高中数学竞赛 44页

模拟试题一2010年全国高中数学联赛模拟试题武钢三中岑爱国一试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程2．如图，在=，则m+2n的值为３．4．单位正方体这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为　　　.５．设数列6．已知实数x，y，z满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为7．若\n8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连条线段．二、解答题（共５６分）9．（16分）设之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列的通项公式；（2）设集合，求证：．10．（20分）过抛物线的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a，b满足的条件，使得一定存在整数k，有成立．二试一．（40分）如图，已知\n求证：二．（40分）设．三.（50分）已知n个四元集合，试求n的最大值．这里四．（50分）设为正整数的二进制表示数的各位数字之和，为数列的前n项和.若存在无穷多个正整数n，满足，且m，则称是“好数”.试问：（1）2，3，5是否都是好数？（2）是否都是好数？模拟试题二全国高中数学联赛模拟试题江苏省盐城中学陈健第一试一、填空题：（每小题7分，共计56分）\n1.若函数图象经过点（2，4），则的反函数必过点__________2.、、是从集合中任意选取的3个不重复的数，则为奇数的概率为___________3.已知数列的通项公式是，则数列的前项和=_____4.抛物线的准线与轴交于点，过作直线交抛物线于点、，点在抛物线对称轴上，且，则的取值范围是____________5.已知，直线与的交点在直线上，则ABCD6.如图，四面体中，为等腰直角三角形，，，且，则异面直线与的距离为______________7.已知点、，且满足，则长的取值范围是________8.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_不同的染法.（用数字作答）二、解答题：（三题共计44分）\n9.（本题14分）已知二次函数，设方程有两个实数根．①如果，设函数的对称轴为，求证：；②如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围.10．（本题15分）数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数11.（本题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色.将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合.求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上.第二试1.（本题50分）凸四边形中，是最长边，点分别在边上，且线段平分四边形的面积，求证：线段平分对角线.2.（本题50分）定义，其中为正实数，求的值域.3.（本题50分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证：这个点集能被一个半径为1的圆覆盖.4.（本题50分）设是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数，下述不定方程有无穷多个正整数解.\n模拟试题三全国高中数学联赛模拟试卷福州一中危志刚第一试一，填空题（每小题7分，共56分）1、设适合等式则的值域是2、若对所有正数不等式都成立，则的最小值是3、等差数列3，10，17，…，2005与3，8，13，…，2003中，值相同的项有个.4、在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为　　．5、将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有种不同的染法.（用数字作答）6、若为一个平方数，则正整数7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为8、设函数，且，，则二、解答题（第9题14分，第10，11题各15分）\n9．已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积．10．数列定义如下：，且当时，已知，求正整数n．11．对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？第二试（每题50分，共200分）1、已知，、、、是圆上顺次四点，且，，的平分线交圆于，的平分线交圆于，在由这六个点构成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么必为圆的直径．2、设，求的最大值和最小值．\n3、求所有满足方程组的三元实数组．4、将8个车放到如图的9×9棋盘中，使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法．（两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列）模拟试题四全国高中数学联赛模拟试题东北育才学校张雷一试一、填空题（共56分，每题7分）1、函数的单调递增区间是_______________________．2、将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有______种.3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.三角形正方形梯形五边形六边形4、已知（其中是大于1的正整数，且互质）化为最简二次根式后是形式，其中是大于1的正整数，且互质，如果，则的最小可能值是________.5、若关于的方程的两个实数根满足则\n的最小值与最大值的积是_________.6、我们定义运算，如，，用整数1，2，3，4和三个号组成一个算式，则这个算式的最大值是_________.7、平面上满足约束条件的点形成的区域为D，区域D关于直线对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为___________.8、令表示正整数的所有数字的和，如，则的值是_____________.二、解答题（共44分）9、（14分）已知圆和圆的两条外公切线为轴及直线，若两个圆的一个交点为，且两圆半径长度之积为68，求圆心和所在直线的方程和.10、（15分）已知函数，求的解集中元素的个数。11、（15分）如果都是正实数，请给出一个你认为的最小正数，使得满足的任意实数，不等式成立，并证明你的结论.模拟试题五联赛模拟题一试一、填空题\n1.不等式的解集中能使成立时的的最小值为．2.一个三位自然数如果同时有及称为凹数，（例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是凹数），则所有凹数的个数是．3.若是一个十进制四位整数，记的各位数码之积为，各位数码之和为，为素数，且，，则中的最小者是．4.已知复数列的通项公式为，则等于5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，且，则．6.且，则的最大值是___________．7.已知和是实数，，，，令，则的最大值为．8.平行六面体的个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是．二、解答题9.已知函数的定义域是，并且满足．如果函数是奇函数，试求实数的值．10.已知数列中，,求证：11.已知圆和抛物线上有三个不同的点．如果直线和都与圆相切．求证：直线\n也与圆相切．二试一、内接于半径为R的圆O，令I为内心，r为内切圆半径，且I和O不重合，G为重心．证明:或，其中分别为三个内角A、B、C所对应的三边长．二、已知：为正实数，且，证明：三、设是正整数，满足，求所有可能取到的整数值．四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）．在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同．如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”．试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论模拟试题六全国高中数学联赛模拟试题哈师大附中刘利益朱逢迁第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1．从中任取5个数（可以相同），则取到合数的个数的数学期望是.2．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．则双曲线的离心率为.\n3．在中，如果，则的值等于.4．已知集合，定义函数．设点，的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数有＿＿＿＿个．5．设是定义在R上的函数，对任意的，都有，如果，则的值为.6．数列满足:,则.7．立方体中，点分别在线段上（不包括线段的端点），满足，则与所成角的取值范围是.8．若非负实数满足，则.二、解答题（共56分）9．（本题满分16分）已知直线与椭圆：交于不同两点.设A关于椭圆长轴的对称点为，F为椭圆的右焦点，试求、F、B三点共线的充要条件.10．（本题满分20分）正数同时满足：，．求证：存在以为三边长的三角形．11．（本题满分20分）数列满足：，，.试求.（注：表示不大于的最大整数，即的整数部分.）\n第二试一、（本题满分40分）如图，出三角形ABC中，利M为BC的中点，凜以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点，凔圆O在D、E两点的切线交于点H，刎证明：．二、（本题满分40分）已知都是非负实数，且，求的最大值．\n三、（本题满分50分）设数列满足：．求证：对任意的，都不含型质因子（）．四、（本题满分50分）单位圆内或圆上有8个点，任意三点不共线．求证：总有某三个点为顶点的三角形面积小于．模拟试题七联赛模拟题一、填空题：1.以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点和两个焦点，得到一个正六边形，则此椭圆的离心率为.2.在圆上有两点A，B，它们的极角分别是；由极点向直线AB作垂线，垂足为H，则H点的极坐标是.3.A,B为锐角，则cos2A+cos2B=成立的充要条件是.4.一含有五项的等比数列，每一项都是小于100的正整数，这五项和为211，则这个数列中为完全平方数的项之和为.5.锐角△中，是高线，=，△的面积为.\n6．对任意实数k，曲线x4+kx3y－6x2y2－kxy3+y4=0总可把圆x2+y2=1分成等分.7.数N=的末三位数是.8.已知方程x3－7x2+1=0的最大实根为t，则[t2000]被7除的余数_______.二、解答题：9.已知三棱锥Ａ—BCD在顶点A处的三个面角（即∠BAC，∠CAD，∠DAB）分别为75°，90°，105°；从这个顶点引三个侧面的高均为1，求这个棱锥的高.10．用1，2，3这三个数字构造n位数，但不允许两个1相邻，能构造多少个这样的n位数？11.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.⑴a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；⑵若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.加试模拟题1.设△ABC中，E、F是AC、AB边上的任意点，O、O′分别是△ABC、△AEF的外心，P、Q是BE、CF上的点，满足＝＝.求证：OO′⊥PQ.\n2.求证：＜≤1＋,n=1,2,…;3.对于给定的正整数k，以f1(k)表示k的各位数字之和的平方；并设fn+1(k)=f1[fn(k)]，n=1,2,3,…;试求f2010(22009)的值.4．某种彩票的对奖号是个三位数（000—999），开出的中奖号也是个三位数．买彩票时可以自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖号与中奖号有两个数字相同（例如中奖号为123，对奖号为423或183或125等）则中二等奖．为确保能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票？模拟试题八2010年数学奥林匹克协作体夏令营试题人大附中陈维兵\n一试一、填空题：1求方程的实数解_____________2已知数列满足，则________3两位数若满足，则称为好数，则好数共有_____个。4两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_______个。5若是与的等比中项，则的最大值为。6已知抛物线及其上的一点,焦点和，则的最小值为。7有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置（即从左到右必须1红1白间隔放），并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_____种放置方案。8设常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交直线，交点为.若点分别在这两条直线上，且，则______.二、解答题：\n9已知，求的最大值。10数列定义如下：，而数列定义为（1）求的通项公式（2）证明：（3）证明：11已知椭圆，其长轴为，是椭圆上不同于的一个动点，直线分别与同一条准线交于准线两点，试证明：以线段为直径的圆经过椭圆外的一个定点。二试1、在等腰△ABC中,AB=AC,D是边AC的中点,E是点D在BC上的投影,F是DE的中点.证明:BF垂直于AE的充要条件是:△ABC是正三角形.\nACBDEGFH2、设△ABC的三边分别是a,b,c，且a+b+c=3.求证：.3、设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，dk，满足1=d10)的值域为,g(x)=log2(kx2-2ax+2)的定义域为A,集合B=[,1],若A∩B≠Φ,则实数k的取值范围是___________;2.已知:设a,b为正实常数,θ为参变量,则满足xsinθ-ycosθ=且的点(x,y)的轨迹方程是______________________；3.使得(n>2)为整数的最小正整数n=_________;\nxyMNAC•O4.如图,已知⊙C的圆心C在抛物线x2=2py上(p>0)运动,且⊙C过定点A(0,p),点M,N为⊙C与x轴的交点.如果.则函数f(x)=的值域是______________;5.对于所有自然数n,使得a(9·2010n+1)·2010n+(b-1)·2010n+1=(c·2010n+1)2恒成立,且b取最大值的实数组(a,b,c)等于_____________________；6.用红蓝两种颜色给排成一行的10个方格染色，每一格只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么，所有染色方法的种数是_______________.ABCOEF7.设OABC是边长为1的正四面体，E、F分别为AB与OC的中点.则异面直线OE与BF的距离是________.8.非负实数x,y,z满足x2+y2+z2=1.则f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值是___________.三.解答题(本题共3道满分44分)PxyF1F2ABOQMN9.(14分)如图,已知A,B是椭圆的左右顶点,P,Q是该椭圆上不同于顶点的两点,若直线AP,QB相交于点M,直线PB,AQ相交于点N.(Ⅰ)求证:MN⊥AB;(Ⅱ)若弦PQ过椭圆的右焦点F2,试求直线MN的方程.10.(15分)设a,b∈R,点集A={(n,na+b)|n∈Z},B={(m,m2+17)|m∈Z},C={(x,y)|x2+2y2≤66}.试求出所有的整数n,使得存在实数a,b满足A∩B≠Φ且(a,b)∈C.11.(15分)设定义域,值域都是实数集R的非常数函数f(x),g(x),满足对任意x∈R,都有f(g(x))=f(x),g(f(x))=g(x).(1)求f(x),g(x);(2)定义数列{an}:a1=3,a2=7,f(an2)+g(5)=f(an-1)g(an+1)(n≥2).\n二试题(本题共4道小题每小题50分,满分200分)ABCDEFГ1Г2一.(50分)如图,半径分别为r,R的两圆Г1,Г2相交于A,B两点,过点B的一条直线分别交圆Г1,Г2于点C,D,过点B的另一条直线分别交圆Г1,Г2于点E,F.如果劣弧AC与劣弧AF长度之比为r∶R.求证:(Ⅰ)CD=EF;(Ⅱ)圆AEF与圆ACD的一个交点在线段FD上.二.(50分)设数列{xn}满足:x1=2011,,n=2,3,….其中[x]表示不超过x的最大整数.求数列{xn}的通项xn.三.(50分)给定素数p,q,r.求证:对任意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得pn+qn+rn-1,pn+qn+rn-2,…,pn+qn+rn-k均为合数.四.(50分)设正整数a1,a2,…,a2010满足:（1）ai≠211(i=1,2,…,2010),（2）任意连续若干项之和≠211.求min{}.模拟试题十一全国高中数学竞赛模拟卷湖南师大附中周正安第一试一、填空题(每小题8分，共64分)\n1．已知不等式的解集A满足，则。2．求值。3．在等差数列中，，则。4．某底面是单位圆的圆锥具有性质：在过顶点的所有截面中，以轴截面面积最大。则该圆锥的体积最小值为。5．设非零复数满足，，，则。6．用1、2、3这三个数字写六位数，要求任何两个相邻的数位不能都为1，则总共可写出个不同的六位数。7．已知，如果函数在上为增函数，则的取值集合为。8．将2个相同的白球，3个相同的红球，4个相同的黑球全部投入A、B、C三个袋中，则无空袋的放法有种。二、解答题(共56分)9．(16分)已知数列满足：记。(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数，值得。10．(20分)定义(1)设的图象为曲线C，若存在实数使得曲线C在\n处有斜率为-8的切线，求的取值范围；(2)当且时，求证：。11．(20分)已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点。第二试一、(40分)已知的内心为分别过B、C，A、C和A、B且与直交。与相交于另一点，同理可得点和点。求证：的外接圆半径等于半径的。二、(40分)设，求证：。三、(50分)已知P为质数，均是正整数，试求方程的所有解。四、(50分)证明：在任意个人中，可以找到两个人A、B，使得其余个人中，至少有个人他们中的每一个，或者都认识A、B；或者都不认识A、B。\n模拟试题十二高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．对于任意的，都有，则的最大值是。2．对于任意实数a，b，不等式恒成立，则常数C的最大值是．（注：表示x，y，z中的最大者．）3．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为___________．4．已知四个整数都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于．5．已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上.当取最大值时，的值为．6．已知数列的前n项之和为，且，，则的表达式为___________________．7．已知定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，且当时，，若直线与曲线恰有三个交点，则实数的取值范围为________________．8．某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品.小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概率是__________________．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）已知抛物线的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N.\n(1)求证：直线MN必过定点；(2)分别以弦AB和CD为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点.2．（本小题满分20分）设函数（其中为实常数），数列和定义为：，，（），已知不等式对任意实数均成立，数列的前项的和记为．（1）求实数、的值；（2）若数列的前项的乘积记为，证明：对任意正整数，为定值；（3）证明：对任意正整数，都有．3．（本小题满分20分）设为n个正实数（），且，将中最大的数记为S．(1)令，，求证：；(2)对于给定的正整数n，，求S的最小值，并求出S取最小值时的值．第二试O3O4O5O6O2O1一、（本小题满分40分）如图，已知两圆与内切，另四个圆、、、均与内切，与外切，且连心线、与的夹角相等，求证：点、、、共圆．\n二、（本小题满分40分）设i=1,2,3,n．试求下面式子的最大值与最小值：,其中，．三、（本小题满分50分）正整数m，n均大于1，已知刚好有3个不同的质因子，求所有满足要求的数组（m，n）．四、（本小题满分50分）甲、乙两人在一张无限大的方格棋盘上轮流下棋，每次可以将一个棋子放入任意一个方格中，且每个方格中至多放入一个棋子，现在由甲先下一个黑棋，乙接着下一个白棋，然后甲再下一个黑棋，乙再下一个白棋，……，如此进行下去．如果在棋盘上横着或竖着连出5个黑棋，那么甲获胜，如果连出5个白棋，那么乙获胜．请问：分别对于甲、乙两人，是否各自存在一种策略，可以使得对手无法获胜？说明理由模拟试题十三高中数学竞赛模拟试卷-------大连市第24中学李振权一试一、填空题1．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=2、一个七位数，其各位数字相加得到，已知仍为一个七位数，且各位数字的其中六个为1，2，3，4，6，7，如果小明足够聪明，他能猜中第七个数字的概率为。3．z1、z2分别在实轴和虚轴上运动，保持|z1-z2|=2恒定，而z3=z1(1+i)-z2i，则|z3|的最大值为_________.\n4.在椭圆中，是左焦点，点是左准线上一点，过点的直线交椭圆于、两点，连结、、，且，，则__________________。5．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.6．对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.7.设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者得到12支，则有种不同的分法。8、已知斜四棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，，，当___________时，平面．二、解答题9、已知中，AC=2AB.过点C、A分别作外接圆的切线，切点分别为C和A，若两条切线相交于点P。直线BP交圆于点D.求证：直线BP平分。\n10．已知a,b,c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。11．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤212、已知数列满足，．（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，若是等比数列，请给出证明，若不是，请说明理由；（Ⅱ）当时，求数列的前项和为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明当时，．二试一、（50分）已知Q为以AB为直径的圆上的一点，Q≠A,B，Q在AB上的投影为H，以Q为圆心，QH为半径的圆与以AB为直径的圆交于点C、D．证明CD平分线段QH．二、（50分）设为自然数，已知，，求．三、（50分）是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？四、（50分）设|X|为子集中元素的个数；又为，是的补集；是对个参赛选手有相同的判决，证明\n模拟试题十四一.填空题1.已知,若则的解析式为______________.2.设的某一个排列,那么表达式可以取____________个不同的值.3.设是集合含有3个元素的所有子集的元素之和，则__________.4.已知是方程的两根,且是虚数,是实数,则=_____________.5.当且仅当n被k整除时，多项式不被整除，则整数k=_________.6.已知纯虚数的模均为1,则被4除所得余数为_______________.7.设集合,映射使得,已知____________.8.12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子,若要求这些朋友中任意两人至少有一次同坐一张桌,则至少要________周.二．解答题\n1．是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上一点，且点P不在轴上，求值.2.数列中,,求该数列前n项和.3.定义在(-1,1)上的函数满足:1)对任意都有;2)当时,有.求证:.第二试一.如图在四边形ABCD中,对角线AC平分BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证:.\nADECGBF二．设,求证:.三．证明:对于大于2的任意正整数,存在无穷多个.四．设p是奇质数,是小于p的正整数,证明:的充分必要条件是对任何小于p的正整数n,均有等于正奇数.第十五套：联赛模拟上海延安：丁虬骋一、填空题1.若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是2.方程组的实数解共有组3.正方体中，点分别在线段上（不包括线段的端点），满足，则与\n所成角的取值范围是1.已知上一点,分别是圆与圆上的点,则的最大值为2.设函数，定义，其中，且，则=.3.长方体中，，，则异面直线与间的距离为.4.求和：=（其中表示不超过的最大整数）.5.扔6次骰子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则=.二、解答题6.设为实数列，满足，其中.求证：当时，.7.设椭圆的焦点，为过焦点的弦，满足，求“蝶形”面积的最大值和最小值.8.设函数\n（1）若与在同一个值时都取得极值，求的值.（2）对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有①的表达式；②的最大值及相应的值.第二试1、在中，是斜边上的高，记分别是，的内心，在边上的射影为；，的角平分线交，分别于，；的连线与相交于.求证：四边形为正方形.2、设,求证:.3、设的内切圆半径为1，三边长,,.若、、都是整数，求证：为直角三角形.\n4求证：面积为1的凸边形可以被面积为2的三角形覆盖．第十六套：高中数学联赛模拟题华南师大附中宋红军一试姓名成绩一：选择题(每小题8分，共64分)1、设集合X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，从X到Y的映射满足条件：对于每个xÎX，恒有x+f(x)为奇数，则这样的映射一共有18个。2、已知x+lgx=10,y+10y=10，则x+y=10。3、设f(z)=3z(cos+isinp)，这里z是复数，用A表示点f(1+i)，B表示点f(0)，C表示点4i，则∠ABC=60°。4、设抛物线y2=2x的焦点为F，以P(4.5,0)为圆心，|PF|长为半径作一圆，与抛物线在x轴上方交于点M、N。则|MF|+|NF|的值是8。\n5、已知四棱锥S—ABCD的底面为平行四边形，面SAC⊥面SBD，若△SBC、△SCD、△SDA的面积分别为5,6,7，则△SAB的面积等于。6、若1≤a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6≤64，则Q=++的最小值为。7、一个由16个小方格组成的的棋盘，将其中8个小方格染黑，使得每行、每列都恰有2个黑格，有90种不同的染法。8、已知M=27t=35s，其中t是奇数，s不能被3整除，则M的所有形如2p3q（其中p,q为自然数）的约数之和等于92820。二：解答题（9小题每小题16分，10、11小题20分，共56分）9、数列{an}定义如下：a0=a1=1,an+2=14an+1-an(其中nÎN)，求证：对所有的正整数n，2an-1是完全平方数。证明：数列{an}对应的特征方程为x2-14x+1=0，其两根为x1=7+4,x2=7-4，∴an=a·(7+4)n+b·(7-4)n又a0=a1=1∴a=,b=∴an=·(7+4)n+·(7-4)n=·(2+)2n+·(2-)2n∴2an-1=·(2+)2n+·(2-)2n-1\n=()2·(2+)2n+()2·(2-)2n-1=[·(2+)n-·(2-)n]2由二项式定理得：(2+)n=可设(2+)n=x+y,其中x,y为整数，则(2-)n=x-y∴2an-1=[·(2+)n-·(2-)n]2=(3y-x)2又∵3y-x为整数∴2an-1是完全平方数。解法二：用归纳法证明。（构造数列{bn}:b0=-1,b1=1,b2=5,bn+2=4bn+1-bn，证明2an-1=bn2）10、已知a,b,c为正实数，求证：(a5-a2+3)(b5-b2+3)(c5-c2+3)≥(a+b+c)3证明：∵a,b,c为正实数∴a5-a3-a2+1=a3(a2-1)-(a2-1)=(a-1)2(a+1)(a2+a+1)≥0∴a5-a2+1>a3∴a5-a2+3≥a3+2同理可得：b5-b2+3≥b3+2；c5-c2+3≥c3+2；∴(a5-a2+3)(b5-b2+3)(c5-c2+3)≥(a3+2)(b3+2)(c3+2)=a3b3c3+2a3b3+2b3c3+2a3c3+4a3+4b3+4c3+8=(a3+b3+c3)+(a3+a3b3+1)+(a3+a3c3+1)+(b3+a3b3+1)+(b3+b3c3+1)+(c3+a3c3+1)+(c3+b3c3+1)+(a3+b3+c3+\na3b3c3+1+1)≥a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3b2c+3ac2+3bc2+6abc=(a+b+c)3当a=b=c=1时取等号。11、点P到定点F(-1,2)和到定直线x=-3的距离之和等于4。（1）求点P的轨迹方程，并画出曲线L。（2）直线l:(q为倾斜角，t为参数)。与曲线L交于P、Q两点，记f(q)=｜PQ｜，试求f(q)的表达式及其最大值和最小值。解：(1)设P点的坐标为：P(x,y)，则有+|x+3|=4∴当x≥-3时，(y-2)2=-4x当x≤-3时，(y-2)2=12(x+4)∴P点的轨迹方程为：(2)以F(-1,2)为极点，x轴正向为极轴，建立极坐标系，则当x≥-3时，P点轨迹为以F(-1,2)为焦点的抛物线，此时的抛物线椎坐标方程为r=(-120°≤q≤120°)；当x≤-3时，P点轨迹也为以(-1,2)为焦点的抛物线；此时的抛物线椎坐标方程为r=(120°≤q≤240°)；直线方程为q=q0；直线与曲线相交有两种情况：（1）直线只与一条抛物线相交时，这条抛物线方程必为：r=且60°≤q≤120°，此时\n4≤|PQ|=+=≤当q=90°时取最小值；当q=60°时取最大值。（2）直线与两条抛物线都相交时，-60°≤q≤60°，此时4≤|PQ|=+=≤当q=0°时取最小值；当q=60°时取最大值。∴f(q)=且f(q)的最大值为，最小值为4。二试姓名成绩一：本题满分40分给定锐角△ABC，在BC边上取点A1、A2(A2位于A1与C之间)；在CA边上取点B1、B2(B2位于B1与A之间)；在AB边上取点C1、C2(C2位于C1与B之间)。使得∠AA1A2=∠AA2A1=∠BB1B2=∠BB2B1=∠CC1C2=∠CC2C1。直线AA1、BB1、CC1可构成一个三角形，直线AA2、BB2、CC1可构成另一个三角形，求证：这两个三角形的六个顶点共圆。一：证明：设上述两个三角形分别为图中所示的△UVW和△XYZ，则∵∠BB2B1=∠CC1C2∴∠AB2B=∠AC1C∵∠BAB2=∠CAC1∴△AB2B∽△AC1C\n∴=且∠ABB2=∠ACC1同理可得：∠BAA1=∠BCC2∴∠A1VB=∠BAA1+∠B1BB2+∠ABB2=∠BCC2+∠C1CC2+∠ACC2=∠ACB同理可得：∠ACB=∠AXB2∴∠A1VB=∠AXB2同理可得：∠A2ZC=∠AUC1在△ABV中：===同理可得：=；===∴AV=AZ同理可得：BW=BX；CU=CY又==·=·==∴AU=AX同理可得：BV=BY；CW=CZ∴UX∥BC；UX∥CA∴∠AUX=∠AA1A2=∠BB1B2=∠BWX∴X位于△UVW的外接圆上同理可得：Y位于△UVW的外接圆上；Z位于△UVW的外接圆上∴U、V、W、X、Y、Z六点共圆。\n二：本题满分40分设a,b,c>0，求证：++≥。证：记k=>0，作分式变换a=k·b=k·,c=k·，a1,a2,a3>0，则原不等式等价于++≥……(*)由Cauchy不等式有∑·∑a1(a2+ka3)≥(a1+a2+a3)2……①而∑a1(a2+ka3)=(1+k)(a1a2+a2a3+a3a1)……②(∑a1)2≥3(a1a2+a2a3+a2a1)……③由①②③立得(*)，故原不等式得证。三：本题满分50分求所有正整数a1,a2,…,an，使得=++…+，其中a0=1,(ak+1-1)ak-1≥ak2(ak-1),k=1,2,…,n-1。解：设是满足已知条件的正整数。因为，所以，否则,即有，且，假设，则，综上所述，有，其中将不等式重写为\n，即。对于及求和可得当时，有，即，则。当时，有，即，则。当时，有，即，则。当时，有，即，则。当时，有，不可能。因此，是惟一的解。四：本题满分50分设n和k是正整数，满足n0，因此这种GHI分法是合理的。假设在矩形区域B中有b行没有“车”，H中有h行没有“车”，D中有d列没有“车”，F中有f列没有“车”。任取B中没有“车”的b行中一行，并向左、右延伸到整个棋盘，则这一行延伸到A的部分至少含有1个“车”，否则放法不是“好的”。同理，这一行在C的部分至少含有1个“车”。在A和C中对这一行中的两个“车”所在的方格各作一个记号。同理对H中没有“车”的h行有同样的结论。而对D和F中没有“车”的d列和f列也具有同样的结论。因此在A∪C∪G∪I中总共有“车”的方格作了2(b+h+d+f)次记号，而每个方格最多做了两次记号。所以有记号的方格至少有b+h+d+f个，它们中的每一个方格内都有1个“车”。因此，在A∪C∪G∪I中至少的b+h+d+f个“车”。又由于B中至少有n-k-b个“车”,H中至少有n-k-h个“车”，D中至少有n-k-d个“车”，F中至少有n-k-f个“车”，所以m≥4(n-k)综上所述：要使每行、每列都不存在连续的k个方格上都没有放“车”，至少要放4(n-k)个“车”。