2000年上海市高中数学竞赛试题 5页

2000年上海市高中数学竞赛试题（2000年3月19日星期日上午8:30--10:30）（说明）解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题10小题，每小题7分，共70分）1、若函数又能写成，则的值是________。2、的值是________。3、设是一个等差数列，，记，则的最小值为________。4、由方程所对应的曲线围成的图形的面积是________。5、已知两个圆和，则与外切且与内切的圆的圆心轨迹方程是________。6、若表示不超过实数的最大整数，则方程的解集是________。7、数列中，，若对一切有＝，且，则该数列的前4321项的和的值是________。\n8、已知，且能被整除，则的值是________。9、在四面体ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，则它的体积的最大值是________。10、在1，3，5，7，…，99这50个连续奇数中任取k个数，使得在这k个数中必存在三个数，以这三个数为边长可以组成三角形，则k的最小值是________。二、（本题16分）1，2，3，4，5的排列具有性质：对于，不构成的某个排列，求这种排列的个数。三、（本题16分）有多少个正整数有序数对，具有如下性质：，且和都是整数？四、（本题18分）设是个不同质数，用这些质数作为项（允许重复），任意组成一个数列，使这个数列不存在某些相邻项的积是完全平方。证明：这种数列的项数有最大值（记为），并求的表达式。 ===============试题解答===============一、填空题：（每小题7分，共70分）1、；2、；3、；4、；5、；\n6、；7、；8、；9、；10、。二、解：显然，当时，个排列都符合要求。当时，的个排列不符合要求，即符合要求的排列有个。当时，形如与的排列均不符合要求，即符合要求的排列有个。当时，形如，，，，的排列均不符合要求，即符合要求的排列有个。综上所述，所求的排列个数为：＋＋＋＝71。三、解：设，则（1），，设，则，代入（1）式得（2），，于是有个正整数满足上述不等式。\n反之，每一个正整数，（2）式显示与有序数对间的一一对应，且使，，注意到时，，，就知有序数对的数目是：。四、解：设是一个以为项的数列，这里。考虑数列，则每个都可写成这里都是非负整数。个元有序数组按的奇偶性考虑，至多有个不同有序数组，因此必有两个有序数组与，使，于是为完全平方。这就证明了满足条件的数列的项数不超过，从而这种数列有限，项数最大值存在，且。设是以为项的数列，且满足条件，那么\n是以为项的数列，也满足条件，故有，显然，故由数学归纳法即知。综上所述，。