2008年河北省高中数学竞赛试题 11页

2008年河北省高中数学竞赛试题（时间：5月18日上午8：30～11：30）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1．函数的图像过点（-1，3），则函数的图像关于轴对称的图形一定过点（）．A(1,-3)B(-1,3)C(-3,-3)D(-3,3)2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（）种．A4B6C8D163．若函数有最小值，则a的取值范围是（）．ABCD4．已知则的最小值是（）．ABC2D15．已知，则的取值范围是（）．ABCD6．函数是上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（）．A1B2C3D4二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）7．设集合，是S的子集，且满足：，，那么满足条件的子集的个数为．8．已知数列满足，则=___.9．已知坐标平面上三点，是坐标平面上的点，且，则点的轨迹方程为．10．在三棱锥中，，，，，，．则beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n三棱锥体积的最大值为．11．从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为．12．是平面上不共线三点，向量，，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是________．三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）13．是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得.ABC14．如图，斜三棱柱的所有棱长均为，侧面底面，且.（1）求异面直线与间的距离；（2）求侧面与底面所成二面角的度数．beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n15．设向量为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量，，且．（1）求满足上述条件的点的轨迹方程；（2）设，问是否存在常数，使得恒成立？证明你的结论．16．在数列中，，是给定的非零整数，．（1）若，，求；（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．17．设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：（1）（）；（2）时，．2008年河北省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准（时间：5月18日上午8：30～11：30）beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1．函数的图像过点（-1，3），则函数的图像关于轴对称的图形一定过点（）．A(1,-3)B(-1,3)C(-3,-3)D(-3,3)答案：B.2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（）种．A4B6C8D16答案：C.解：设，即．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且与只能同为偶数，因此对应的方程组为故共有8组不同的值：；．3．若函数有最小值，则a的取值范围是（）．ABCD答案：C．解：当时，是递减函数，由于没有最大值，所以没有最小值；当时，有最小值等价于有大于0的最小值．这等价于，因此．4．已知则的最小值是（）．ABC2D1答案：A.解：记，则，，（当且仅当beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n时取等号）．故选A．5．已知，则的取值范围是（）．ABCD答案：D．解：设，易得，即．由于，所以，解得．6．函数是上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（）．A1B2C3D4答案：B解：（用排除法）令，则得．若，则，与矛盾；若，则，与“在上单调递增”矛盾；若，则，也与“在上单调递增”矛盾．故选B．二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）7．设集合，是S的子集，且满足：，，那么满足条件的子集的个数为．答案：371．解：当时，有种选择方法，有6种选择方法，所以共有种选择方法；当时，一旦取定，有种选择方法，有种选择方法，所以选择的方法有beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n种．综上，满足条件的子集共有371个．8．已知数列满足，则=___.答案：．解：由已知得，且．所以，即{}是首项、公差均为1的等差数列，所以=n，即有.9．已知坐标平面上三点，是坐标平面上的点，且，则点的轨迹方程为．答案：.ACPDB解：如图，作正三角形，由于也是正三角形，所以可证得　≌，所以．又因为，所以点共线．，所以P点在的外接圆上，又因为，所以所求的轨迹方程为．10．在三棱锥中，，，，，，．则三棱锥体积的最大值为．答案：.解：设，根据余弦定理有，故，．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以.事实上，取，且时，beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n可以验证满足已知条件，此时，棱锥的体积可以达到最大．11．从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为．答案:（10，6）.解：，由于，所以，整理得．即是完全平方数，且，因此，，解得（不合条件），.所以．12．是平面上不共线三点，向量，，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是________．答案:8．ABOPQ解：如图,是线段AB的垂直平分线，，，，．三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）13．是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得.解：由得,所以,由此得到.beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n又因为,故.………………………4分又因为,令则.……………6分当时，关于t单调递增，所以，.因此可以取1，2，3.…………………………………………………………………10分ABC14．如图，斜三棱柱的所有棱长均为，侧面底面，且.（1）求异面直线与间的距离；（2）求侧面与底面所成二面角的度数．ABCEDO解：（1）如图，取中点D，连..,∴.由.……………4分∥∥平面.所以异面直线与间的距离等于.……………6分（2）如图，………………………………..……8分beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n.……………………12分15．设向量为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量，，且．（1）求满足上述条件的点的轨迹方程；（2）设，问是否存在常数，使得恒成立？证明你的结论．解：（1）由条件可知：.由双曲线定义，得点P的轨迹方程：.…………………4分（2）在第一象限内作，此时．…………………………………….………………….……6分以下证明当PF与x轴不垂直且P在第一象限时，恒成立．由，得.代入上式并化简得……10分由对称性知，当P在第四象限时，同样成立．故存在常数，使得恒成立．………………….………12分16．在数列中，，是给定的非零整数，．（1）若，，求；（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．解：（1）∵，，，，，，，beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n，，，，，，……∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=1．……4分（2）首先证明数列必在有限项后出现零项．假设中没有零项，由于，所以.时，都有．……………………6分当时，（）；当时，（），即的值要么比至少小1，要么比至少小1．…………………8分令，，则．由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，从而中必有零项．……………………………………………………….……10分若第一次出现的零项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，即，所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分17．设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：（1）（）；（2）时，．证明：由知，函数图像关于直线对称，则根据②可知：对于，若，则．……………2分设，且，则．∵,beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore\n∴在[0，1]上是不减函数．………………………………………………4分（1）∵,∴．…………………………………………………………8分（2）对于任意，则必存在正整数，使得.因为在（0，1）上是不减函数，所以，由（1）知.由①可得，在②中，令，得，∴．而，∴，又，∴，∴时，．.………………………………………12分∵时，，且，∴，因此，时，．…………………….………….14分beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore