2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题 12页

122007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一选择题1.如果集合同时满足,就称有序集对为“好集对”。这里的有序集对意指当，是不同的集对，那么“好集对”一共有（　　）个。　　　２.设函数,为()3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是()4.在直角中,,为斜边上的高,D为垂足..设数列的通项为则()5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么6.设则二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的\n12为().9.若正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为___________________11.函数的迭代的函数定义为其中=2,3,4…设,则方程组的解为_________________12.设平行四边形中，则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_______________三解答题13.已知椭圆和点直线两点(可以重合).1)若为钝角或平角(为原点),试确定的斜率的取值范围.2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若三点能否共线?请说明理由.14.数列由下式确定:,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)15.设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正实数,试求的最大值,并求出当取此最大值时,的取值.\n12解答一、选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.1.逐个元素考虑归属的选择.元素1必须同时属于A和B.元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B.所以4个元素满足条件的选择共有种.换句话说，“好集对”一共有6个.答：C.2.令，则，且，，，.从而.令，则题设方程为，即，故，，，，解得.从而.答：A.3.注意,2,7和9两两互质.因为（mod2）,（mod9）,所以（mod18）.（1）又因为，（mod7）,所以（mod7）.(2)由（1），（2）两式以及7和18互质，知（mod126）.答：C.另解：，，，，.所以\n12，其中B，C为整数.从而，其中D，E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6.答：C.4.易见，即，又已知，故，，；，.显然是首项为，公比为的等比数列的前项和.故，.从而，.故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见，即，又已知，故，，.解得，.显然是首项为，公比为的等比数列的前项和，故，.于是数列就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系.所以答案为A.5.可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…\n12中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，中不能被2，5或11整除的项的个数为，其中不表示不大于的最大整数，即的整数部分.估值：设，故.又因为=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知.答：B.又解：可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于.）显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，中，不能被2，5，11整除的数有个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的.答：B.6.显然；.注意到，,\n12所以，.故.答：D.另解：，，\n12=.因为和是实数，所以，,.答：D.一、填空题（满分54分，每小题9分）7.解：设△ABC三边长为整数，成等差数列，为钝角，则必有，.易解得，；，即.因此，即.另外，.易检验都是钝角三角形.答：4.8.注意到，满足，，故可令，，0＜＜.从而，-，-，故，+.取实数，当且仅当，当且仅当，Z.满足此条件且的最小正整数为，此时.答：-1.9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方（是质数）；第二类是两个不同质数的乘积（为不同的质数）.由定义可得\n12是奇异数（第一类）；不是奇异数；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第一类）；是质数，不是奇异数；是奇异数（第一类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）.答：8.10.解：将向量，，分别记为，，.则，，，且易见，，，.所以=55，故.类似地，可算得，，，=3.答：，，，3.11.令，易见，，；令，易见，，，，.因此，题设方程组可化为（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得\n12所以.代入（1）得，，，,,.所以原方程组的解为.答：.12.以表示平面图形绕直线所得旋转体体积.记直线为，作，交于，分别交，于.过作，分别交于.由于是的中点，所以分别是的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为.由于，易见，，.显然，.且，.从而由圆锥体积公式得.又，，，.从而由圆锥体积公式得\n12.从而.答：所求体积为：13.解：I）可设：，与联立得.这是的一元二次方程，由判别式解得.记，，则，.由题设条件，，即，得，即，即.得，，，.故的斜率的取值范围为.因为F(1,0),所以，，从而.与共线，即与F、B三点共线.III）假设，过的直线与交于A、B，且A关于长轴的对称点为，如果、F、B三点共线.我们另取点.设直线AP与交于，那么如II）的证明，、F、B三点必共线.故B与重合，从而直线AB和重合，就是AQ与AP重合.所以P与Q重合，，与假设矛盾.这就是说，时，三点、F、B不能共线.\n1214.解：，，，.故，亦即，由得.（*）由于，且显然，故是递减数列，且，，故，由（*）式得，，，，，.15.证明：因为△ABC是锐角三角形，其三边满足，以及.因此，由平均不等式可知，从而\n12，亦即，.上式取等式当且仅当，亦即.因此所求的的最大值为，当取最大值时，.ABxoQABxoQA1FllAA1B1C1D1BCDABCDQMPNOFEyy（第13题答图）（第10题答图）（第12题答图）（命题：吴康，黄宗明.具体分工：黄宗明命第4，10，13题，吴康命其余各题）