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2017年全国高中联合竞赛竞赛一试（A卷）数学试题含答案 7页

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  • 2022-07-26 发布

2017年全国高中联合竞赛竞赛一试（A卷）数学试题含答案

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2017年全国数学联合竞赛一试(A卷)试题一、填空题：本大题共8小题,每小题8分，共64分.1•设/(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有/(x+3)t・/(x—4)=—1.又当0,AB=\,AP=2tiiAB的平而a将其体积平分，则棱PC与平面。所成角的余眩值为•6.在平面直角坐标系xOy中，点集K=｛&,》)兀y=—1,0,1｝,在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为循的概率为・JI7.在\ABC中，M是边BC的中点，N是线段的中点.若ZA二一，\ABC的面积为3V3,则而•屁的最小值为•8.设两个严格递增的正整数数列仏｝，｛仇｝满足：如=乞)V2017,对任意正整数斤，有all+2=%+|+an,bfl+l=2bn,则+也的所有可能值为・二、解答题(本大题共3小题，满分56分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)9.设k,加为实数，不等式x2-kx-m<1对所有xe[a,b]成立.证明：b-a<2V2.的最小10.设西,兀2，兀3是非负实数，满足%,+x2+=1,求（%j+3x2+5x3iX,+—+—\35丿\n值和最大值.11.设复数z「Z2满足Re(z,)>0,Re(z2)>0,且Re(zj)=Re(z；)=2(其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re(z1z2)的最小值；(2)求|z]+2|+z?+2—Z]—z?的最小值.\n2017年全国数学联合竞赛一试（A卷）答案一、填空题1.答案：—.2解：由条件知，介+⑷“时/(-100_=/(-100+14x7)=/(-2)=--^-=--^-=-^兀5)log2422.答案：—1,^3+1•解：由于兀2-l-2cosyw[-1,3],故xg[-V3,a/3]；1_r21_r21由COS尸丁可知，—尸一丁=尹+1）一•因此当2-1时,x-cosy有最小值-1（这时），可以取巴）；当兀=希时，x-cosy有最大值巧+12（这时y可以取兀）・由于-（x+l）2-l的值域是[-1,73+1],从而—cosy的取值范围是[-1,^3+1]3•答案：呼解：易知A(3,0),F(0,l).设P的坐标是(3cos&Vitsin&),&w(0匸)，则2SOAPE=SbOAP+S\OFP=丁3"n&+丁1•3cos0OO/l1=—(JT5cos&十sin&)=sin(&+0).22\n其（p=arctan.当&=arctanVi^吋，四边形OAPF面积的最大值为冬叵.1024.答案：75.解：考虑平稳数赢.若h=0,则g=1,cw{0,1},有2个平稳数.若“1，贝Ug{1,2},cg{0,1,2},有2x3=6个平稳数.若2OW8,则a,cw{b-l,b,b+l},有7x3x3=63个平稳数.若b=9,则a,g{8,9},有2x2=4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75.5.答案:3^5~W解：设AB,PC的中点分别为K,M,则易证平而ABM就是平而a・由中线长公式AM2=-(AP2-^AC2)--PC2=-(22+12)--x22=-,、224242所以KM=y]AM2-AK2=a/52又易知直线PC在平面"的射影是直线磁，而CM"KC=亍所以cosZKMC=km2+mc2_kc?2KM・MC5134+1~Z_3^V510故棱PC与平面。所成角的余弦值为込・106•答案：纟.7解：易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为Cl=84种.将K屮的点按下图标记为人,血,・・・,入,0,其屮有8对点Z间的距离为厉•由对称\n性，考虑取人，人两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8=56个三点组（不计每组中三点的次序）•对每个a（，=i,2,・・・,8）,k中恰有4+3,4+5两点与Z距离为厉（这里下标按模8理解），因而恰有｛44+3,仏｝（心1，2,・・・,8）这8个三点组被计了两次•从而满足条件的三点组个数为56-8=48,进而所求概率为48_484~7*7.答案：V3+1・解：由条件知，丽冷何+丽巫-押+占疋故由于巧二SAABC-AB+丄況U4+4ABACl.|AB|.|AC|.sinA=^.|AB|.|AC|,AB-AC=4,进一步可2+4ABAC)而•疋二|而卜疋・cosA=2,从而AM-A7V>|(2^3|ab|'I网=—|ab|-|ac|+-ab-ac=V3+i.2当阿卜咅，网=2xg吋，丽•丽的最小值为V3+1.8.答案：13,20.解：由条件可知：ax,a2,b｝均为正整数，ftZ?l0=29-/71=512/7,,故张｛1,2,3｝,反复运用仏｝的递推关系知d]()=a9+as=2兔+①=3。7+2a6=5a6+3a5=Sa5+5a4\n=13%+8偽=21他+13色=34a2+21。］,因此2la〕三引0=$0=512勺三2q(mod34),而13x21=34x8+1,故有ax=13x2167)=13x2/?)=26^(mod34).①另一方面,注意到ax

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