2001年全国高中数学联合竞赛试题 8页

http://gaoyun63.go.163.com二○○一年全国高中数学联合竞赛题（10月4日上午8：00—9：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3、在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以p为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=8（B）0a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：00—12：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。二、（本题满分50分）设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且，求的最大值与最小值。第8页共8页\nhttp://gaoyun63.go.163.com三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一．选择题：CBDDCA二．填空题7．8．9．10．11．12．732三．解答题13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得化简得：解得：………………………………………………………5分而，故a1＜0若，则若，则………………………………10分但存在，故|q|＜1，于是不可能．从而所以………………………………20分14．解：(1)由消去y得：①设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种情况：第8页共8页\nhttp://gaoyun63.go.163.com1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；2°f(a)f(－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；3°f(－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．f(a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．………………………………………………10分(2)△OAP的面积∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a，由唯一性得显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝取值最大，此时，∴．当时，xp＝－a2，yp＝，此时．下面比较与的大小：令，得故当0＜a≤时，≤，此时．当时，，此时．………20分15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当Ri＝ai，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小……………………………………………………5分证明如下：1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB显然R1＋R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的—个．3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD第8页共8页\nhttp://gaoyun63.go.163.com若记，则S1、S2为定值，于是只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小…………………………………………………………………………15分4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆∴∠BDF＝∠BAC又∠OBC＝(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA∴MC2－MH2＝AC2－AH2①∵BE⊥NA∴NB2－NH2＝AB2－AH2②∵DA⊥BC∴BD2－CD2＝BA2－AC2③∵OB⊥DF∴BN2－BD2＝ON2－OD2④第8页共8页\nhttp://gaoyun63.go.163.com∵OC⊥DE∴CM2－CD2＝OM2－OD2⑤……………………………………30分①－②＋③＋④－⑤，得NH2－MH2＝ON2－OM2MO2－MH2＝NO2－NH2∴OH⊥MN……………………………………………………………………50分另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则∴直线AC的方程为，直线BE的方程为由得E点坐标为E()同理可得F()直线AC的垂直平分线方程为直线BC的垂直平分线方程为由得O()∵∴OB⊥DF同理可证OC⊥DE．在直线BE的方程中令x＝0得H(0，)∴直线DF的方程为由得N()第8页共8页\nhttp://gaoyun63.go.163.com同理可得M()∴∵kOH·kMN＝－1，∴OH⊥MN．二．解：先求最小值，因为≥1等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i∴最小值为1．……………………………………………………………10分再求最大值，令∴①设，令则①⇔……………………………………………………30分令＝0，则由柯西不等式得：等号成立⇔(k=1，2，…，n)第8页共8页\nhttp://gaoyun63.go.163.com由于a1≥a2≥…≥an，从而，即xk≥0所求最大值为……………………………………………50分三．解：记所求最小值为f(m，n)，可义证明f(m，n)＝rn＋n－(m，n)(*)其中(m，n)表示m和n的最大公约数……………………………………………10分事实上，不妨没m≥n(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n)当用m＝1时，命题显然成立．AA1BCD1Dmn假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)．当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，n)……………………………………20分(2)关于m归纳可以证明(*)成立．当m＝1时，由于n＝1，显然f(m，n)＝rn＋n－(m，n)假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f(m，n)＝rn＋n－(m，n)若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f(m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，…，ap不妨a1≥a2≥…≥ap显然a1＝n或a1＜n．若a1＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形(或其边界)．于是a1＋a2＋…＋ap不小于AB与CD之和．所以a1＋a2＋…＋ap≥2m＞rn＋n－(m，n)若a1＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，…ap的正方形，由归纳假设a2＋…＋ap≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)从而a1＋a2＋…＋ap≥rn＋n－(m，n)于是当rn＝k＋1时，f(m，n)≥rn＋n－(m，n)再由(1)可知f(m，n)＝rn＋n－(m，n)．…………………………………………50分第8页共8页