2005年南昌市高中数学竞赛试题 4页

2005年南昌市高中数学竞赛试题（7月2日上午8：30-11：30）题号一二三四五总　分得分（注意：题号后凡标有“高一”的，为高一学生解答题；凡标有“高二”的，为高二学生解答题：凡未作以上标志的，则为高一、高二学生共同解答题）一、选择题（每小题6分，共36分）1．①（高一）设集合A，B，C满足：A∪CRB=A∪CRC，则必成立（　　）　A、B=C　　B、A∩B=A∩CC、CRA∩B=CRA∩CD、A∩CRB=A∩CRC②（高二）点p（x,y）在直线x+2y=3上移动，则的最小值是（）A、6　　B、8　C、3D、42．①（高一）等比数列{}各项为正数，且，则的值为（　　）A、3　　B、6　　C、9　D、12②（高二）若直线y=x+t与椭圆相交于A、B两点，当t变化时，|AB|的最大值是（　　）A、2　　B、　C、D、3.①（高一）.若的两个较小内角A，B满足，则有（　　）A、A+B>90°　　B、A+B<90°　C、A+B=90°D、以上情况均有可能　②（高二）四棱锥P-ABCD的底面是单位正方形，侧棱PB垂直于底面，且PB=，记θ=4\n∠APD，则sinθ=（　　）A、　　B、　　C、　　D、4.若向量与相互垂直，且长度相等，则a+b的值是（　　）A、　B、　C、D、或5.被9除得的余数是（　　）A、1　B、3　　C、5　　D、76.用红、黄、蓝三种颜色涂33表格的每一个格子,使满足：①每行三色都有②每列三色都有，③邻格(有公共边的每两个格)不同色。则不同的涂色方法种数为（）A、12　　B、18　C、24　　D、27二、填空题（每小题9分，共54分）1.①（高一）设函数，则使成立的x的值是　　　　　。　②（高二）若椭圆上存一点p，到左准线的距离为5，则p到右焦点的距离是　　　　　。2.①（高一）首项为3，公差为2的等差数列，前n项和为，则=　　　　。②（高二）的展开式中，各项系数的绝对值之和为　　　　　。3.①（高一）中，若，则cosA：cosB：cosC=　　　　　。②（高二）若与的四个根组成公差为等差数列，则a+b=　　　　　。4.直角三角形三边长为整数，斜边长为39，则其面积为　　　　　。5.函数的值域为　　　　　。6．n个连续正整数的和等于3000，则满足条件的n的取值构成集合{}。（第三、四、五题解答过程可写在试卷反面）4\n三、（20分）证明：集合M=中的每个元素皆可表为该集合中另两个不同元素的乘积。四、（20分）的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，M是EF上的一点，且DM⊥EF，求证：DM平分∠BMC。五、（20分）给定无理数a、b，证明：满足方程+=b的整数x,y至多只有一组。2005年南昌市高中数学竞赛试卷答案一、选择题（每小题6分，共36分）（高一）CACDDA（高二）DCCDDA二、填空题（每小题9分，共54分）1．（高一）1；（高二）2．（高一）；（高二）3．（高一）12：9：2；（高二）4．2705．[-3-，-3+]6．{1，3，5，15，16，25，48，75}三、（20分）证明：对每个正整数n，考虑满足的正整数x,y由于利用比例的性质所以，取y=2n，则x=2n+2005显然，x,y,n彼此不同。（或者取y=n+1，则x=n（n+2006））四、（20分）证：设N，K分别是DF、DE的中点，则Rt⊿BFN∽Rt⊿DEM，Rt⊿CEK∽Rt⊿DFM，4\n∴BF•ME=DF•DE=CE•FM∴，而∠BFM=∠CEM∴⊿BFM∽⊿CEM，于是∠BFM=∠CME五、（20分）证明：如果b<0，显然方程无整数解，只需考虑b>0情况。反证法，设有两组整数x,y与x1，y1都满足方程，则+=+去掉绝对值并将各项的符号“+1”或“－1”分别用m，n，m1，n1表示，则上式化为：+=+即：此式左端为有理式，右端为无理式，故应分别为0，因此有…①…②由于m1-m以及n-n1只能取2，-2，0，故必须都为0，否则将导致左端为整数，右端为既约真分数，矛盾。∴m1=m，n=n1①、②化为：…③…④将③式乘以m，④式乘以n，然后相加得即∴据此又得y=y1这与假设x,y与x1，y1是两组不同整数矛盾。从而结论成立。4