2013年高中数学竞赛辅导试题：集合 5页

第2节集合总复习教学目的：1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。3理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，理解“⊂≠”、“⊆”的含义。4.会判断简单集合的相等关系（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；（2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。5.理解交集与并集的概念，熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集，掌握集合的交、并的性质。教学重点：1.集合的基本概念及表示方法。2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。3.子集的概念、真子集的概念。教学难点：1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。4.集合的交、并的性质。（一）集合的有关概念：1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合。记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q（5）实数集：全体实数的集合。记作R（二）集合的表示方法：列举法，描述法（三）集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。（2）互异性：集合中的元素没有重复。（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）1.子集（1）定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）这时我们也说集合A是集合B的子集.2．交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．\n记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．2．并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．3.两个集合相等一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B.用式子表示：如果A⊆B，同时B⊆A，那么A=B.例1：用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13}②{-2，-4，-6，-8，-10}用列举法表示下列集合①{x∈N|x是15的约数}{1，3，5，15}②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}取值范围是[]A．m＜4B．m＞4C．0＜m＜4　　D．0≤m＜4可得0≤m＜4．答选D．例3：已知M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}则M∩N是[]A．{0，1}B．{(0，1)}C．{1}分析先考虑相关函数的值域．解∵M＝{y|y≥1}，N＝{y|y≤1}，∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C．例4：设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝[]A．{x|－5≤x＜1}B．{x|－5≤x≤2}C．{x|x＜1}D．{x|x≤2}分析画数轴表示B)．答D．∪B)；\n为[]A．1B．2C．3分析根据交集、并集的定义，①是错误的推理．答选C例6：集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________．分析A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合．所以A∩B＝{(1，－1)}．例7：设A＝{x∈R|f(x)＝0}，B＝{x∈R|g(x)＝0}，[]A．C＝A∪(UR)B．C＝A∩(UB)C．C＝A∪BD．C＝(UA)∩B分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0}＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0}＝A∩(UB)．答选B．说明：本题把分式的意义与集合相结合．例8集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．分析一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．另一种方法，画图1－10观察可得．答填15．例9已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(UB)＝{5，13，23}，(UA)∩B＝{11，19，29}，(UA)∩(UB)＝{3，7}求A，B．分析由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．\n解∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}用图形表示出A∩(UB)，(UA)∩B及(UA)∩(UB)得U(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，所以A＝{2，5，13，17，23}，B＝{2，11，17，19，29}．说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．例10设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B．分析欲求A∪B，需根据A∩B＝{9}列出关于x的方程，求出x，从而确定A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，再将所得值代入检验．解由9∈A可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或5．当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违反互异性，故x＝3应舍去；当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，此时A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾．故x＝5应舍去．从而可得x＝－3，且A∪B＝{－8，－4，4，－7，9}．说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的．例11设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．需要对A的子集进行分类讨论．设0∈B，则a2－1＝0，a＝±1，当a＝－1时，B＝{0}符合题意；当a＝1时，B＝{0，－4}也符合题意．设－4∈B，则a＝1或a＝7，当a＝7时，B＝{－4，－12}不符合题意．＜－1．综上所述，a的取值范围是a≤－1或a＝1．例12(1998年全国高考题)设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x[]\nA．(－∞，2]　B．[－1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．[－1，2]分析分别将集合M、N用数轴表示，可知：k≥－1时，M∩答选B．