+)=ll2o326/(x)的最大值为llo10.A、B、C为圆O上不同的三点，且ZAOB=120°，点C在劣弧初内(点C与A、BUUUUliUUU不重合)，若OC=/IOA+“O〃(2,pwR),则2+“的取值范围为o\n【答案】(1,2]【解答】如图，连结OC交43于点D。UUU1UUWUUU1ULIUUU设OD=mOC,则由OC=QOA+“O〃，得UUUULIUUUOD=mAOA+m/uOB。・・・A、D、B三点共线，/.mA+m/j.—1,/!+//=—om不妨设圆的半径为1,作OE丄AB于E,由乙4OB=120。，知\n°EP020E斗且点C在劣弧沏内（点C与A、〃不重合）,^20分\n10分15分•・・EF//AP,PFAE二,FDED・AMtM、PAM,:=M、P,A/】为PA的中点M、A/】重合。・・・M、B、D三点共线。13.如图，PA、PBC分别是圆O的切线和割线，其中A为切点，M为切线PA的中点弦AD.BC相交于点E,弦延长线上的点F,满足ZFBD=ZFEDo求证：P、F、D三点共线的充分必要条件是M、B、D三点共线。【解答一】由PA为圆O的切线知，力一―ZPA£>+ZABD=180°o又ZFB£>+ZABD=180°,・・・上PAD=ZFBD=ZFED。・・・EF//APo5分(1)若M、B、D三点共线。设直线AB,DP交于点片。则由塞瓦定理知，―=loMPF、DEA・.・AM=MP,:.理=笆,EF^/AP.F、DED1又点F、耳均在肓线AB上，因此F、斥重合。・・・P、F、D三点共线。(2)若P、F、D三点共线。设直线DB、AP相交于点则由塞瓦定理知，^——=10\nM.PFDEA\n【解答二】由ZFBD=ZFED知，B、F、D、E四点共圆。■・・ZAFE=ZBDE。由PA为圆O的切线知，ZBDE=ZPAFo・・・ZAFE=ZBDE=ZPAF。・・・EF//APo5分D(1)若M、B、D三点共线。连结BM、DP、DF。由M为切线PA的中点知,阿—BE即洽罟10分△MPBs^MDPoDZMDP=ZMPB=ZAPB。又由B、F、D、E四点共圆以及EF//APZMDF=ZBDF=ZBEF=ZAPB。ZMDF=ZMDPoP、F、D三点共线。15分(2)若P、F、D三点共线。设直线DB、AP相交于点则ZPDM严ZFDB=ZFEB=ZM\PB°又ZPMlB=ZDMiP,:.△MfBs/iMQP。.・・M}P2=M]BMlDo又M|A2=mqmq,.・・M1P=M}Ao因此，为PA的中点，M、重合。・・・M、B、D三点共线。D\n13.已矢口d>0,/（x）二ln（2x+1）+lax-4aex+4。（1）当d=l时，求/（x）的最大值；（2）判断函数/（劝零点的个数，并说明理由。【解答】（1）当。=1时，/（x）=ln（2x+1）+2x-4^x+4,f（x）=T时，厂心-乔f0,・f\x）在（-丄，+oo）上为减函数。又广（0）=2+2-4=0,0；x>O0寸，f\x）<0o,+oo）上为减函数。・・・/（兀）在区间-丄，0上为增函数，在［0I2・・・G=1时，/（X）的最大值为/（0）=0O24（2）厂（兀）=+2°—4aeA,/"（兀）=r一4czev2x+l（2x4-1）当g>0,且兀〉一丄时，/"（兀）<0。4^•:/'（兀）在（，+°°）上为减函数。•/日寸,/'（X）T+oo；兀T+8日寸,f\x）—>-ooO・・・.厂（兀）存在唯一实根，设此根为兀0O贝U—*<兀<兀0时，>0:兀>%0时，f\x）<0O（11/⑴有最大值/（X0）o・•・/（X）在区间--,X0上为增函数，在［兀0，+°°）上为减函数<210分\n①当g=1时，由（1）知，/（力有唯一零点。②当0VGV1时，由.厂（0）=2+2。一4。=2—2。>0矢口，xQ>0.・•・/So）>/（0）=-4a+4>0。\n乂—*时,/WT-ooX-*+°°时,f(X)-—8o・・・/（X）在区间（-*，勺），（观，+8）内各有一个零点。・・・当0VGV1时，/（X）有两个零点。15分③当g〉1时，由.厂（0）=2—2gv0,知一*<兀°<0。由•厂（如）=+2d—4aex°=02x0+1知=+2d。2x0+1f(x0)=ln(2x0+1)+2处0-4aex°+4=ln(2x0+1)+2%-(+2a)+42x0+1=ln(2x0+1)+2aXo2ci+4,2x0十152设g(x)-ln(2x+1)+2gx2g+4。2x+l・・・*vO时,+2g+2x4-14(27+17Ig（x）在区间-一，0上为增函数。、2-—1时，/（x）不存在零点。综合得，当01时,/（劝不存在零点。20分\n13.设q,g如%%是5个正实数（可以相等）。证明：一定存在4个互不相同的下标几/,k,I,使得鱼-弘<-oa.at2【解答】不妨设ax

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