2021年高中数学竞赛模拟试题含详解 6页

优秀学习资料欢迎下载高中数学竞赛模拟试题一、挑选题：1.设a、b、c为实数，4a2bc0,abc0，就以下四个结论中正确选项（D）2222（A）bac（B）bac（C）bac且a0（D）bac且a022提示：如a0,就b0,就bac0.如a0,就对于二次函数faxbxc,由〔x〕f0,f〔0可得结论.〔21〕〕02.在△ABC中，如A45,AB2,BCa，就a2是△ABC只有一解的（A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件3.已知向量a〔m,2sinx1〕,〔3cos2x4sinx,1〕,定义函fab.如cos2xb数〔x〕对任意的x[0,]，不等式f0恒成立，就m的取值范畴是（A）2〔x〕111（A）〔,〕（B）〕（C）,2〕（D）〔2,〕8[0,〔884.设E、F、G分别是正四周体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，就二面角C—FG—E的大小是（D）632（A）arcsin（B）arccos（C）arctan2（D）arccot323225.把数列{2n1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），，在第100个括号内各数之和为（A）（A）1992（B）1990（C）1873（D）1891nn〔n1〕，x6.设xi{1,2,,n},i1,2,,n，满意xi1x2xnn.，使x1，x2，，i12xn肯定是1,2,,n的一个排列的最大数n是（C）（A）4（B）6（C）8（D）9\n二、填空题：\n优秀学习资料欢迎下载12y227.如实数x、y满意条件xy1，就2的取值范畴是.xx【答案】2,2.提示:令xsec,ytan.〔〕248.对于给定的正整数n4，等式C3C成立，就全部的m肯定形如.（用n的mn组合数表示）2242【答案】mC〔n4〕.提示:由C3C得〔21〔23n1〕,m〕2nn1mn2从而mCn1〔n4〕.9.一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望E=.111【答案】0.3提示:取值为0,1,2,3，且有P〔0〕C93C3C99，P〔1〕，12C1242C12442131P〔2〕C3C99C3C91，P〔3〕.342C122202C1222039E01910.3.2344422022010.设点F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点、以F2为焦点；设P点为椭圆与抛物线的一个交点；假如椭圆E的离心率e满意PF1ePF2，就e的值为.3【答案】3211.已知t0,关于x的方程xtx2,就这个方程有相异实根的个数情况是.2【答案】0或2或3或4.提示：令C1:yx2,C2:ytx，利用数形结合知：当0t1或t2时，方程无实数根；当t1时，方程有2个实数根；当t2时，方程有3个实数根；当1t2时，方程有4个实数根；2x12.函数f（xR,且x1）的单调递增区间是.〔xx1〕【答案】,0],[2,〕.提示：y2〔x11），利用典型函数来分析；x1（x〔1〕此题也可直接依函数的单调性定义来分析；\n优秀学习资料欢迎下载三、解答题：13.向量OP1、OP2、OP3满意条件OP1OP2OP30，OP1OP2OP31，试判定△P1P2P3的外形，并加以证明；222解:∵OP1OP2OP30，∴OP1OP2OP3，∴OP1OP2OP32OP2OP3.2221又∵OP1OP2OP31，∴OP1OP2OP31，∴OP2OP3，21∴cosP2OP3，在△P2OP3中，由余弦定理可求得P2P33.2同理可求得P1P23，P1P33.∴△P1P2P3为正三角形.n*114.设数列{an}满意a11，an1ann1（nN），求证：2〔n11〕.k1ak1*证明:由题意知a22,an0,nN.当n1时,12〔21〕,命题成立；a11当n2时，由an1ann1，得anan1n，∴an1an1，an1an1，〔an1〕annn11从而有a〔aakan1an2an1an22〔n11〕.1k22k1akk1〕1315.设函数f1xx，其中0.〔x〕（1）求的取值范畴，使得函数f在[0,〕上是单调递减函数；〔x〕（2）此单调性能否扩展到整个定义域〔,〕上？3（3）求解不等式2x1x12.解：（1）设0x1x2，1就ff〔x2〕[].〔x〕3x31x31x3x〕21〔x2x111222〕〔1〕〔1设M3x31x31x3x12，就明显M3.22〔1〕1〔1〕21111∵ff0,∴,∵,∴只需要,就能使f在[0,〕上是单调〔x1〕〔x2MM33〔x〕〕递减函数；\n（2）此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之；\n优秀学习资料欢迎下载3（3）构造函数g2x1x，由（1）知当x0时，g〔x〕是单调递增函数；g12，〔x∵〔7〕〕3∴2x1x12.gg〔7〕，7，∴所求解集为,7〕.〔x∴x〕〔